§ 17. Объём пирамиды и конуса.

Правильная  пиpамила.

1. По стороне основания а и боковому ребру b определить объём правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырёхугольной; 3) шестиугольной.

2.   (Устно.)  В   правильной   четырёхугольной   пирамиде  высота 3 м, боковое ребро 5 м. Найти объём.

3.   Объём правильной шестиугольной пирамиды 6 см³. Сторона основания 1  см. Найти боковое ребро.

4.   1) Апофема правильной треугольной пирамиды равна k, а высота h. Найти объём.

2) Площадь основания правильной четырёхугольной пирамиды Q и боковая поверхность S. Определить объём (Q = 12; S = 24).

5.   1) (Устно.)   Боковые   рёбра   треугольной   пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое   из них   равно b. Найти объём пирамиды.

2) Определить объём правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания равна a, а боковые рёбра взаимно перпендикулярны.

6.   По ребру а правильного   тетраэдра   определить его поверхность и объём.

7.  По ребру а правильного октаэдра определить его поверхность и объём.

8.  Соединив последовательно середины   рёбер  правильного тетраэдра прямыми, получим рёбра правильного октаэдра. Ребро тетраэдра а. Найти объём октаэдра и сравнить его с объёмом тетраэдра.

9.   1) Центры граней куба служат   вершинами   правильного октаэдра. Найти отношение объёмов куба и октаэдра.

2) Центры граней правильного октаэдра служат вершинами куба. Найти отношение объёмов октаэдра и куба.

10.   1) Сторона   основания   правильной   треугольной   пирамиды   а,   а   боковое   ребро   образует   с  плоскостью основания угол в 45°. Определить объём пирамиды.

2) Высота правильной треугольной пирамиды h, а боковая грань образует с плоскостью основания угол в 60°. Определить объём пирамиды.

11. 1) Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды а, а двугранный угол при основании равен 45°. Определить объём пирамиды.

2) В данной правильной шестиугольной пирамиде, имеющей объём V, боковое ребро вдвое более стороны основания. Определить сторону основания и угол бокового ребра с плоскостью основания.

Неправильная пирамида.

12. Основанием пирамиды служит прямоугольник со сторонами в 9 м и в 12 м; каждое из боковых рёбер равно 12,5 м. Найти объём пирамиды.

13.   Основанием пирамиды служит прямоугольник со сторонами в 6 см и  15 см, высота проходит через точку пересечения диагоналей основания, и боковая поверхность равна 126 см². Определить объём этой пирамиды.

14.  Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, у которого равные   стороны  содержат по 6 см, а третья сторона   8   см.   Боковые   рёбра   равны   между собой и каждое содержит 9 см. Определить объём этой пирамиды.

15.   Основанием   пирамиды   служит прямоугольник, у которою угол между диагоналями равен 60°, а площадь равна Q; боковые рёбра образуют с плоскостью   основания углы в 45°. Определить объём этой пирамиды.

16.   Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 39 см,  17 см и 28 см; боковые  рёбра равны каждое 22,9 см. Определить объём этой пирамиды.

17.   1) Основанием   пирамиды   служит  равнобедренный треугольник, у которого равные стороны содержат по 39 см, а третья сторона 30 см. Двугранные углы при основании равны между собой, и каждый содержит 45°. Определить объём этой пирамиды.

2) Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, у которого равные стороны содержат по 7 см, а третья сторона 6 см; вершина пирамиды удалена от всех сторон основания на одинаковое расстояние, которое относится к высоте пирамиды, как 5:4. Определить объём этой пирамиды.

18.  В данной треугольной пирамиде двугранные углы при основании равны между собой; стороны основания: 7 см, 8 см и 9 см; объйм пирамиды 40 см³. Определить её боковую поверхность.

19.   Ромб со стороной   в   15 см  служит   основанием пирамиды, каждая грань которой наклонена  к основанию под углом м 45°. S_бок.   = 3 дм². Найти объём пирамиды.

20.  (Устно.) Боковые рёбра треугольной пирамиды а, b и с взаимно перпендикулярны. Найти объём пирамиды.

21.   1)   Две   взаимно   перпендикулярные   грани треугольной пирамиды — равносторонние  треугольники со стороной в 4 см. Найти объём пирамиды.

2) Боковые грани треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, площади их равны 6 м², 4 м² и 3 м². Найти объём пирамиды,

22.  Одно ребро треугольной пирамиды равно 4; каждое из остальных равно 3. Найти объём пирамиды.

23.  Основанием пирамиды SABC служит треугольник ABC, м котором АВ = 15 см,     ВС =27 см и АС= 18 см. Грани SAВ  и SAC перпендикулярны к плоскости ABC, а грань SBC составляет с ней угол в 45°. Определить объём пирамиды и площадь грани BSC.

24.  Основание пирамиды — прямоугольник, площадь которого равна 1 м², две боковые грани перпендикулярны к основанию, а две другие наклонены к нему под углами в 30° и 60°. Найти объём.

25.   Основанием пирамиды служит равнобедренная трапеция, у которой параллельные стороны равны 3 см и 5 см, а боковая   сторона   7 см.   Высота  пирамиды  проходит  через   точку пересечения диагоналей  основания, и большее  боковое ребро равно 10 см. Определить объём этой пирамиды.

26.   В треугольной пирамиде одна из сторон основания равна 16 см;  противоположное  ей боковое  ребро 18 см; каждое из четырёх   остальных   рёбер равно 17 см.  Определить объём этой пирамиды.

27.  (Устно.)   1)   Какую   часть   объёма   пирамиды   отсекает среднее сечение?

2) Высота пирамиды h. На каком расстоянии от вершины пирамиды находится сечение, параллельное основанию и делящее её объём пополам?

28.  Плоскостями, параллельными основанию пирамиды, её высота   разделена   на  пять  равных  частей. В  каком отношении разделился объём пирамиды?

29.  Пирамида разделена на три равновеликие части плоскостями, параллельными основанию. В каком отношении разделилась высота?

30.  Площадь сечения, параллельного основанию пирамиды, составляет  0,36  её  основания.   В  каком   отношении   сечение делит объём пирамиды?

31.  Центры граней  правильного  тетраэдра   служат вершинами   нового   правильного   тетраэдра.   Найти   отношение   их поверхностей и объёмов.

Конус.

32.  (Устно.) Высота  конуса 3, образующая 5. Найти объём.

33.    122-миллиметровая  бомба  даёт при взрыве   воронку   диаметром   в  4 м  и  глубиной 1,5 м.   Какое  количество  земли (по  весу) выбрасывает эта бомба? 1 м³ земли весит 1650 кг.

34.  Куча щебня имеет коническую форму, радиус основания которой 2 м и образующая 3,5 м. Сколько надо возов, чтобы перевезти щебень, уложенный в десяти таких кучах? 1 м³ щебня весит 3 т. На один воз грузят 0,5 т.

35.  Стог сена имеет форму цилиндра с коническим верхом. Радиус   его  основания   2,5 м,   высота 4 м,   причём  цилиндрическая   часть  стога  имеет  высоту 2,2 м. Удельный  вес сена 0,03. Определить вес стога.

36.  Жидкость, налитая в конический сосуд, имеющий 0,18 м высоты и 0,24 м в диаметре основания,  переливается в цилиндрический сосуд, диаметр основания которого 0,10 м. Как высоко будет стоять уровень жидкости в сосуде?

37.   Осевым сечением конуса служит равнобедренный прямоугольный треугольник; площадь его 9 м². Найти объём конуса.

38.  Площадь основания конуса 9π см²; полная поверхность его 24π см². Найти объём конуса.

39.   Высота  и   образующая  конуса  относятся  как   4:5,   а объём конуса 96π см³. Найти его полную поверхность.

40.   Длина образующей конуса равна l, а длина окружности основания С. Определить объём.

41.   Определить объём  конуса по данной площади Q основания и боковой поверхности S.

42.   Высота   конуса   равна   15 м, а   объём   равен 320π м³. Определить полную поверхность.

43.  Высота конуса равна 6 см, а боковая поверхность 24π см². Oпределить объём конуса.

44.  Образующая конуса равна l и составляет с плоскостью основания угол в 30°. Определить объём конуса.

45.   Объём конуса V. Высота его разделена на три равные части, и через точки деления проведены плоскости параллельно основанию. Найти объём средней части.

46. 1) Как относятся объёмы равностороннего конуса и равностроннего цилиндра, если их полные поверхности равновелики?

2) Как относятся полные поверхности равностороннего конуса и равностороннего цилиндра, если их объёмы равны?

47.   1) Объём конуса V, а радиус основания равен R. Чему равна площадь осевого сечения конуса?

2) В конусе площадь основания равна Q и площадь осевого сечения М. Определить объём и боковую поверхность.

48.   На   одном  основании  построен  конус  и  равновеликий ему   цилиндр.   Параллельно   основанию   проведена   плоскость через середину высоты  цилиндра. Как   относятся площади полученных сечений конуса и цилиндра?

49.  Из жести вырезан сектор радиуса в 20 см с центральным   углом   в   250°  и   свёрнут в конус.   Найти объём   конуса.

50. По радиусу R основания конуса определить радиус сечения, параллельного основанию, делящего пополам объём конуса.

51. Определить объём и боковую поверхность конуса, впитанного в правильный тетраэдр с ребром а.

Конус как тело вращения.

52.    Равносторонний   треугольник   вращается вокруг своей стороны а. Найти поверхность и объём тела вращения.

53. Основание треугольника b , высота его h. Найти объём тела, полученного при вращении его вокруг основания.

54. Прямоугольный треугольник с катетами а и b вращается около гипотенузы. Определить объём и поверхность полученного тела.

55. 1) Определить объём и поверхность тела, образуемого вращением равнобедренного треугольника вокруг боковой стороны, если основание   равно 30 см, а боковая   сторона 25 см.

2) Рaвнобедренный треугольник с углом при вершине в 120° и боковой стороной а вращается вокруг боковой стороны. Определить объём и поверхность тела вращения.  

56. 1) Треугольник со сторонами в 10 см, 17 см и 21 см вращается вокруг большей стороны. Определить объём и поверхность полученного тела.

2) Такой же вопрос для треугольника со сторонами:.6 см, 25 см и 29 см, вращаемого вокруг меньшей стороны.

57.  Треугольник   с углом в 60°,   заключённым   между   сторонами 8 см и 15 см, вращается вокруг большей из этих сторон. Определить объём и поверхность тела вращения.

58.   Полуокружность с диаметром АВ делится  точкой М в отношении  1:2. Определить объём и поверхность   тела,  образуемого   вращением   треугольника   АВМ  вокруг оси АВ, если меньшая сторона треугольника равна а.

59.   1) Если   треугольник   ABC вращается   вокруг   стороны  ВС = а, то объём полученного тела , где Q—площадь треугольника. Доказать.

2) Объёмы тел, образуемых вращением какого-нибудь треугольника последовательно вокруг каждой стороны, обратно пропорциональны этим  сторонам. Доказать.

ОТВЕТЫ