§ 4. Двугранные углы и перпендикулярные плоскости.

1.   1) На одной грани двугранного угла даны две точки А и В (черт.  11); из них опущены перпендикуляры на другую грань: АС = 1 дм и  ВD = 2дм, и на   ребро: АЕ = 3 дм. и BF. Найти BF.

2) На одной грани двугранного угла взяты две точки, отстоящие от ребра на 51 см и 34 см. Расстояние первой точки от другой грани равно 15 см. Определить расстояние второй точки.

2.  Двугранный угол равен 45°. На одной грани дана точка на расстоянии а от другой   грани.   Найти   расстояние этой точки от ребра.

3.    Если    равнобедренный    прямоугольный треугольник ABC перегнуть но высоте BD так,   чтобы   плоскости ABD и CBD  образовали   прямой двугранный угол, то линии DA и DC сделаются взаимно перпендикулярными, а ВА и ВС составят угол в 60°. Доказать.

4. Определить величину двуг.ранного угла, если точка, взятая на одной из граней,отстоит от ребра вдвое далее,чем от другой грани.

5. 1) Из точки, взятой внутри двугранного угла, опущен перпендикуляр на ребро; он образует с гранями углы в 38°24' и 71°36'. Вычислить величину двугранного угла.

2) Точка, взятая внутри двугранного угла в 60°, удалена от обеих граней на а. Найти её расстояние от ребра.

6.   1) А и В — точки на ребре прямого двугранного угла; АС и BD — перпендикуляры    к ребру,   проведённые в разных гранях. Определить расстояние CD, если АВ = 6 см, АС= 3 см и BD = 2см.

2) В предыдущей задаче прямой двугранный угол заменить углом в 120° и взять: a) AB = AC=BD = a;   b)АВ = 3, АС =2, BD = 1.

7.  Треугольник ABC, прямоугольный при С, опирается катетом АС на плоскость М, образуя с ней двугранный угол в 45°. Кaтет AС = 2 м, а гипотенуза АВ относится к катету ВС, как 3:1. Определить расстояние от вершины В до плоскости М.

8.   Основанием прямой призмы служит равнобедренный треугольник ABC, у которого  две  стороны  АВ  и ВС  содержат по 7 см, а третья АС = 2 см. Через сторону АС проведена плоскость под углом в 30° к плоскости основания, пересекающая противолежащее боковое ребро в точке D. Определить площадь полученногo сечения и отрезок   BD бокового ребра.

9. Два равнобедренных треугольника имеют общее основание, а плоскости их отклонены на 60°. Общее основание равно 16 см; боковая сторона одного треугольника равна 17 см, а   боковые стороны  другого   взаимно   перпендикулярны.   Определить расстояние между вершинами треугольников.

10.   1) Катеты прямоугольного   треугольника   равны 7 см и 24 см. Определить   расстояние  от   вершины   прямого   угла до плоскости,   которая   проходит   через   гипотенузу и составляет угол в 30° c плоскостью треугольника.

2) Дан треугольник ABC со сторонами: AВ = 9; ВС = 6 и АС = 5. Через сторону АС проходит плоскость М, составляющая с плоскостью треугольника угол в 45°. Найти расстояние между плоскостью М и вершиной В.

11.   Прямая   АВ  параллельна плоскости М и отстоит от неё на а; через АВ проходит плоскость Р, образующая с плоскостью М угол в 45°; в  плоскости Р  проведена прямая линия под углом 45° к АВ. Определить её отрезок между АВ и плоскостью М.

12.  АВ и CD — параллельные прямые, лежащие в двух пересекающихся   плоскостях, образующих   угол   в   60°.   Точки А и D удалены   от   линии   пересечения плоскостей на 8 см  и 6,3 см. Найти расстояние между АВ и CD.

13. Отрезок АВ   упирается своими концами в грани прямого двугранного угла PMNQ (черт. 12); концы отрезка находятся на одинаковых расстояниях от ребра MN двугранного угла. Найти отношение углов, под которыми отрезок наклонён к граням.

14. Найти геометрическое место прямых, перпендикулярных к данной плоскости и пересекающих прямую, данную на той же плоскости.

15. 1) Через данную точку провести плоскость, перпендикулярную к другой плоскости.

2) Через данную прямую провестиплоскость, перпендикулярную к другой плоскости. Сколько таких плоскостей можно провести?

16. АВ— прямая пересечения двух взаимно перпендикулярных плоскостей М и Р; CD— отрезок в плоскости М, проведённый параллельно АВ на расстоянии 60 см от неё; Е— точка в плоскости Р на расстоянии 91 см от АВ, Найти расстояние от Е до CD.

17.   1) Отрезок АВ соединяет точки А и В, лежащие на двух взаимно перпендикулярных  плоскостях.  Перпендикуляры, опущенные  из  точек  А и В на  линию  пересечения  плоскостей, соответственно   равны а и b, а расстояние   между их основаниями   равно   с. Определить   длину  отрезка  АВ и длины  его проекций на данные плоскости.

2) Данный отрезок имеет концы на двух взаимно перпендикулярных плоскостях и составляет с одной из них угол в 45°, a с другой — угол в 30°; длина этого отрезка равна а. Определить часть линии пересечения плоскостей, заключённую между перпендикулярами, опущенными на неё из концов данного отрезка.

18.   Боковое   ребро   правильной   шестиугольной   пирамиды равно 8 дм, сторона   основания   равна 4 дм.   Через   середины двух смежных сторон основания проведена плоскость, перпендикулярная к нему. Найти площадь сечения.

19.    В   правильной   четырёхугольной   пирамиде   провести плоскость через сторону основания перпендикулярно к противолежащей боковой грани. Сторона основания     а = 30 см, а  высота пирамиды h = 20 см. Определить площадь полученного сечения.

ОТВЕТЫ