§ 15. Смeшанный отдeл.

1 сажен = 3 аршина   
1 аршин = 16 вершков
1 фут = 12 дюймов     

770.  В прямоугольном треугольнике через середину высоты (выходящей из вершины прямого угла) проведена прямая параллельная большему катету. Определить её длину, если катеты равны 75 д. и 100 д.

771.   Определить сторону ромба, если  окружность, проведенная через вершины  обоих тупых углов и одного из острых, делит большую ддогональ на части в 5 м. и в 14 дм.

772.   Данного круга касаются два равных меньших — один  изнутри, другой  извне,  причем  дуга  между  точками касания содержит 60°.   Определить расстояние между центрами меньших  кругов,   если  их радиус равен r, a радиус большого круга равен R.

773.    Основание   треугольника   равно   75   д.,   а   боковыt стороны 65 д. и 70 д. Высота разделена в отношении 2:3, и через точку деления проведена прямая параллельная основанию. Определить площадь получившейся при этом трапеции.

774.   Определить площадь  треугольника  по  данному радиусу R описанного   круга  и  двум  углам,  содержащим 45° и 60°.

775. Определить катеты прямоугольного треугольника, если они относятся между собой как 20:21, а разность между радиусами кругов описанного и вписанного равна 17 д.

776. На диаметре АВ данного круга взят отрезок CD, и проведены полуокружности АС и АD по одну сторону АВ и  полуокружности ВС и BD по другую сторону АВ. Доказать, что периметр листка АСВD  равен длине окружности, а его площадь относится к площади круга как CD : АВ.

777.   В круг радиуса r вписан прямоугольнпк ABCD. Определить площадь  этого  прямоугольника, если дуга АВ содержит:   1)  30°;   2) 45°;   3) 60°.

778.   Диаметр круга делится на три равные части двумя хордами,   выходящими  из середины полуокружности. Определить,   какой   части  диаметра  равна  хорда,  соединяющая концы двух первых хорд.

779.   ABMCD — дуга,   содержащая 210°;  АВСD — вписанный в нее прямоугольник, площадь которого равна Q. Определить площадь сегмента ABMСD.

780.   В параллелограмме отношение сторон и отношение диагоналей есть 1 : 2. В каком отношении делится большая сторона  высотой,   проведенной  из   вершины тупого угла?

781.   Основания трапеции равны 70 д. и 42 д., а боковые стороны 26 д. и 30 д. Определить площадь  этой трапеции и  площадь  дополнительного треугольника, полученногоот продолжения боковых сторон трапеции.

782.   Определить  радиус  круга,  вписанного  в данный сектор, если радиус сектора равен R, а дуга содержит: 1) 60°;   2) 90°;   3)  120°.

783. В треугольнике ABC проведены высоты ВD и СЕ, и точки D и Е соединены. Найти отношение площади ADE к ABC:   1) если / А = 45°;   2) если  / А = 30°.

784.   Две   параллельные  хорды равны 14 д. и 40 д., а расстояние  между  ними   39 д. Определить  площадь   круга.

785.   В   равностороннем   треугольнике   со   стороной а каждая вершина служит центром дуги,  соединяющей две другие вершины. Определить площадь фигуры, ограниченной тремя дугами, и радиус круга, вписанного в  эту фигуру.

786.   Прямые, соединяющие середину одной из больших сторон   параллелограмма  с   концами другой  большей стороны, взаимно перпендикулярны и равны 6 д. и 8 д. Определить стороны и диагонали этого параллелограмма.

787.   1) Гипотенуза равна с, а один из острых углов равен 75°. Определить катеты и высоту.

2) Такая же задача для угла в 67°30'.

788.   Определить  катеты,   если гипотенуза равна 50 д., а радиус вписанного круга равен 6 д.

789. Пусть будут R и r радгусы двух окружностей, лежащих одна вне другой, и пусть а и b означают длину их общпх касательных, внешней и внутренней. Требуется доказать, что а² — b²=2R • 2г.

790*. По данному paдиycy r определить сторону правильного вписанного 15-угольника.

791. В тр-ке АВС даны стороны: АВ=13 д., АС=14 д. и BC = 15 д. Из середины D стороны АС восставлен перпендикуляр к ней до пересечения, в точке Е, с продолженной биссектрисой угла В. Определить длину DE.

792.  АВ и ВС—последовательные дуги, содержащие 30° и 90°. Требуется определить, по радиусу r, площадь треугольника АВС.

793. С — точка на диаметре АВ данного круга; АМС и CNB—полуокружности, лежащие по разные стороны диаметра. Если точка С делит диаметр АВ в среднем и крайнем отношении, то линия AMCNB делит площадь данного круга также в среднем и крайнем отношении. Доказать это.

794*. Около круга, радиус которого равен 4 д., описана равнобедренная трапеция с боковой стороной равной 15 д. Определить радиус круга, описанного около этой трапеции.

795. Проверить равенство:       хорда 150° — хорда 30°= хорда 90°.

796. АВ — дуга окружности с центром О, AD—перпендикуляр на радиус ОВ; если отложить дугу АС равную (по длине) этому перпендикуляру, то сектор BOС и сегмент AСB равновелики. Доказать это.

797*. Прямая параллельная основаниям трапеции делить её площадь в отношении т : п (начиная от большего основания). Определить длину этой прямой, если основания трапеции суть а и b (а > b).

798. В равносторонний треугольник вписаны три равных круга так, что каждый касается двух сторон треугольника и двух других кругов. Определить радиус этих кругов, если сторона треугольника равна а.

799. Два равных круга радиуса r расположены так, что центр одного лежит на окружности другого. Из первой точки пересечения данных окружностей проведены два диаметра, и концы их соединены дугой, имеющей центр в названной точке; то же самое сделано и со второй точкой пересечения окружностей. Определить периметр и площадь полученного овала.

800*. В 4-угольнике ABCD дано: АВ=48, ВС=57, CD = 73, DA = 80 и диагональ AC=63. Определить площадь 4-угольника и диагональ BD.

801*. Диаметр АВ=25 д., хорда АС=7 д. и хорда BD=15 д. (точки С и D — по одну сторону диаметра); АС и BD продолжены до взаимного пересечения в точке М. Определить длину СМ и DM.

802. В треугольнике ABC дано: ВС = а, /  B=75° и /  C=60°. Определить АВ и АС.

803*. Доказать, что в описанной равнобедренной трапеции диаметр круга есть средняя пропорциональная между её основаниями.

804. Две параллельные хорды лежат по одну сторону центра, и  сумма  их  дуг  равна   180°. Определить часть площади круга, заключенную между хордами, если меньшая дуга содержит п°, а радиус круга равен r.

805. В равнобедренном прямоугольном треугольнике, с гипотенузой а, прямой угол разделен на три равные части прямыми, проведенными к гипотенузе. Определить полученные отрезки гипотенузы.

806*. ОА и ОВ — два взаимно перпендикулярные радиуса; М— середина ОВ; из конца С хорды АМС проведена касательная, встречающая продолжение paдиyca OB в точке D. Определить длину OD, если радиус круга равен r.

807. Вершины данного правильного п-угольника служат центрами дуг равного радиуса, проведенных между смежными сторонами, а центр многоугольника служит центром окружности, которая касается тех дуг; при этом радиус окружности и радиус дуг взяты так, что круг равновелик сумме всех секторов. Определить радиус дуг, если радиус многоугольника равен R. (n = 4; 10; 20).

808*. Если угол ромба равен 30°, то сторона есть средняя пропорциональная между диагоналями. Доказать это.

809. В треугольник вписан параллелограмм. Узнать, как относятся их площади, если сторона треугольника относится к лежащей на ней стороне параллелограмма как т : п.

810*. Основание треугольника равно 14 д., а боковые стороны 13 д. и 15 д. В него вписан равнобедренный треугольник так, что его основание параллельно основанию данного треугольника, одна из боковых сторон лежит на боковой стороне данного треугольника и высота равна 7 д. Определить расстояние между основаниями — данного треугольника и вписанного равнобедренного.

811*. В прямоугольнике со сторонами а и b соединены середины смежных сторон, а через вершины этого прямоугольника проведены прямые перпендикулярные к его диагоналям.   Показать,   что получившиеся два ромба подобны, и определить oтношение их площадей.

812. АВ, ВС и CD— последовательные дуги в 60° каждая, взятые на окружности радиуса r. М — точка пересечения хорд АС и ВD. Определить площадь каждой из четырех частей круга, лежащих вокруг точки М.

813*. В прямоугольник вписан параллелограмм, стороны которого параллельны диагоналям прямоугольника и относятся между собой как т : п. Определить площадь параллелограмма, если стороны прямоугольника равны а и b.

814*. Определить площадь трапеции по четырем её сторонам а, b, с и d (а и b — основания,   причем   а > b).

815.   Определить угол при вершине в равнобедренном треугольнике, у которого центры кругов вписанного и описанного симметричны относительно основания*).

*) Т.е. линия, соединяющая их, перпендикулярна к основанию и делится им пополам.

816.   В данный четырехугольник вписан  ромб, у которого   стороны  параллельны диагоналям   четырехугольника. Определить сторону ромба, если диагонали  данного четырехугольника равны l и т.

817. Стороны параллелограмма разделены в отношеннии т : п (в одном направлении), и точки деления соединены по порядку. Найти  отношение  площади вновь полученного параллелограмма к площади данного.

818.   В  треугольнике   ABC высота  BD  равна 6 д. и делит основание  АС на  части AD и DС, из которых DC равна 3 д. Определить   AD,   если  угол  ABD  вдвое более угла CBD.

819. Определить площадь треугольника, если его высота равна 1 д. и делит угол при вершине на части в 15° и 75°.

820*. В треугольнике определить биссектрису угла, заключенного между сторонами а и b, если этот угол содержит: 1)  120°;   2)  90°;   3) 60°.

821*. В трапеции через точку пересечения диагоналей проведена между боковыми сторонами прямая параллельная основаниям. Определить длину этой прямой, если основания равны а и b.

822. АВСD— трапеция, причем АD || ВС; Е и F— середины сторон АВ и СD; G — точка пересечения линий ЕС и BF; Н — точка пересечения линий AF и DE. Определить площадь 4-угольника EGFH, если основания трапеции равны а и b, а её высота равна h.

823*. В треугольнике ABC дано: а = 20, b =15 и А — В = 90°. Определить с.

824. Стороны параллелограмма суть а и b (а > b), а угол между ними равен 30°. Определить: 1) площадь этого параллелограмма; 2) площадь прямоугольника, который образуется пересечением линий, делящих углы параллелограмма пополам.

825*. В треугольниках АСВ и ADB, лежащих по одну сторону общего основания АВ, углы С и D равны каждый 120°, сторона АС менее ВС и сторона ВD менее АВ. Определить расстояние CD, если АВ = 49 д. и периметры данных треугольников соответственно равны 104 д. и 105 д.

826.   Две   стороны  треугольника суть b и с, а площадь равна  ^bc√3/₄.  Определить третью сторону.

827*. Определить площадь треугольника по трем его высотам h_a, h_b и h_c.

828*. Определить площадь треугольника по трем его мeдиaнaм l, m и п.

829.   Определить  площадь   треугольника,   если  одна из его сторон равна 42 д., а медианы, проведенные к двум другим сторонам, суть 30 д. и 51 д.

830.   В треугольнике ABC  сторона а = 375, b = 492 и с = 240. Около этого  треугольника   описан  круг, и середина М дуги   АС  (проходящей  внутри   угла ABC) соединена с вершиной В. Определить хорду ВМ.

831*. С—произвольная точка на диаметре АВ; DE— хорда, проходящая через С и составляющая с АВ угол в 45°. Доказать, что СD² + СЕ² есть величина постоянная (одинаковая для всех положений С).

832*. Определить площадь треугольника, если даны стороны а и b и биссектриса t угла между ними.

833*. Если в трапеции прямая параллельная основаниям есть средняя пропорциональная между ними, то части данной трапеции подобны между собой. Доказать это.

834. В параллелограмме ABCD через точку пересечения диагоналей проведен перпендикуляр к стороне ВС, встречающей продолжение стороны АВ в точке Е. Дано: АВ=20, ВC= 30 и ВЕ = 115. Требуется определить диагонали BD и АС.

835*. Определить площадь вписанного четырехугольника по его сторонам а, b, с и d.

836*.  А — точка на окружности радиуса r; АВ—касательная равная радиусу; ВС — секущая, составляющая с АВ угол в 15°. Определить длину ВС.

837. Стороны треугольника ABC суть: АВ = 10 д., ВС= 17 д. и АС=21 д. Требуется найти на стороне АС такую точку D, чтобы линия BD была средняя пропорщональная между отрезками AD и DC. (Определить АD).

838. В трапеции ABCD большее основание AD = a, меньшее основание ВС= b. Площадь этой трапеции разделена пополам прямой AM. Определить отношение CM : MD.

839*. Точка, взятая внутри угла в 60°, удалена от его сторон на расстояния а и b. Найти её расстояние от вершины угла.

840.   В трапеции точка пересечения диагоналей отстоит от оснований на g и k, а параллель к основаниям, проведенная через эту точку,  равна  f. Определить  площадь трапеции.

841.   В треугольнике   со сторонами а, b и с проведена между а и b прямая,   делящая  треугольник   на две части с одинаковой площадью и одинаковым периметром. Определить отрезки сторон а и b, прилежание к вершине С.
— Примеры: 1) а = 5; b = 12; с = 9.    2) а = 9; b = 8; с = 7.

842*. ОА и ОВ — два взаимно перпендикулярные paдиyca; С—произвольная точка на дуге АВ; DСЕ—прямая параллельная хорде АВ, причем D и Е — точки на продолжениях радиусов ОА и ОВ. Доказать, что СD²  +  СЕ² = АВ².

843.   Стороны треугольника суть: а = 39; b = 17; с =28. Вычислить  для   этого  треугольника: площадь, радиус описанного круга и радиусы вписанных кругов (внутреннего и трех внешних).

844.   В треугольнике найти расстояние от центра вписанного круга до вершин при следующей  длине сторон: 1) 3; 4;  5.    2)  26; 25;  17.

845*. Радиусы вневписанных в треугольник кругов суть: 66 д., 24 д. и 8 д. Найти радиус описанного круга.

846.   В равнобедренном треугольнике боковая сторона  = 9 м., а основание = 12 м. Около него описан   круг, и в тот же треугольник вписан круг. Определить хорду описанного круга, проведенную через боковые точки каcaния вписанного круга.

847.   Высотой, проведенной   из вершины   прямого  угла, данный прямоугольный треугольник делится на части, периметры которых суть М и N.   Определить периметр данного прямоугольного треугольника.

848. Окружность радиуса r разделена на шесть равных частей, и между последовательными точками деления проведены равные внутренние дуги такого радиуса, что на данной окружности они взаимно касаются. Требуется: 1) определить площадь внутренней части данного круга, заключенной между проведенными дугами; 2) описав концентрическую окружность касательную к тем же дугам, определить отношениe площади нового круга к площади данного.

849. В прямоугольном треугольнике АВС катет АС = 15 д. и катет ВС = 8 д. В этом треугольнике проведены: СD_|_AВ; DE_|_AC; EF_|_ AB; FG_|_ АС; и т. д. К какому пределу стремится длина ломаной линии BCDEFG...?

850*. Доказать: 1)Если стороны прямоугольного треугольника составляют арифметическую пpoгpeccию, то оне относятся как 3:4:5. 2) Если стороны прямоугольного треугольника составляют геометрическую пpoгpeccию, то высота делит гипотенузу в среднем и крайнем отношении (причем большая часть равна меньшему катету).

ОТВЕТЫ