§ 16. Объём параллелепипеда, призмы и цилиндра.

1.   (Устно.)   Объём   куба   8 м³.   Найти   его   поверхность.

2. Три латунных куба с рёбрами 3 см, 4 см и 5 см переплавлены в один куб.   Какую  длину  имеет ребро этого куба?

3. 1) Металлический куб имеет внешнее ребро а =10,2 см и весит 514,15 г. Толщина стенок m = 0,1 см. Найти удельный вес металла, из которого сделан куб.

2)    Из   10 кг   свинца   отливают   куб.   Найти   ребро   куба. (Удельный вес свинца 11,4; угар во внимание не принимается.)

3) Чугунный полый куб, наружное ребро которого 260 мм, имеет толщину стенок в 30 мм. Найти его веc (Удельный вес чугуна 7,4.)

4. Определить   объём   куба: 1) по его диагонали l , 2) по его поверхности S.

5. 1) Если   каждое   ребро   куба увеличить на 2 см, то его объём увеличится на 98 см³. Определить ребро.

2)   Если   каждое   ребро   куба   увеличить   на  1 м, то  объём увеличится в 125 раз.  Определить ребро.

3)  Поверхность   (в кв. ед.) и объём   куба   (в куб. ед.) выражены одним числом. Найти ребро куба.

6. (Устно.) Как относятся объёмы двух кубов: данного и его модели, уменьшенной в масштабе 1 :2; 1:3; 1:4 и т.д.; вообще 1 : п?

Прямоугольный параллелепипед.

7.   Кирпич (25 см  х 12 см  х 6,5 см)   весит 3,51 кг. Найти его удельный вес.

8.   Требуется установить   резервуар для воды ёмкостью в 10 м³ на площади размером 2,5 м х 1,75 м,   служащей   для   него   дном. Найти высоту резервуара.

9. Прямоугольный золотой лист имеет размеры 4,7 см х 6,2 см  и весит 6,3 г. Найти толщину листа. (Удельный вес золота 19,3.)

10. Плот сколочен из 16 балок прямоугольного сечения, из которых каждая имеет 3,6 м длины,  0,20 м ширины   и 0,25 м толщины. Какой наибольший груз может он поднять, не затонув? (Удельный вес дерева равен 0,84.)

11. Для учёта дров, поступающих в котельную, сделана мерка длиной в 1,5 м (черт. 26). Поступающие в котельную дрова имеют разную длину: 54 см, 71 см и 1 м. Определить   высоту   кладки   для каждого  размера,   если   единица измерения во всех случаях—кубический метр.

12. (Устно.) Во сколько   раз   нужно  увеличить   каждое из трёх измерений  прямоугольного   бруса, чтобы   объём его увеличился вдвое? втрое? вообще в п раз?

13. Измерения   прямоугольного  бруса:   3 см, 4 см и 5 см. Если увеличить   каждое   ребро   на х сантиметров, то  поверхность увеличится на 54 см². Как увеличится его объём?

14.   1) Измерения   прямоугольного   параллелепипеда: 15 м, 50 м и 36 м. Найти ребро равновеликого ему куба.

2) Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2 см, 3 см и 6 см. Найти ребро такого куба, чтобы объёмы этих тел относились как их поверхности.

15. 1) Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 35 см, а рёбра относятся как 2:3:6. Определить объём параллелепипеда.

2) Стороны основания прямоугольного параллелепипеда относятся как т : п, а диагональное сечение — квадрат с площадью Q. Определить объём параллелепипеда.

16.   1) Площади трёх граней  прямоугольного  параллелепипеда 2 м², 3 м² и 6 м². Найти его объём.

2) Определить объём прямоугольного параллелепипеда по данным площадям его граней: Q₁,  Q₂ и Q₃.

17. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна l и составляет с одной гранью у гол в 30°, а с другой в 45°. Определить объём.

Прямой параллелепипед.

18. В прямом параллелепипеде стороны основания а и b образуют угол в 30°; боковая поверхность равна S. Определить его объём.

19. 1) Основанием прямого параллелепипеда   служит параллелограмм, у которого одна из диагоналей равна 17 см, а стороны равны 9 см и 10 см. Полная поверхность этогопараллелепипеда содержит 334 см². Определить его объём.

2) В прямом параллелепипеде стороны основания равны 13 дм и 37 дм, а большая диагональ основания равна 40 дм. Боковое ребро относится к большей диагонали параллелепипеда, как 15:17. Определить объём этого параллелепипеда.

20. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 2√2  см и 5 см и образуют угол в 45°; меньшая диагональ параллелепипеда равна 7 см. Определить его объём.

21. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 8 см и 15 см и образуют угол в 60°; меньшая диагональ параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол в 30°. Определить объём этого параллелепипеда.

22.    1) Основанием прямого параллелепипеда  служит ромб,  площадь которого равна 1 м². Площади диагональных сечений  3 м² и 6 м². Найти объём параллелепипеда.

2) Основанием прямого параллелепипеда служит ромб, площадь которого равна Q; площади диагональных сечений равны М  и N. Определить объём параллелепипеда.

23.  Основанием  параллелепипеда  служит ромб; диагональные сечения   перпендикулярны к  плоскости   основания, и площади их содержат 100 см²  и 105 см², а длина их линии пересечения   равна   10 см.   Определить   объём   и боковую поверхность этого параллелепипеда.

24. Основание прямого параллелепипеда — параллелограмм,у которого стороны содержат 3 см и 5 см и образуют угол в 60°; площадь большего диагонального сечения равна 63 см². Определить меньшую диагональ параллелепипеда, боковую поверхность и объём.

25. В прямом   параллелепипеде с основанием  ABCD ребро  АВ = 50 см; перпендикуляр В₁Е, опущенный из вершины В₁ на ребро   AD,   равен   41 см и. делит AD на   отрезки АЕ=30 см и ED=18 см. Определить объём параллелепипеда.

Правильная призма

26. По стороне основания а и боковому ребру b определить объём правильной призмы: 1) треугольной; 2) четырёхугольной; 3) шестиугольной.

27. Деревянная плитка в форме правильного восьмиугольника со стороной 3,2 см и толщиной в 0,7 см весит 17,3 г. Найти удельный вес дерева.

28.  Сколько   весит   железная   колонка,   имеющая   вид правильной двенадцатиугольной призмы, сторона основания которой а=12см и высота h = 78 см? (Удельный вес 7,4.)

29.  Чугунная труба имеет квадратное сечение, её внешняя ширина 25 см, толщина стенок 3 см.  Сколько весит погонный метр трубы?' (Удельный вес 7,3.)

30. 1) Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна 3,5 м, а диагональ   боковой   грани  2,5 м.   Определить   объём.

2) Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна 6 см, а боковая поверхность 32 см². Определить объём.

31.   1) Сторона основания   правильной  треугольной призмы равна а; боковая  поверхность   равновелика   сумме  оснований. Определить  объём.

2) Боковое ребро правильной треугольной призмы равно высоте основания, а площадь сечения, проведённого через них, равна Q. Определить объём призмы.

32.   Основанием   призмы   служит   правильный   треугольник, вписанный   в   круг   радиуса R;   боковые   грани   её — квадраты. Определить объём этой призмы.

33.  В правильной шестиугольной призме площадь наибольшего диагонального сечения 4 м², а расстояние между двумя противолежащими боковыми гранями 2 м. Найти объём призмы.

34.  В правильной шестиугольной призме большее диагональное сечение равновелико основанию, сторона которого а. Определить ребро куба, равновеликого этой призме.

Прямая призма.

35. Вычислить максимальную пропускную способность в кубических метрах за 1 час водосточной трубы, сечение которой изображено на чертеже 27. Скорость течения воды 2 м/сек.

36.   Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник, катеты которого относятся как 24:7; гипотенуза основания относится к высоте призмы, как 5:2; боковая поверхность содержит 140 м². Определить объём призмы.

37.   1) В прямой треугольной призме стороны основания равны 4 см, 5 см и 7 см, а боковое ребро равно большей высоте основания. Определить объём призмы.

2) Высота прямой треугольной призмы равна 5 м, её объём равен 24 м³, а площади боковых граней относятся как 17:17.: 16. Определить стороны основания.

38. Площадь основания прямой треугольной призмы равна 4 см², а площади боковых граней 9 см²,  10 см² и 17 см². Определить объём.

39.  Железнодорожная насыпь дана в разрезе (черт. 28); размеры указаны в метрах. Найти, сколько кубических метров земли приходится на 1 км насыпи.

40.   Сколько  надо назначить  рабочих, чтобы большими лопатами окончить в 6 час. рытьё   канавы длиной в   25  м?   Размеры   (в метрах)     поперечного сечения канавы указаны на чертеже 29. (Большой   лопатой выкапывают  0,75 м³ в  час.)

41. Основанием прямой призмы служит трапеция ABCD, в которой параллельные стороны AD = 39 см и ВС =22 см, а непараллельные АВ = 26 см и CD = 25 см. Площадь сечения АA₁C₁С содержит 400см². Определить объём этой призмы.

42.  ACDB—данная полуокружность радиуса R, С— её середина,   D — середина   дуги   СВ. Определить объём прямой призмы, у которой основанием служит треугольник   ADB, а боковое ребро равно хорде АС.

43.  Вырыта канава глубиной в 1,5 м, вид и размеры которой (в метрах) указаны на черт. 30. Определить объём земляных работ.

Наклонный параллелепипед.

44. Основанием наклонного параллелепипеда служит параллелограмм ABCD, в котором АВ = 3 дм, AD = 7 дм и BD = 6 дм. Диагональное сечение АA₁C₁С перпендикулярно к плоскости основания и равно 1 м². Определить объём параллелепипеда.

45.  1) Основанием наклонного параллелепипеда служит квадрат, сторона которого равна 1 м. Одно из боковых рёбер образует с каждой прилежащей стороной  основания угол в 60° и равно 2 м. Найти объём параллелепипеда.

2) Основанием наклонного параллелепипеда служит квадрат, и одно из боковых рёбер образует с прилежащими сторонами основания равные острые углы. Сторона основания а; боковое ребро b; расстояние между соответственными сторонами двух оснований с. Определить объём параллелепипеда (а=15; b=14; с=10).

46.  Грани параллелепипеда—равные ромбы со стороной а и острым углом в 60°. Определить объём параллелепипеда.

47.   Основанием   наклонного   параллелепипеда служит прямоугольник со сторонами а и b; боковое ребро с образует со сторонами основания углы в 60°. Определить объём параллелепипеда, боковую поверхность и угол наклона бокового ребра к плоскости основания.

48. Основанием наклонного параллелепипеда служит ромб ABCD со стороной а и острым углом в 60°. Ребро АА₁ также равно  а и образует с рёбрами АВ и AD углы в 45°. Определить объём этого параллелепипеда.

Наклонная призма.

49. Основанием призмы служит треугольник, у которого  одна  сторона равна 2 cм, а две другие по 8 см ; боковое ребро равно 4 см и составляет с плоскостью основания угол в 45°. Определить ребро равновеликого куба.

50. 1) Основанием призмы служит треугольник  со сторонами 3 см, 5 см и 7 см. Боковое ребро длиной 8 см составляет с плоскостью основания угол в 60°. Определить объём призмы.

2) В наклонной треугольной призме стороны основания равны 5 м, 6 м и 9 м; боковое ребро равно 10 м и составляет с плоскостью основсния угол в 45°. Определить объём призмы.

51.  Основанием призмы служит правильный треугольник ABC со стороной   а; вершина   А₁   проектируется   в   центр   нижнего основания, и ребро AА₁ составляет со стороной основания угол в 45°. Определить объём и боковую поверхность призмы.

52.   Основанием наклонней призмы   служит   равносторонний треугольник со стороной а; одна из боковых граней перпендикулярна   к   плоскости   основания   и   представляет   собой ромб, у которого меньшая диагональ равка с. Определить объём призмы.

53.   1) Боковые  рёбра  наклонней треугольной призмы равны 15 м,   а расстояние   между   ними   26 м,   25 м и 17 м. Определить её объём.

2) В данной треугольной призме расстояния между боковыми рёбрами относятся как 9:10:17; боковое ребро равно 1 м; боковая поверхность равна 6 м². Определить объём   этой  призмы.

54.   Основание наклонной призмы — четырёхугольник ABCD, в котором диагонали взаимно перпендикулярны; диагональное сечение АА₁С₁С перпендикулярно к плоскости основания. Диагональ BD = 16 дм, а площадь АА₁С₁С= 250 дм². Определить объём.

55.   В наклонной треугольной призме площадь одной из боковых граней т², а расстояние её от противолежащего ребра 2а. Чему разен объем призмы?

Цилиндр.

56.   25 м  медной проволоки весят 100,7 г. Найти диаметр проволоки. (Удельный вес меди 8,9.)

57.  Погонный метр пенькового каната диаметром в 36 мм весит 0,96 кг. Найти его удельный вес.

58.   Столбик ртути в термометре длиной 15,6 см весит 5,2 г. (Удельный вес ртути  13,6.) Найти площадь поперечного сечения столбика.

59.  В мензурке (цилиндрический сосуд с делениями на кубические   сантиметры)   расстояние  между двумя смежными делениями 1,8 см. Найти внутренний диаметр мензурки.

60.  Насос, подающий воду в паровой котёл, имеет два водяных цилиндра. Размеры каждого цилиндра: ход поршня 150 мм, диаметр 80 мм. Определить часовую производительность насоса, если известно, что каждый поршень делает 50 рабочих ходов в 1 минуту.

61. Граната  имеет   форму   цилиндра   длиной 3¹/₂ калибра  и толщину стенок в ¹/₈ калибра.(Калибром  называется внутренний диаметр дула пушки.) Определить в кубических сантиметрах объём взрывчатого вещества, наполняющего внутреннюю пустоту гранаты полевой пушки калибра в 76 мм.

62.  (Устно.) Найти объём тела, получаемого при вращении квадрата вокруг его стороны а.

63.  Осевое сечение цилиндра — квадрат, диагональ которого равна 4. Найти объём цилиндра.

64.  (Устно.) 1) Как относятся объёмы   цилиндра и его модели, уменьшенной в масштабе 1:2,  1:3,   ... ,  1: п?

2)   Как относятся объёмы двух цилиндров, имеющих равные высоты? равные диаметры оснований?

3)   Во   сколько   раз надо   увеличить   высоту   цилиндра,   не меняя основания, чтобы объём его увеличился вдвое? в п раз?

4)  Во сколько раз надо увеличить радиус основания цилиндра, не меняя его высоты, чтобы объём его увеличился вдвое? в п раз?

5)  Боковая поверхность (в кв.ед.) и объём цилиндра (в куб. ед.) выражаются одним числом.   Определить диаметр цилиндра.

65. (Устно.) 1) Диаметр основания одного цилиндра равен 0,20 м, высота его 0,60 м. Другой цилиндр имеет высоту 0,30 м и тот же диаметр основания. Сравните между собой объёмы обоих цилиндров.

2) Один цилиндр имеет высоту 2,4 м и диаметр основания 1 м; другой цилиндр имеет высоту 1,2 м и диаметр основания 0,5 м. Сравнить между собой объёмы обоих цилиндров.

66. В цилиндр вписана правильная треугольная призма, а в последнюю вписан цилиндр. Найти отношение объёмов обоих цилиндров.

67. Боковая поверхность цилиндра равна S, а длина окружности основания С. Найти объём.

68.    1)   Боковая   поверхность   цилиндра   развёртывается   в квадрат   со   стороной   а.   Найти   объём.   

2)   Высота   цилиндра равна Н, и в развёртке его боковой поверхности образующая составляет с диагональю угол в 60°. Определить объём.

69.   Прямоугольный  лист   жести,   имеющий  1,6 м длины и 0,8 м ширины, можно согнуть в трубку двояким образом: в первом случае длина трубки будет 1,6 м, во втором 0,8 м. Найти отношение объёмов трубок и их поверхностей.

70.   Определить объём цилиндра, вписанного   в   правильную   шестиугольную призму, у которой каждое ребро равно а.

71. Определить вес детали из песчаника, данной на чертеже 31. Размеры указаны в дециметрах. (Удельный вес песчаника 2,4.).

72.  Сколько весит погонный метр карниза из известняка, поперечный разрез которого дан на чертеже 32? Размеры даны в сантиметрах.(Удельный вес известняка 2,2.)

73.   Свинцовая   труба   (удельный   вес свинца 11,4) с толщиной стенок в 4 мм имеет внутренний диаметр в 13 мм. Сколько весят 25 м этой трубы?

74.  Стальной   вал,   имеющий   1,40  м длины и 0,083 м в диаметре, обтачивается на токарном станке, причём диаметр его уменьшается на 0,003 м. Сколько теряет он в весе благодаря обточке? (Удельный вес стали 7,4.)

75.   Вычислить   вес деревянной  катушки,   размеры которой (и миллиметрах) даны на чертеже 33. (Удельный вес дерева 0,8.)

ОТВЕТЫ