§ 6. Правильные многогранники.

1. Ребро правильного октаэдра a = 1 м (черт. 15). Определить расстояние EF между двумя противолежащими вершинами октаэдра (ось октаэдра).

2.  В кубе (черт. 16) из одной вершины (D) проведены диагонали граней DA, DB и DC и концы их соединены прямыми. Доказать, что многогранник DABC, образованный четырьмя плоскостями, проходящими через эти прямые,— правильный тетраэдр.

3.   Ребро  куба   равно   а.   Вычислить   поверхность   вписанного в него   правильного   октаэдра (черт. 17). Найти её отношение к поверхности вписанного в тот же куб правильного тетраэдра.

4.   1) Сколько   плоскостей   симметрии можно  провести через одну вершину правильного тетраэдра?

2) Сколько плоскостей симметрии вообще можно провести в правильном тетраэдре?

5. Соединить прямыми центры каждых двух смежных , граней правильного октаэдра и через смежные прямые провести плоскости. Доказать, что полученный таким образом шестигранник — куб, и вычислить его поверхность, если ребро октаэдра равно а.

6. 1) Ребро правильного октаэдра равно а; найти расстояние между центрами двух соседних граней.

2) Ребро правильного октаэдра равно 3; найти расстояние между противолежащими параллельными гранями.

7.  В правильный тетраэдр вписана правильная треугольная призма с равными рёбрами так, что вершины одного её основания   находятся   на   боковых   рёбрах   тетраэдра,   а   другого — в плоскости его основания. Ребро тетраэдра равно а. Определить ребро призмы.

8.   В правильный октаэдр вписан куб так, что его вершины находятся на рёбрах октаэдра. Ребро октаэдра равно а. Определить ребро куба.

ОТВЕТЫ