§ 10. Пропорциональные линии в кругe.

1 сажен = 3 аршина   
1 аршин = 16 вершков
1 фут = 12 дюймов     

469. а) Из точки окружности опущен перпендикуляр на диаметр; Определить его длину при следующей длине отрезков диаметра: 1) 1 ф. и 3 д.; 2) 1 арш. и 9 вершк,; 3)  2 м. и 5 дм.

b) Из точки диаметра восставлен перпендикуляр до пересечения с окружностью. Определить длину этого перпендикуляра, если диаметр равен 40 д., а проведенный перпендикуляр отстоит от одного из концов диаметра на 8 д.

470.   Диаметр    разделен    на    отрезки:    АС= 8   дм. и СВ = 5 м., и из  точки С возставлен  перпендикуляр CD данной длины. Указать положение точки D относительно круга, когда CD = 1)  15 дм.,   2) 2 м.,   3) 23 дм.

471.   АСВ — полуокружность;   CD — перпендикуляр  на диаметр АВ. Требуется:

1)   Определить  DB, если АD = 25 и CD = 10.

2)  Определить  АВ, если AD : DB = 4: 9 и CD = 30.

3)  Определить  AD, если CD = 3 AD,   а   радиус = r.

4)   Определить  AD, если АВ = 50  и CD = 15.

472.   1) Перпендикуляр   из   точки   окружности  на радиус делит его в отношенщ 8 : 9   (начиная от центра). Определить длину перпендикуляра, если радиус = 34 д.

2)   Хорда BDC перпендикулярна к радиусу ODA. Определить ВС, если  OA = 25  д. и AD = 10 д.

3)   Ширина концентрического кольца равна 8 дм.; хорда большей окружности,   касательная к меньшей, равна 4 м. Определить радиусы окружностей.

473. С помощью сравнешя линий доказать, чте среднее арифметическое двух чисел (неравных) больше среднего геометрического между ними.

474.   ADB— диаметр;   АС—хорда;   СD— перпендикуляр к диаметру. Определить хорду АС: 1) если AB =2 арш. и AD = 8 вершк.; 2) если АD = 4 д. и DВ = 5 д.; 3) если АВ = 20 м. и  DB = 15 м.

475.   АВ — диаметр; АС — хорда; AD — её проекция на диаметр АВ. Требуется:

1)   Определить AD, если АВ = 18 д. и АС=1 ф.

2)   Определить радиус, если АС =12 м. и АD = 4 м.

3)   Определить DВ, если AC =24 вершк. и DB =⁷/₉ AD.

476.   АВ — диаметр; АС—хорда; АD — её  проекция на диаметр АВ. Требуется:

1)   Определить АС, если АВ = 35 д.  и АС= 5 АD.

2)   Определить АС, если радиус = r и АС= DВ.

477.   Две  хорды  пересекаются   внутри   круга.   Отрезки одной хорды суть 2 ф. и 14 д.; один  из отрезков другой хорды равен 1  арш. Определить второй её отрезок.

478.   Две   конечныe   прямые   АВ  и   СD  пересекаются в точке М так,  что МА = 4 вершк., MB = 12   вершк., МС=3 д. и MD = 16 д.   Лежат ли точки А, В, С и D на одной окружности?

479. Хорда АМВ повернута около точки М так, что отрезок МА увеличился в 2¹/₂ раза. Как изменился отрезок MB?

480. 1) Из двух пересекающихся хорд одна разделилась на части в 4 ф. и в 3 д., а другая — пополам. Определить длину второй хорды.

2) Из двух пересекающихся хорд oдна разделилась на части в 12 м. и 18 м., а другая — в отношенш 3 : 8. Определить длину второй хорды.

481.  Из двух пересекающихся хорд первая равна 2 арш., а отрезки второй хорды равны 12 вершк. и 1 арш. Определить отрезки первой хорды.

482.   Секущая AВС повернута около  внешней точки А так, что отрeзок АВ уменьшился в три раза. Как изменилась длина секущей?

483.   Пусть будут ADB и AЕС две прямыe, пересекающие   окружность:   первая — в   точках D и В, вторая — в точках Е и С. Требуется:

1)   Определить   АЕ,   если   АD = 5 д.,   DВ = 15 д. и  AС = 25 д.

2)   Определить BD, если АВ = 1,5 арш., АС = 1 арш. и ЕС = 10 вершк.

3)   Определить   АВ   и   АС,   если   их сумма = 50 м., а АD : AЕ = 3 : 7.

484.   Радиус окружности   равен 7 д.   Из   точки,  удаленной от центра на 9 д., проведена   секущая   так, что она делится окружностью пополам. Определить длину этой секущей.

485. MАВ и МСВ — две секущие к одной окружности. Требуется:

1)  Определить   СD,   если   МВ = 1  м.,   MD = 15 дм. и СD = МА.

2)   Определить   MD,   если   МА = 18   д.,   АВ = 1 ф. и МС: CD = 5: 7.

3)  Определить АВ, если АВ = МС, МА = 20 и CD = 11.

486.   Две хорды   продолжены  до  взаимнoго пересечения. Определить  длину  полученных   продолжений,   если   хорды равны а и b, а их продолжения относятся как т : п.

487.   Из одной точки проведены к окружности секущая и касательная. Определить длину касательной, если внешний и внутренний отрезки секущей соответственно выражаются следующими числами:  1) 4 и 5; 2) 2,25 и 1,75; 3) 1 и 2.

488. Касательная равна 20 д., а наибольшая секущая, проведенная из той же точки, равна 50 д. Определить радиус круга.

489.   Секущая  более   своего   внешнего   отрезка   в   2¹/₄ раза. Во сколько раз она более касательной, проведенной из той же точки?

490.  Общая  хорда  двух   пересекающихся  окружиостей продолжена, и из точки, взятой на продолжении, проведены к ним касательные. Доказать, что они равны.

491.   На одной стороне угла А отложены один за другим отрезки:   АВ = 6 д. и  ВС=8 д.; на другой стороне отложен отрезок AD = 10 д. Через точки В, С и D проведена  окружность.   Узнать,   касается ли   этой  окружности прямая AD, а если нет, то будет ли точка  D — первая (считая от А) или вторая точка пересечения.

492.   Пусть будут: АВ — касательная и ACD — секущая к той же окружности. Требуется:

1)   Определить CD, если АВ=2 д. и AD = 4 д.

2)   Определить AD, если AC : CD = 4 : 5  и АВ = 1  ф.

3)   Определить АВ, если AB = CD и АС = а.

493.   1) Касательная   и   секущая,   выходящие  из  одной точки, соответственно равны 20 д. и 40 д.; при этом секущая удалена от центра на 8 д. Определить радиус круга.

2) Определить расстояние от центра до той точки, из которой выходят касательная и секущая, если они соответственно равны 4 д. и 8 д., а секущая удалена от центра на 1  ф.

494. 1) Из общей точки проведены к окружности касательная и секущая. Определить длину касательной, если она на 5 д. более внешнего отрезка секущей и на столько же менее внутреннего отрезка.

2) Из одной точки проведены к окружности секущая и касательная. Секущая равна  а, а её внутренний отрезок более внешнего отрезка на длину касательной. Определить касательную.

495.   Из общей точки проведены  к одной окружности касательная и секущая. Касательная больше внутренняго и внешнего отрезков секущей соответственно на 2 д. и 4 д. Определить длину секущей.

496.   Из одной точки   проведены  к   окружности  касательная и секущая. Определить их длину, если касательная на 20 д.   менее  внутреннего   отрезка  секущей  и на 8 д. более внешнего отрезка.

497.   1) Из одной точки проведены к окружности секущая н касательная.  Сумма их равна 30 д.,  а  внутренний отрезок секущей на 2 д. менее  касательной.   Определить секущую и касательную.

2) Из одной точки проведены к окружности секущая и касательная. Сумма их равна 15 д., а внешшй отрезок секущей на 2 д. менее касательной. Определить секущую и касательную.

498.   Величина а разделена в среднем и крайнем отношении. Найти выражения для большей и меньшей части.

499.   Если какая-нибудь величина разделена в среднем и крайнем отношении, то большая часть составляет  приблизительно ⁵/₈ всей величины. Проверить это и определить степень точности такого приближения.

500.   Определить   большую   часть   при делении  величины в среднем и крайнем отношении, если меньшая часть при этом  равна b.

501.   Если разделить линию в среднем и крайнем отношении и меньшую часть отложить на большей, то последняя разделится также в среднем и крайнем отношении,  причем отложенный   отрезок будегь теперь большей частью. Доказать это.

502.   Диаметр разделен в среднем и крайнем отношении  перпендикуляром,  опущенным   из  точки  окружности. Найти длину перпендикуляра, если радиус круга равен r.

--------------

503.   Даны две параллельные прямые на расстоянии 15 д. одна от другой; между ними дана точка М на расстоянии 3 д. от одной из них. Через точку М проведена окружность касательная к обеим параллелям. Определить расстояние между проекциями центра и точки М на одну из данных параллелей.

504.   В круг радиуса r вписан равнобедренный тр-к, у которого сумма высоты и основания равна диаметру круга. Определить высоту.

505. Определить радиус круга, описанного около равнобедренного тр-ка: 1) если основание = 1 арш., а высота = 4 вершк.; 2) если боковая сторона = 1 ф., а высота = 9 д.; 3) если боковая сторона = 15 м., а основание = 18 м.

506.   В равнобедренном тр-ке основание = 48 д., а боковая  сторона = 30  д.   Определить  радиусы  кругов   описанного и вписанного и расстояние между их центрами.

507.   Радиус равен r; хорда данной дуги разна а. Определить хорду удвоенной дуги.

503. Радгус окружности равен 8 д.; хорда АВ равна 1 ф. Через точку А проведена касательная, а из точки В— хорда ВС параллельная касательной. Определить расстояние между касательной и хордой ВС.

509. Точка А удалена от прямой MN на расстояние а. Данным радиусом r описана окружность так, что она проходит через точку А и касается линии MN. Определить расстояние между полученной точкой касания и данной точкой А.

510.   Радиус круга равен r. Определить расстояние от конца диаметра до такой точки окружности, которая одинаково удалена от этого конца и от касательной, проведенной через другой конец того же диаметра.

511.  Радиус перпендикулярный к данному диаметру делит хорду, выходящую из конца этого диаметра, в отношеши 8:1. Определить длину хорды, если длина радиуса есть r

512*. Пусть будет АВ диаметр, CD— параллельная ему хорда и М — какая-нибудь точка на диаметре. Доказать, что МС² + МD² = МА² + МВ².

513.  Xорда  AMВ  разделена точкой M на отрезки АM= 18 д. и MВ=50 д. Найти длину наименьшей  из хорд, проходящих через точку M.

514.   Средина В полуокружности ABC соединена с концами диаметра АС.   Хорда DE параллельна  диаметру АС и делится  хордами  ВА  и  ВС на три равные части.   Полагая ВА  = а, определить отрезок этой хорды от точки В до хорды DE.

515.   ОА и ОВ — два взаимно перпендикулярные радиуса, имеющие длину r; хорда CD пересекается с обоими радиусами и делится ими на три равные части. Определить отрезки радиусов ОА и ОВ от центра до хорды CD.

516. Около равнобедреннаго тр-ка описан круг, и через  средины   боковых   сторон   проведена хорда.   Найти длину этой хорды,   если основание тр-ка равно 12 вершк., а боковая сторона равна 8 вершк.

517.   В круге с центром О проведена хорда АВ; на нее   опущен   перпендикуляр  ОС;  после   этого проведена хорда   АЕ,   пересекающая   ОС  в   точке   D.   Определить длину АЕ, если АВ = 24 д.,  ОС=9 д. и ОD = 4 д.

518*. АВ — диаметр; С — средина полуокружности; D — точка на диаметре, через которую проведена хорда CDE. Найти длину этой хорды, если AD =35 д. и BD = 5 д.

519*. Около данного квадрата описан круг, и в один из полученных сегментов вписан квадрат. Определить его сторону, если сторона данного квадрата равна а.

520. Две хорды данной длины: АВ = а и CD = b пересекаются внутри круга так, что   AC : BD = m : n. Определить отрезки хорд.

521. Определить длину секущих МАВ и MCD, если АВ= а, CD = b и ВC : АD = m : n.

522.   Радиус  круга равен  r.   Определить,   на  каком расстоянии   от   окружности  находится внешняя точка, из которой  центральная  секущая  равна  сумме  обеих  касательных.

523.  Даны две концентрические окружности. Из точки А большей окружности проведены: хорда АВ, которая касается меньшей окружности, и хорда ACDE, которая пересекает меньшую окружность — в точках С и D — так, что АС= CD. Определить АЕ, если      АВ= а.

524.  Хорда АВ продолжена на длину ВС=⁴/₅АВ, и из точки С проведена касательная CD. Найти отношение DA: DB.

525*. Секущая АВ проведена через центр и равна 32 д., а касательная АС равна 24 д.  Определить расстояние ВС.

526*. На данной дуге, хорда которой ВА = а, взята точка С так, что АС : СВ = m : n     (m > n), и из этой точки проведена касательная, встречающая продолжение хорды   АВ в точке D. Определить длину CD.

ОТВЕТЫ