§ 11. Правильные многоугольники.

1 сажен = 3 аршина   
1 аршин = 16 вершков
1 фут = 12 дюймов     

Обозначения: r — радиус окружности; а_n — сторона правильного вписанного п-угольника; b_n— сторона правильного описаннoго п-угольника; k_n — апофема правильного вписанного п-угольника.

527. Определить величину угла в правильном п-угольнике. (п = 3;  4;  5;  6;  8;  10;  12; 25).

528.   1) Доказать, что хорда перпендикулярная к радиусу в его средине равна стороне правильного вписанного треугольника.   2) Показать,  что k₆ = ¹/₂  a₃

529.  Определить сторону правильного тр-ка, если разность между радиусами кругов описанного и вписанного равна т.

530*. По данному r определить:   1) a₈   и   2) a₁₂,

531. По данному r определить:   1) k₈;   2) k₁₂;   3) k₁₀.

532. По данному а определить r, если п равно 1) 3; 2)  4;   3)  6;   4) 8;   5)  10;   6)  12.

533.   По   данному   а   определить:    1) k₃;   2) k₄;    3) k₆ ;  4) k₈ ;  5) k₁₀ ;   6) k₁₂.

534.   По данному k определить r,   если  п  равно:   1) 3; 2) 4;   3)  6;   4)  8;   5)  10;   6)  12.

535*. По данному r определить: 1) b₃;   2) b₄;    3) b₆ ;  4) b₈ ;  5) b₁₀ ;   6) b₁₂

536. По данному а определить: 1) b₃;   2) b₄;    3) b₆ ;  4) b₈ ;  5) b₁₀ ;   6) b₁₂

537. По данному r определить:   1) a₁₆;   2) a₂₄;   3) a₂₀.

538*. По данному r определить a₅.

539. Проверить (посредством вычисления) следующее построение для сторон правильных вписанных 10-ка и 5-ка.

В данном круге проводим диаметр АВ и перпендикулярный к нему радиус ОС; делим радиус ОА, в точке Е, пополам и из центра Е радиусом ЕС описываем дугу до пересечения, в точке F, с радиусом ОВ. Тогда линия OF будет равна стороне правильного вписанного  10-ка, a CF равна стороне 5-ка.

540. а) Определить длину   диагоналей правильного 8-ка:

1)   по данному радиусу r;   2) по данной стороне а.

b) Такая же задача для правильного  12-ка.

541*. Определить длину диaгоналей правильного 5-ка по его стороне а.

542*. Определить длину диaгоналей правильного 5-ка по данному радиусу r.

543. В круг радиуса r вписан правильный n-угольник, и сeредины его сторон соединены последовательно. Определить  сторону  нового n-угольника,   если п =  1)  6;  2)   8;   3) 12.

544.   1) В правильном  8-ке соединены средины четырех   сторон, взятых   через   одну, так   что  получился квадрат. Определить сторону этого квадрата, если сторона 8-ка равна а.

2) В правильном 12-ке соединены сeредины шести сторон, взятых через одну, так что получился правильный 6-к. Определить его сторону, если сторона 12-ка равна а.

545.   Из правильного п-угольника через срезывание углов получен  правильный   2п-угольник.   Определить его сторону, если   сторона  п-угольника   равна   а   и   если  п = 1) 3;    2) 4;    3)  6.

546.   1) В круг вписан правильный тр-к; в  этот тр-к вписан круг, а в него вписан квадрат. Определить сторону квадрата, если радиус первого круга равен r.

2) Около правильного тр-ка описан круг; около этого круга описан квадрат, а около него описан круг. Определить радиус второго   круга, если сторона тр-ка равна а.

547.   1) Общая хорда двух пересекающихся окружностей равна а и служит для одной окружности стороной правильного вписанного тр-ка, а для другой — стороной вписанного квадрата. Определить расстояние между центрами.

2) Центры двух пересекающихся окружностей лежат по одну сторону их общей хорды, которая отсекает от одной окружности дугу в 60°, а от другой — дугу в 30°. Определить расстояние между центрами, если длина хорды равна а.

548.   АВС— вписанный   правильный тр-к; АD— треть стороны АВ; BЕ—треть стороны ВС. Доказать, что линия DE равна радиусу.

549.   Каждая сторона правильного треугольника разделена на  три   равные   части,   и  соответственные   точки   деления (считая   в одном   направлении)   соединены  между   собой, отчего получился новый треугольник.   Определить  радиус вписанного   в него круга, если сторона  данного треугольника равна а.

550. 1) Окружность радиуса r разделена на 6 равных частей, и точки деления соединены через одну. Определить сторону полученной 6-угольной звезды.

2) Окружность радиуса r разделена на 8 равных частей, и точки деления соединены через одну. Определить сторону полученной 8-угольной звезды.

551*. По данному радиусу r определить хорду дуги, содержащей: 1) 108°;    2)  135°;    3) 150°.

552. По данному радиусу r определить длину диагоналей правильного вписанного 10-ка.

553*. Доказать, что в правильном 5-ке пересекающиеся диaгонали взаимно делятся в среднем и крайнем отношении.

554*. Если в правильном 5-ке провести все диaгонали, то они, пересекаясь между собой, образуют новый правильный 5-к. Определить его сторону, если сторона данного 5-ка равна а.

555*. Определить отношение между сторонами треугольника, если его углы относятся: 1) как 1:2:3;   2) как 3:4:5.

556. Средина полукружности соединена с концами диаметра, и через средины соединительных прямых проведена хорда. Каждый из боковых отрезков её равен с. Определить радиус круга.

557*. В сегмент с дугою 120° вписан прямоугольник, у которого ocнование в 4 раза более высоты. Определить высоту прямоугольника, если высота сегмента равна h.

558*. Около данного круга, радиус которого равен r, описано кольцо из равных кругов. Определить радхус этих кругов, если число их равно: 1) 3; 2) 4; 3) 6; 4) 10.

559. На двух половинах данной прямой построены, как на диаметрах, два круга, и из каждого конца этой прямой проведены касательные к кругу, построенному у другого конца. Доказать, что линия, соединяющая точки пересечения касательных, равна стороне квадрата, вписанного в один из названных кругов.

ОТВЕТЫ