§13. Цилиндр (прямой круговой).

1.  (Устно.) Радиус  основания   цилиндра   2 м,   высота 8 м. Найти диагональ осевого сечения.

2.  (Устно.)  Осевое   сечение  цилиндра —квадрат,   площадь которого Q. Найти площадь основания.

3.   (Устно.) Высота цилиндра 6 см, радиус основания 5 см. Найти площадь сечения, проведённого параллельно оси цилиндра на  расстоянии 4 см от неё.

4.  (Устно.) Высота цилиндра 8 дм, радиус основания 5 дм. Цилиндр этот пересечён плоскостью параллельно оси так, что в сечении получился квадрат. Найти расстояние этого сечения от оси.

5.  В цилиндре проведена параллельно оси плоскость, отсекающая   от   окружности   основания   дугу   в   120°.   Длина   оси h =10 см;   её   расстояние   от   секущей   плоскости   а = 2   см. Определить площадь  сечения.

6.   Площадь основания цилиндра относится к площади осевого сечения, как π : 4. Найти угол между диагоналями осевого сечения.

7.   Диагональ осевого сечения равностороннего цилиндра (в   осевом   сечении — квадрат) равна а. Найти объём правильной вписанной в этот цилиндр восьмиугольной призмы.

8.   Высота   цилиндра 6 дм, радиус основания 5 дм. Концы данного    отрезка    лежат    на окружностях обоих оснований; длина   его   10 дм.   Найти его кратчайшее расстояние от оси.

9.    Высота   цилиндра 2 м, радиус основания 7 м. В этот цилиндр   наклонно   к оси  вписан квадрат так, что все вершины его находятся на окружностях   оснований. Найти сторону квадрата.

10.   Через   верхний   конец образующей  цилиндра   под углом в 45° к ней проведена касательная к цилиндру. Радиус основания цилиндра 1 м, высота 4 м. Определить расстояние касательной от центра каждого основания (черт. 22).

Поверхность  цилиндра.

11. Цилиндрический паровой котёл имеет 0,7 м в диаметре; длина его равна 3,8 м. Как велико давление пара на полную поверхность котла, если на 1 см² пар давит с силой в  10 кг?

12.   Высота цилиндра на 10 см больше радиуса основания, а полная поверхность равна 144π см². Определить  радиус основания и высоту.

13.   Цилиндрическая   дымовая   труба с диаметром   в 65 см имеет высоту в  18 м. Сколько квадратных метров жести нужно для её изготовления, если на заклёпку уходит 10% всего требующегося количества жести?

14.  Полуцилиндрический  свод  подвала имеет 6 м длины и 5,8 м в диаметре.   Определить  полную   поверхность   подвала.

15. При паровом отоплении низкого давления количество тепла, которое даёт 1 м² поверхности нагрева, принимается равным 550 тепловым единицам в час. Сколько погонных метров труб диаметром в 34 мм нужно установить в помещении, для отопления которого по расчётам требуется 4500 единиц тепла в час?

16.  (Устно.)  Стороны   прямоугольника   а и b. Найти боковую   поверхность   цилиндра,   полученного   от вращения   этого прямоугольника вокруг стороны, равной а.

17.  (Устно.) Диаметр   основания  цилиндра равен 1; высота равна длине окружности основания. Найти S_бок..

18.  (Устно.)   Высота   равностороннего   цилиндра   равна   h. Найти боковую поверхность.'

19.  (Устно.) Радиус основания   цилиндра   равен R; боковая поверхность равна сумме   площадей   оснований. Найти высоту.

20.  (Устно.) Площадь   осевого   сечения  цилиндра равна Q. Найти боковую поверхность.

21.   1) Чему равно отношение боковой поверхности цилиндра к площади его осевого сечения?

2) Какой высоты должен быть цилиндр, чтобы его боковая поверхность была в три раза больше площади основания?

22.   Определить полную поверхность равностороннего цилиндра, если боковая поверхность Р = 50 см² ( ¹/_π ≈  0,32 ).

23.   1)   В  цилиндре   радиуc основания r = 2 см,   а   высота h = 7 см.   Определить   радиус   круга,   равновеликого   полной поверхности этого цилиндра.

2) Найти зависимость между высотой цилиндра и радиусом его основания, если их сумма служит радиусом круга, равновеликого полной поверхности этого цилиндра.

24.   1) Из круглого листа   металла выштампован  цилиндрический   стакан   диаметром   в 25 см  и   высотой в 50 см. Предполагая,   что при   штамповке   площадь   листа   не изменилась, определить диаметр листа.

2) К цилиндрическому стакану (см. предыдущую задачу) выштампована крышка диаметром в 25,2 см и высотой в 0,5 см. Найти диаметр круглого листа, из которого выштампована крышка.

25.  В цилиндре площадь основания равна Q и площадь осевого    сечения   М.   Определить    полную    поверхность    этого цилиндра.

26.  1)  Какая  должна  быть зависимость  между  высотой и радиусом основания, чтобы боковая поверхность цилиндра была равновелика кругу, описанному около его осевого сечения?

2) Такая же задача для полной поверхности.

27.  В цилиндр вписана   правильная шестиугольная призма. Найти  отношение  боковых  поверхностей  цилиндра и призмы.

28.   В данном цилиндре проведена плоскость, параллельная основанию, так, что площадь полученного сечения есть средняя пропорциональная между частями боковой поверхности цилиндра. Определить положение секущей плоскости (зная радиус основания R и высоту Н цилиндра). Указать условие, при котором задача имеет решение.

29.  Определить полную поверхность  цилиндра, описанного около куба с ребром а (вершины куба  находятся на окружностях основании цилиндра).

30.  Около правильного октаэдра описан цилиндр. Две вершины октаэдра лежат в центрах оснований цилиндра, а остальные   четыре — на   боковой   поверхности   его.   Ребро   октаэдра а = 10 см. Найти боковую поверхность цилиндра.

ОТВЕТЫ