§ 13. Опредeление в треугольникe:

медиан, биссектрис и радиусов описанного и вписанного кругов.

1 сажен = 3 аршина   
1 аршин = 16 вершков
1 фут = 12 дюймов     

690. Доказать, что в треугольнике сумма квадратов трех медиан относится к сумме квадратов трех сторон как 3:4.

691.   1) Основание треугольника равно 22 д., а боковые стороны 13 д. и 19 д. Определить медиану основания.

2) Определить все медианы треугольника, в котором а =2, b = 3 и с = 4.

692.   В треугольнике одна из сторон равна 26 д., а её  медиана  равна   16   д.   Определить  две  другие   стороны этого треугольника, если они относятся как 3:5.

693.   Медианы катетов суть т и п. Определить медиану гипотенузы.

694.   1) Определить длину  линии, соединяющей середины оснований трапеции, если меньшее основание равно b, большее а, и сумма углов при большем основании равна 90°.

2) В трапеции основания суть 9 д. и 23 д., а боковыe стороны 7 д. и 11 д. Определить длину линии, соединяющей средины оснований.

695*. В тр-ке АВС определить биссектрису угла А при следующей длине сторон:

1) а = 7; b = 6; с = 8. 2) а = 18;   b =15;   с = 12.    3) а =39;  b = 20;   с = 45.

696*. По данным двум сторонам треугольника и биссектрисе угла между ними определить отрезки третьей стороны: b =20;  с =45; l_a =24.

697. Если стороны треугольника относятся как 4:5:6, то болышй угол вдвое более меньшего. Проверить это (с помощью биссектрисы большего угла).

698*. В треугольнике АВС определить сторону а, если даны стороны b и с и известно, что А=2В.

699.  В сегментe даны: хорда а =80 м. и высота h =24 м. Определить длину касательной, проведенной из конца дуги до встречи с продолженной высотой сегмента.

700.   Из конца  В диаметра  АВ проведена касательная ВС, и из точки С проведена вторая  касательная, встречающая продолжение ВА в точке D. Определить длину CD, если радгус круга равен r = 4 д., а  ВС= а = 12 д.

701.   1) Доказать, что  в  прямоугольном треугольнике радиус вписанного круга равен половине разности между суммой катетов и гипотенузой.

2) Катеты равны 40 д. и 42 д. Определить радиусы кругов описанного и вписанного.

702.  Определить относительное положение центра описанного круга, если даны три стороны треугольника, или отношение их:  1)  5; 8; 10.    2) 8 : 7 : 5.    3) 80; 315; 325.

703.   Для треугольника определить R и r при следующей длине сторон: 1) 13; 14;  15.   2) 15; 13; 4.   3) 35; 29; 8. 4) 4; 5; 7.

704*. Определить радиус круга, описанного около равнобедренной трапеции, у которой основания а и b (а > b), a боковая сторона с.

705*. В треугольнике ABC по двум сторонам а и b и радиусу R описанного круга определить третью сторону с. (а = 17;  b = 10;  R =10 ⁵/₈).

706. Около треугольника со сторонами 10 д., 15 д. и 20 д. описан круг, а около этого круга описан треугольник со сторонами  параллельными  сторонам первого треугольника. Определить стороны второго треугольника.

707*. Доказать, что в прямоугольном треугольнике вписанный круг делит гипотенузу на отрезки, произведение которых равно площади этого треугольника.

708*. Пусть будут α , β  и γ   отрезки сторон треугольника, образуемые точками касания вписанного круга. Доказать, что S = √α • β • γ (α + β + γ)

709. Стороны треугольника относятся как 13:14:15. В каком отношении разделится площадь этого треугольника прямой, проведенной через центр вписанного круга параллельно средней стороне?

710*. В треугольнике АВС вырезана ¹/₁₆ его площади в виде тр-ка DEF, стороны которого параллельны сторонам тр-ка АВС и одинаково отстоят от них. Найти это расстояние, если стороны тр-ка АВС суть: 13 д., 37 д. и 40 д.

711*. В треугольнике АВС дано: а =25; b =30; /  В  = 2A. Требуется определить с, R и r.

ОТВЕТЫ