§ 3. Параллельные прямые и плоскости.

Параллельные прямые.

1. 1) А и В — точки вне плоскости М; АС и BD — перпендикуляры   на   эту плоскость;АС = 3 м, BD = 2 м  и CD = 24 дм.   Определить  расстояние  между  точками А и В.

2) На верхние  концы  двух вертикально стоящих столбов, удалённых один от другого (по поверхности земли) на 3,4 м, упирается концами перекладина. Один из столбов возвышается над землёй на 5,8 м, другой — на 3,9 м. Определить длину перекладины.

2.   1) Концы  данного  отрезка   длиной   125 см   отстоят от плоскости   на   100 см   и   56 см.   Найти   длину   его   проекции.

2) Телефонная проволока длиной 15 м протянута от телефонного столба, где она прикреплена на высоте 8 м от поверхности земли, к дому, где её прикрепили на высоте 20 м. Определить расстояние между домом и столбом, предполагая, что проволока не провисает.

3.  Из точки  А   плоскости   М проведена  наклонная прямая линия, и на ней взяты точки  В и С, причём  АВ = 8 см и АС=14 см. Точка В удалена от плоскости М на 6 см. Найти расстояние точки С от плоскости М.

4.  Отрезок   длиной   10 см   пересекает    плоскость,   концы его удалены от плоскости на расстояние 5 см и 3 см.  Найти длину проекции отрезка на плоскость.

5. Отрезок пересекает плоскость; концы его отстоят от плоскости на расстоянии 8 см  и 2 см. Найти расстояние середины этого отрезка от плоскости.

6.  Концы  данного  отрезка,   не  пересекающего плоскости, удалены от неё   на 30 см и 50 см. Как удалена от плоскости точка, делящая данный отрезок в отношении 3:7? (Два случая.)

7.  Правильный   треугольник   спроектирован   на   плоскость; вершины его отстоят от плоскости на расстоянии 10 дм, 15 дм  и 17 дм.   Найти   расстояние   его   центра   от   плоскости   проекций.

8.  Данный  отрезок  АВ  параллелен  плоскости  и равен а. Отрезок ВА₁ соединяющий  конец В с проекцией А₁ другого конца, составляет с плоскостью угол в 60°. Определить длину отрезка BA₁.

9.  Из точек А и В плоскости М проведены вне её параллельные между  собой  отрезки: АС = 8 см и  BD = 6 см. Прямая, проведённая   через С и D, пересекает  плоскость М (почему?) в точке  Е.  Отрезок  АВ = 4 см.   Определить  расстояние BE.

10. АВ— отрезок на плоскости М, равный а, АС и BD—отрезки вне плоскости М, равные b, причём отрезок АС перпендикулярен к плоскости М, a BD, будучи перпендикулярен к АВ, составляет c плоскостью М угол в 30°. Определить расстояние CD.

Прямая, параллельная плоскости.

11. 1) Через данную точку провести прямую  паpаллельную данной плоскости.

2)   Через   данную   точку  провести   плоскость, параллельную данной прямой. Сколько  возможно провести таких плоскостей?

3) Даны плоскость и параллельная ей прямая. Через точку, взятую на плоскости, провести в этой же плоскости прямую, параллельную данной прямой.

12.  Провести через данную точку отрезок а так, чтобы его проекция на данную плоскость была равна самому отрезку.

13.   По стороне основания а и боковому ребру b правильной треугольной призмы определить площадь сечения, проведённого через боковое ребро и ось призмы.

14.  Из внешней точки А проведён к плоскости М отрезок AB. Он разделён точкой С в отношении 3:4 (от А к В) и через неё проведён параллельно плоскости М отрезок CD = 12см. Через точку D проведён  к  плоскости М отрезок ADE.   Определить расстояние между точками В и Е.

15.  BDC— отрезок, параллельный плоскости М; ABE, ADF и ACG—прямые, проведённые из внешней точки А к плоскости М и пересекающие её в точках Е, F, G. Определить расстояние между точками Е и G, если ВС = a, AD = b, DF = c.

16.  АВ  и CD — параллельные, отрезки, лежащие в двух пересекающихся плоскостях; АЕ и DF—перпендикуляры на линию пересечения   плоскостей. Расстояние АD= 5см и  отрезок EF= 4 см.   Найти   расстояние   между   прямыми АВ, и CD.

17.  Основание DA трапеции ABCD (черт. 6) находится на плоскости P, а основание   СВ отстоит от неё на 5 см. Найти расстояние от плоскости Р точки М пересечения диагоналей этой трапеции, если DA : CB = 7 : 3.

18.  В параллелограмме ABCD вершины A и D находятся на плоскости М, а В и С—вне её. Сторона AD =10 см, сторона АВ =15см,   проекции  диагоналей  АС и BD на   плоскость М соответственно равны 13,5 см и 10,5 см. Определить диагонали.

19.   Через одну из сторон ромба проведена плоскость на расстоянии 4 см от противолежащей стороны. Проекции диагоналей ромба на эту плоскость равны 8 см и 2 см. Найти проекции сторон.

20.  Через вершину прямого угла С прямоугольного треугольника ABC проведена плоскость параллельно гипотенузе на расстоянии 1 дм от неё (черт. 7). Проекции катетов на эту плоскость равны 3 дм и 5 дм. Определить проекцию гипотенузы на эту не плоскость.

21. АВ и CD—две параллельные прямые, лежащие в плоскости М на расстоянии 28 см одна от другой; EF—внешняя прямая, параллельная АВ и удалённая от АВ на 17 см, а от плоскости М на 15 см. Найти   расстояние   между   EF и CD. (Два   случая.)

22. Из концов отрезка АВ, параллельного плоскости М, проведены к ней перпендикуляр АС и наклонная BD_|_AB. Определить расстояние CD, если АВ = а,  АС = b и BD = c (черт. 8).

23. АВ — отрезок, параллельный плоскости М; АС и BD — две равные наклонные к плоскости М, проведённые перпендикулярно к отрезку АВ и в разных направлениях от него. Отрезок АВ, равный 2 см, отстоит от плоскости M на 7 см, а отрезки АС и BD содержат по 8 см. Определить расстояние CD.

24.   В   правильной    четырёхугольной    пирамиде    провести плоскость   через   диагональ   основания   параллельно боковому ребру. Сторона основания   равна   а, а боковое ребро равно b. Определить площадь полученного сечения.

25. В правильной треугольной пирамиде SABC Сторона основания а и боковое ребро равно b. Провести в этой пирамиде плоскость через середины рёбер АВ и ВС параллельно ребру SB. Определить площадь полученного сечения (черт. 9).

26. Каждое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно а. Провести сечение через середины двух смежных сторон основания и середину высоты (черт.  10) и найти его площадь.

Параллельные плоскости.

27.   Через  данную точку провести плоскость, параллельную данной плоскости.

28.  В кубе с ребром а провести плоскость, которая проходила бы через середины   двух смежных сторон верхнего основания и через центр нижнего. Вычислить периметр сечения.

29. Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно 8 дм. Отрезок длиной 10 дм своими концами упирается в эти плоскости. Определить проекции отрезка на каждую плоскость.

30. 1) Плоскости М и Р параллельны. Из точек А и В плоскости М проведены к плоскости Р наклонные: АС = 37 см и BD = 125 см. Проекция наклонной АС на одну из плоскостей равна 12 см. Чему равна проекция наклонной BD?

2) Отрезки двух прямых, заключённые между двумя параллельными плоскостями, равны 51 см и 53 см, а их проекции на одну из этих плоскостей относятся как 6:7. Определить расстояние между данными плоскостями.

31. Между  двумя   параллельными   плоскостями   заключены перпендикуляр длиной 4 м и  наклонная, равная 6 м. Расстояния между их концами в каждой  плоскости  равны  по 3 м. Найти расстояние между серединами перпендикуляра и наклонной.

32.  Два отрезка, сумма которых равна с, упираются своими концами  в  две  параллельные  плоскости;  проекции их а и b. Найти отрезки.

33.  Между  двумя  параллельными  плоскостями Р и Q проведены отрезки АС и BD (точки А и В лежат в плоскости Р); АС= 13 см; BD = 15 см; сумма длин проекций АС и BD на одну из данных плоскостей   равна  14 см. Найти длины этих проекций и расстояние между плоскостями.

34.1) Два прямых угла в пространстве расположены так, что стороны их соответственно параллельны, одинаково направлены и перпендикулярны к отрезку, соединяющему их вершины. Длина этого отрезка равна а. На стороне одного угла отложен от его вершины отрезок b, а на непараллельной ей стороне другого угла отложен отрезок с. Определить расстояние между концами этих отрезков.

2) В предыдущей задаче прямые углы заменить углами в 60° и взять а=24, b=5 и с=8.

35.   Вершины равностороннего  треугольника со стороной а находятся вне плоскости M на одинаковом от неё расстоянии d. Из центра треугольника  проведён перпендикуляр к его плоскости, равный h и направленный в сторону, противоположную плоскости М. Из конца этого перпендикуляра проведены прямые через вершины треугольника до пересечения с плоскостью М. Определить отрезки этих прямых между вершинами треугольника и плоскостью М и расстояния между их концами.

36.  В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ середины К и L противолежащих рёбер  АА₁  и   СС₁   соединены   отрезками прямых с вершинами куба B и D₁. Найти стороны и диагонали получившегося четырёхугольника KBLD₁ и определить   его вид.  Ребро куба равно а.

37.   В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ соединить по порядку середины следующих   рёбер:   АА₁,   А₁В₁,  В₁С₁,   С₁С,   CD,  DA  и  AA₁. Доказать, что полученная фигура есть правильный шестиугольник, и определить её площадь по ребру куба а.

38.  1) Основанием правильной призмы служит шестиугольник со стороной в 3 дм;  высота призмы равна 13 дм. Определить площадь   сечения,   проведённого   через   две   противолежащие стороны верхнего и нижнего оснований призмы.

2) Правильная шестиугольная призма, у которой боковые грани — квадраты, пересечена плоскостью, проходящей через сторонy нижнего основания и противолежащую ей сторону верхнего основания. Сторона основания равна а. Определить площадь полученного сечения.

ОТВЕТЫ