§ 1. Перпендикуляр и наклонные к плоскости.

1.  На чертеже 1 изображён прямоугольный параллелепипед.

Черт. 1

1)  Пересекаются ли прямые DB₁ и D₁C?    ВВ₁ и D₁С?

2)   Возможно ли провести плоскость через прямые AD и B₁С₁? через DC и DB₁? через ВС и АA₁?

2.   Провести  плоскость,   проходящую через концы трёх рёбер куба, выходящих из одной вершины. Ребро куба   равно а. Вычислить  площадь  сечения   (черт. 2).

Черт. 2

3.   Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны 3 см,  4 см и 7 см.   Определить площадь сечения, проведённого через концы трёх рёбер, выходящих   из   одной вершины.

4.  Основанием правильной призмы служит треугольник со стороной а.  Высота призмы равна b. Провести плоскость через одну из сторон нижнего основания и через противоположную вершину верхнего основания. Вычислить площадь полученного сечения.

5. Через точку, взятую на прямой, провести плоскость, перпендикулярную  этой прямой.

6.Через точку, взятую вне прямой, провести плоскость, перпендикулярную к этой прямой.

7.   1) Из точки А, данной на расстоянии 6 см от плоскости, проведена к ней наклонная АВ, равная 10 см. Найти её  проекцию ВС на данную плоскость (черт. 3).

2) Из некоторой точки проведены к данной   плоскости  перпендикуляр,   равный  а,   и  наклонная;   угол между ними равен 45°. Найти длину наклонной.

8.  Определить на данной плоскости   геометрическое  место точек, удалённых на данное расстояние от точки, лежащей вне плоскости.

9.  Из центра круга проведён перпендикуляр к его плоскости. Определить расстояние от конца этого перпендикуляра до точек окружности, если   длина   перпендикуляра   равна  а, а площадь круга равна Q.

10.   Определить геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от всех точек данной окружности или от трёх точек, не лежащих на одной прямой.

11.  Найти геометрическое место  точек, равноудалённых от двух данных точек.

12.   В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁  боковое ребро А₁А = 56 см,   а   стороны   основания   АВ = 33 см   и   АD = 40 см. Определить площадь сечения, проведённого через рёбpa  AD и  B₁C₁.

13.  Точка О — центр квадрата со стороной а; ОА — отрезок перпендикулярный к плоскости квадрата и равный b. Найти расстояние от точки А до вершин квадрата.

14.  Из точки М, отстоящей от плоскости Р на расстоянии d = 4, проведены   к этой плоскости наклонные MA, MB, MC под углами в   30°,   45°,   60°   к   прямой МО, перпендикулярной   к   Р.   Определить   длину   наклонных MA, MB и МС.

15. Из некоторой точки М проведены к плоскости Р три наклонные: МА=МВ=МС= l.  Показать, что точки  А, В и С (основания наклонных на  плоскости Р) лежат на одной окружности,    центром    которой   служит    точка   О — проекция точки М.

16.  Дана плоскость; из некоторой точки пространства проведены к этой плоскости две наклонные длиной 20 см и 15 см; проекция первой из них на плоскость равна  16 см; найти проекцию второй наклонной.

17.  Из некоторой   точки   пространства проведены к данной плоскости перпендикуляр, равный 6 см, и наклонная длиной 9 см. Найти проекцию перпендикуляра на наклонную.

18.  Сторона   равностороннего   треугольника    равна   3   см. Определить   расстояние   от   его   плоскости   до точки, которая отстоит от каждой из его вершин на 2 см.

19.   1) Из некоторой точки А (черт. 4) проведены к данной плоскости Р перпендикуляр АО = 1 см и две равные наклонные ВА  и АС, которые образуют с перпендикуляром     / ВАО = /  СAO = 60°, а между собой /  САВ = 90°. Найти расстояние ВС между основаниями  наклонных.

2)   Из  данной   точки   проведены   к  данной   плоскости две наклонные, равные каждая 2 см; угол между ними   равен   60°, а угол между их проекциями — прямой. Найти расстояние данной точки от плоскости.

3)   Из некоторой точки проведены к данной   плоскости две равные   наклонные;   угол   между   ними   равен   60°, угол между их   проекциями — прямой.   Найти   угол   между   каждой наклонной и её проекцией.

20.  В  равнобедренном треугольнике    основание   и высота   содержат   по 4 см. Данная     точка     находится на    расстоянии    6 см    от плоскости   треугольника   и на   равном   расстоянии   от его вершин. Найти это расстояние.

21.  Дан равнобедренный треугольник   ABC   с   основанием  b = 6 см и боковой  стороной  а = 5 см. К плоскости треугольника в центре О вписанного в него круга проведён перпендикуляр OK=2 см. Найти расстояние точки К от сторон треугольника и от вершины В.

22.   1) В треугольнике ABC угол В прямой и катет BС = а. Из вершины А проведён к плоскости   треугольника   перпендикуляр AD так, что расстояние между точками D и С равно f. Определить расстояние от точки D до катета ВС.

2)   Катеты   прямоугольного   треугольника ABC равны 15 м и 20 м.  Из   вершины   прямого   угла  С  проведён   к   плоскости этого треугольника перпендикуляр CD = 35 м. Найти  расстояние от точки D до гипотенузы АВ.

3)  Стороны треугольника:  10 см,  17 см   и   21  см. Из вершины большего угла   этого   треугольника   проведён   перпендикуляр к его плоскости, равный 15 см. Определить   расстояние от его концов до большей  стороны.

23.   В треугольнике  ABC  угол   С прямой;   CD — перпендикуляр  к  плоскости  этого  треугольника.   Точка   D   соединена с А и В.  Определить площадь треугольника ADB, если дано: СA = 3 дм, ВС=2 дм и CD= 1 дм.

24.    В   вершине  А  прямоугольника  ABCD   проведён к его плоскости  перпендикуляр  АК,   конец  К которого  отстоит от других вершин на расстоянии 6 см, 7 см и 9 см. Найти длину перпендикуляра АК.

25.  А и В — точки на плоскости М; АС и  BD — перпендикуляры к этой плоскости, причём   АС= а  и   BD = b.   Доказать,   что  линии   AD  и ВС  пересекаются, и определить   расстояние от точки их пересечения до плоскости М.

26.  Точка М, лежащая вне плоскости данного прямого угла, удалена от его вершины В на а, а от каждой из сторон — на b. Чему   равно   расстояние   МО   точки   М  от   плоскости прямого угла   (черт. 5)?

27. На плоскости M даны две параллельные прямые АВ и CD, расстояние между которыми равно а. Вне плоскости М дана точка S, удалённая от АВ на b и от CD на с. Определить расстояние от точки S до плоскости М, если известно, что 1) а = 66, b = с = 65;  2) а = 6, b = 25, с = 29.

28. 1) Если из вершины угла, лежащего на плоскости, провести наклонную к плоскости так, чтобы она составляла со сторонами угла равные углы, то проекция этой наклонной будет служить биссектрисой данного угла. Доказать.

2) Из вершины А треугольника ABC проведена вне его плоскости прямая AD, образующая со сторонами АВ и АС равные острые углы. На какие части проекция прямой AD на плоскость треугольника делит сторону ВС, если АВ = 51 м, АС= 34 м  и  BC=30 м?

ОТВЕТЫ