§ 14. Длина окружности и дуги. Площадь круга и его частей.

1 сажен = 3 аршина   
1 аршин = 16 вершков
1 фут = 12 дюймов     

В числовых задачах этого отдела (если нет особoго указания) для приближенного  вычисления  взято π = 3,14 и  ¹/_π= 0,32*).

*)  π  = 3,14159 26535 89793 23846....

¹/_π = 0,31830 98861 83790 67153....

712.   Вычислить длину окружности, если радиус равен:  1) 10 д.;   2)  15 м.;   3)  35 д.

713.   Вычислить радиус,   если  длина окружности равна:   1)   1  м.;   2)  25 д.;   3) 4,75 д.

714.   По данному  радиусу r определить   длину  дуги,   содержащей:   1)  45°;   2)  24°30';   3)   5° 14'15".

715.   Определить   радиус  дуги,   если   её  длина равна l, а  величина   (градусное   выражение):    1)  135°;   2)  10°40'; 3)  210°50".

716.   Определить число градусов дуги, если дан её радиус r и длина l :   1) r =10; l =45.   2) r =15; l = 6.

717.   Определить   в градусах  и минутах   дугу, длина которой равна радиусу.  (¹/_π = 0,31831 ).

718.   По данной хорде а определить длину её дуги, если она содержит:   1)  60°;   2)  90°;   3)  120°.

719.   По данной длине дуги l определить её хорду, если дуга содержит:   1)  60°;   2) 90°;   3)  120°.

720. Определить радиус окружности, если она длиннее своего диаметра на 107 см.

721. На сколько увеличится длина окружности, если радиус увеличить на т?

722.   Из двух концентрических окружностей одна равна 167 д., а другая 117 д. Определить ширину кольца.

723.   Определить длину окружности, если она более периметра правильнoго вписаннoго 6-угольника на 7 д.

724. Дуга сегмента содержит 120° и имеет длину l. Определить длину окружности, вписанной в этот сегмент.

725.   Данная   прямая   разделена   на несколько равных частей, и на них,  как  на  диаметрах,  построены  полуокружности поочередно сверху и снизу. Доказать, что длина полученной волнообразной  линии   равна  длине полуокружности, построенной на целой прямой.

726.   Из концов дуги АСВ, содержащей  120°, проведены касательные  до взаимнoго   пересечения   в  точке D, и в полученную   фигуру ACBD  вписана окружность. Доказать, что она равновелика дуге АСВ.

727.   В квадрант (четверть круга)  вписан полукруг, имеющий концы диаметра на боковых радиусах квадранта. Доказать,   что дуга квадранта и вписанная полуокружность равновелики.

728.   Между   боковыми   сторонами   равнобедреннoго   треугольника описаны две дуги касательные к основанию, принимая за центр   одной  дуги  вершину  треугольника,   а за центр   другой — середину   высоты.   Доказать,   что  эти дуги имеют одинаковую длину.

729.   Определить степень точности при замене ¹/₂С через а₃ + а₄  (для приближеннoго спрямления окружности).

730. Одно   из приближенных   спрямлений   окружности состоит в том, что   ее заменяют   периметром   прямоугольнoго треугольника, у которoго один катет = ⁶/₅ диаметра, а другой катет =³/₅ диаметра. Определить степень точности этого способа.

731. Определить площадь  круга при следующей длине радиуса:   1)  10 д.,   2) 4 м.;   3) 2,5   вершк.

732.  Определить радиус круга, если его площадь равна: 1) 2 кв. д.; 2)  50 кв. м.;   3)  17  кв. вершк.

733.   1) Определить площадь  круга,  если длина окружности равна 8 д.

2) Определить   длину   окружности,   если площадь круга равна 18 кв. д.

734.  Определить площадь круга,  если площадь вписаннoго квадрата равна F.

735.  Вычислить площадь круга, если она менее площади описаннoго квадрата на 4,3 кв. м.

736. Найти отношение между площадями вписаннoго и описаннoго кругов: 1) для правильнoго 3-ка, 2) для квадрата;   3) для правильнoго 6-ка.

737.  Какую  часть площади  круга  составляют площадь вписанных квадрата и правильнoго 12-угольника?

738.  Найти отношение между площадями двух полукругов, из которых второй помещается внутри первoго так, что вторая полуокружность касается первoго диаметра, а второй диаметр служит хордой параллельной первому диаметру.

739. 1) Вычислить площадь кольца, если радиусы окружностей равны 8 д. и 7 д.

2) В концентрическом кольце хорда большей окружности, касающаяся меньшей, равна а. Определить площадь кольца.

3) Определить площадь, которую опишет касательная равная а, если точка касания сделает полный оборот по окружности.

740.   Круг обложен шестью  равными  ему  кругами, и полученное соединение семи равных кругов охвачено таким концептрическим кольцом, которое равновелико их сумме. Доказать,   что  ширина  этого  кольца  равна paдиycy кругов.

741.   Определить площадь сектора, если радиус равен r, а дуга содержит:   1)  67°30'; 2)  15°45'; 3)  200°40".

742.   Определить радиус сектора, если его площадь равна q , а центральный  угол равен:   1) 72°;   2) 36';   3) 40'50".

743.   Радиус сектора равен r, а площадь равна q. Определить величину центральнoго угла (или дуги).

744.   Определить   в   целых   градусах   угол   сектора равновеликoго вписанному квадрату.  (¹/_π = 0,318).

745.   Определить площадь сегмента, если радиус = r, а дуга содержит: 1) 120°; 2) 90°; 3) 60°; 4) 45°; 5) 30°; 6) 36°.

746.   Определить площадь сегмента, если хорда = а, а дуга содержит: 1) 120°; 2) 90°; 3) 60°; 4) 45°; 5) 30°; 6) 36°.

747.   Определить  площадь  сегмента,  если радиус = r, а дуга содержит:   1)  135°;   2)  150°;   3) 162°.

748.   1) Полуокружность радиуса r разделена на три равные части, и точки деления соединены с концом диаметра. Определить площадь средней части полукруга.

2) Концы дуги CD одинаково удалены от концов диаметра АВ. Определить площадь, заключенную между дугой CD и хордами АС и AD, если площадь круга равна Q и дуга CD содержит п°.

749.   1) В круге радиуса r проведены по одну сторону центра две параллельный хорды, из которых одна стягивает дугу в 120°, а другая — в 60°.  Определить часть площади круга, заключенную между хордами.

2) Такая же задача для дуг в 150° и 90°.

750. Общая хорда двух пересекающихся окружностей равна а и стягивает в одном круге дугу в 60°, а в другом — дугу в 90°. Определить площадь общей части кругов.

751. Площадь даннoго круга равна Q. Определить площадь вписаннoго в него прямоугольника, стороны которoго относятся как т : п.

752.   В круг радгуса  r вписан  прямоугольник, площадь которoго составляете половину  площади круга. Определить стороны этого прямоугольника.

753.   Около круга, площадь которoго  равна   Q, описан ромб с углом в 30°. Определить площадь этого ромба.

754. Около правильнoго треугольника описана окружность, и в тот же треугольник вписана окружность. Определить площадь кольца, заключеннoго между этими окружностями, если площадь треугольника равна Q.

755. АМВ— дуга, содержащая 120°; ОА и ОВ — радиусы; АС и ВС— касательные; DME— дуга, описанная из центра С между СА и СВ и касающаяся дуги АМВ. Найти отношение  между площадями  секторов   CDME и  ОАМВ.

756.   Из концов дуги АСВ проведены касательные до пересечения в точке D.   Определить  площадь  DАСВ, заключенную между двумя касательными и дугой, если радиус дуги равен r, а её величина равна: 1) 90°; 2) 120°; 3) 60°.

757.   Из центра  равностороннего треугольника описана окружность, пересекающая его стороны так,   что внешние дуги содержат  по 90°.   Означая   сторону  этого   треугольника через а, определить площадь, ограниченную внутренними дугами и средними отрезками сторон.

758.   Два равные полукруга наложены так, что диаметры их параллельны, а полуокружность одного проходит через центр другого. Определить площадь общей части полукругов по данному их радиусу r.

759.   На каждой стороне квадрата, принятой за диаметр, описана полуокружность,   лежащая   внутри   квадрата. Определить площадь полученной розетки, если сторона квадрата равна а.

760. На сторонах ромба описаны, как на диаметрах, полуокружности, обращенные внутрь. Определить площадь полученной розетки, если диагонали ромба равны а и b.

761.   В равностороннем  треугольнике   проведены дуги между каждыми двумя  вершинами через центр  треугольника. Определить  площадь  полученной   розетки, если  сторона треугольника равна а.

762.   На сторонах  прямого угла ВАС отложены равные отрезки АВ и АС, имеющие длину а, и внутри угла проведены дуги АРМВ и AQMC, содержащие по 120° (М— точка их пересечения). Требуется определить площадь, заключенную между дугами АРМ и AQM.

763. Между точками А и В проведены две дуги, обращенные выпуклостью в одну сторону: дуга АМВ = 240° и дуга ANB = 120°. Расстояние между серединами этих дуг равно а. Определить площадь   луночки.

764*. Если радиус данного круга разделить в среднем и крайнем отношении и, взяв большую часть, описать ею концентрическую окружность, то площадь данного круга также разделится в среднем и крайнем отношении, причем большей частью будет кольцо.  Доказать это.

765. Диаметр разделен на равный части, и из обоих его концов проведены полуокружности во все точки деления, причем из одного конца все полуокружности сверху, а из другого—все снизу. Доказать, что полученными изогнутыми линиями круг разделился на части равной величины, а периметр каждой части равен длине окружности.

766.   В  прямоугольном   равнобедренном   тр-ке  АВС из вершины  прямого угла, В, как из центра, радиусом ВА описана  дуга ВDС; приняв  за центр  вершину А, радиусом  АС описана дуга CEF, гдe F—точка  на  продолжении катета АВ. Доказать, что секторы DABC и AСEF равновелики.

767.  В прямоугольном равнобедренном тр-ке ABC на гипотенузе ВС, как на диаметре, описана полуокружность ВDАЕС, а из  точки А, как из центра, радиусом АВ описана  дуга   BFC.   Доказать,  что  сегмент  BFC равновелик сумме сегментов ВDА и СЕА.

768. АВ и СВ—два взаимно перпендикулярные диаметра. Из точки В, как из центра, радиусом ВА описана дуга АМВ. Доказать, что луночка АМВС равновелика треугольнику ABD.

769. Из точки С данной полуокружности опущен перпендикуляр СD на диаметр АВ, и на отрезках АD и DВ построены новые полуокружности по одну сторону с данной. Доказать, что площадь, заключенная между тремя полуокружностями, равна площади круга с диаметром СD.

ОТВЕТЫ