§  18.   Объём   усечённой  пирамиды  и  усечённого конуса.

Усечённая пирамида.

1. 1) Сколько литров воды вмещает яма, вырытая в виде   усечённой  пирамиды,   если глубина ямы 1,5 м, сторона нижнего квадратного   основания   0,8 м,   а   верхнего   1,2 м?

2) Яма, имеющая вид правильной  четырёхугольной усечённой пирамиды, вмещает 349 гл воды. Найти её глубину, зная, что сторона нижнего основания её равна 1,4 м, а верхнего 2,3 м.

2.   Гранитная подставка имеет вид усечённой пирамиды высотой в 3,6 м с квадратными основаниями. Стороны оснований: с = 2,8 м и b = 2 м. Найти вес подставки. (Удельный вес гранита 2,5.)

3.   Боковое   ребро   правильной   четырёхугольной   усечённой пирамиды равно 3 м, стороны оснований 5 м  и 1 м. Найти объём.

4. Площади оснований усечённой пирамиды равны 245 м² и 80 м², а высота полной пирамиды равна 35 м. Определить объём  усечённой пирамиды.

5. 1) Высота усечённой пирамиды равна 15 м; её объём  475 м³; площади оснований относятся как 4:9. Определить эти площади.

2) В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде объём равен 430 м³, высота равна 10 м  и сторона одного основания 8 м. Определить сторону другого основания.

6.   1) В усечённой пирамиде объём равен 76 м³, высота 6 м и площадь одного из оснований равна  18 м². Определить площадь другого основания.

2) В усечённой пирамиде разность площадей оснований равна 6 см², высота усечённой пирамиды 9 см  и её объём 42 см³. Определить площади оснований.

7.   Объём   усечённой   пирамиды   равен   1720 м³, её   высота 20 м;   сходственные   стороны   двух   оснований   относятся   как 5 : 8. Определить площади оснований.

8.   В треугольной усечённой пирамиде высота 10 м; стороны одного основания: 27 м, 29 м  и 52 м; периметр другого основания равен 72 м. Определить объём усечённой пирамиды.

9.   По боковому ребру l и сторонам оснований а и b определить объём правильной усечённой пирамиды:  1) треугольной; 2) четырёхугольной; 3) шестиугольной.

10.   1) В правильной   четырёхугольной   усечённой пирамиде апофема   и стороны   оснований   относятся   как 5:8:2, а объём 1³/₄ м³. Определить её полную поверхность.

2) Определить объём правильной треугольной усечённой пирамиды, у которой стороны оснований 30 м и 20 м, а боковая поверхность равновелика сумме оснований.

11.  Определить объём правильной четырёхугольной усечённой   пирамиды,   если её диагональ   равна 9 см, а  стороны оснований 7 см  и 5 см.

12.  Определить объём правильной шестиугольной усечённой пирамиды,   если   стороны   её   оснований а и b,   боковое ребро составляет с плоскостью нижнего основания угол в 30°.

13.   Правильная четырёхугольная усечённая пирамида разделена на три части двумя плоскостями, проведёнными через две противоположные стороны меньшего основания перпендикулярно к плоскости  большего   основания.   Определить   объём  каждой части,   если в усечённой  пирамиде высота  равна 4 см, а стороны оснований 2 см и 5 см. Сделать чертёж.

14.   В треугольной усечённой пирамиде через сторону меньшего основания   проведена плоскость   параллельно   противолежащему боковому ребру. В каком отношении разделился объём усечённой пирамиды, если соответственные стороны оснований относятся как 1:2?

15.  Правильная четырёхугольная усечённая пирамида срезана с двух   противоположных боков двумя  плоскостями,  проведёнными через концы   диагонали   верхнего основания   перпендикулярно к этой диагонали. Определить   объём оставшейся части усечённой пирамиды, если её высота h, а стороны оснований а и b.

16.  Из   правильной   четырёхугольной   усечённой   пирамиды вырезана часть её в виде двух пирамид, имеющих общую вершину в точке пересечения её  диагоналей,   а основаниями — её основания. Определить объём оставшейся части усечённой пирамиды,   если   её   высота   h,   а   стороны оснований а и b.

17.   Через точку пересечения диагоналей правильной четырёхугольной усечённой пирамиды проведена параллельно основаниям плоскость. Стороны оснований 6 м и 3 м, высота пирамиды 9 м. Найти диагональ сечения и объём каждой части пирамиды.

18.  Даны  площади  Q  и q оснований усечённой пирамиды и её высота h. Определить объём полной   пирамиды и объём отсечённой верхней части.

19.  Площади оснований усечённой пирамиды Q и q, а её объём V. Определить объём полной пирамиды.

20. В усечённой пирамиде сходственные стороны двух оснований относятся как т : п. В каком отношении делится её объём средним сечением? (т : п = 5:2.)

Усечённый конус.

21. Отрезок ствола сосны длиной 15,5 м имеет следующие диаметры своих концов:    d₁ = 42 см и d₂ = 25 см. Определить процент ошибки, которую мы делаем, вычисляя объём сосны умножением площади среднего поперечного сечения ствола на его длину.

22.  Сосуд имеет   форму и размеры (в метрах),   показанные на чертеже 34. Найти ёмкость сосуда.

23.  Размеры (в сантиметрах) и форма бидона даны на чертеже 35. Найти вместимость бидона в литрах (α = 45°).

24.   Радиусы оснований усечённого конуса R и r, образующая   наклонена к   основанию   под   углом в 45°. Найти   объём.

25.  Высота усечённого конуса равна 3. Радиус одного основания вдвое больше другого, а образующая наклонена к основанию под углом в 45°.  Найти объём.

26.   Радиус одного основания усечённого конуса вдвое больше другого; боковая поверхность равна сумме площадей оснований;   площадь   осевого   сечения   равна 36 м². Найти объём.

27.  1) Объём усечённого конуса равен 584π см³, а радиусы оснований 10 см и 7 см. Определить высоту.

2)   В   усечённом   конусе   радиусы   оснований  и образующая относятся  как  4:11:25,  объём  равен 181π см³.  Определить радиусы оснований и образующую.

3)  Объём усечённого конуса  равен 248π см³; его высота 8 см, радиус одного из оснований 4 см.  Определить радиус второго основания.

28.   Усечённый конус, у которого радиусы оснований 3 см и 5 см, и полный конус такой же высоты   равновелики. Чему   равен радиус основания полного конуса?

29. Объём усечённого конуса равен 52 см³; площадь  одного  основания  в 9 раз  более площади другого. Усечённый конус достроен до полного.   Найти   объём   полного конуса.

30.   1) Равнобедренная трапеция с параллельными сторонами в 7 см и 17 см и площадью 144 см² вращается около средней высоты. Определить объём полученного тела.

2)   АВ—диаметр    полукруга;    ACDB— вписанная трапеция, причём /  САВ = 60°. Эта трапеция вращается вокруг радиуса, перпендикулярного к АВ. Определить объём тела вращения, если радиус равен R.

31.  Площадь осевого сечения усечённого конуса равна разности площадей оснований, а радиусы оснований R и r. Определить его объём.

32.  Высота усечённого конуса равна 12 см, площадь среднего параллельного сечения равна 225π см² и объём 2800π см³. Определить радиусы оснований.

33.  Образующая  усечённого конуса равна 17 см, площадь осевого  сечения  420 см² и площадь  среднего  сечения равна 196π см². Определить объём и боковую поверхность.

34.   1) На меньшем основании усечённого  конуса построен цилиндр, второе основание которого лежит в плоскости большего основания конуса. Объём  полученного  цилиндра составляет седьмую часть объёма усечённого конуса. Найти зависимость между радиусами оснований усечённого конуса.

2) Найти зависимость между радиусами оснований усечённого конуса, если его объём разделился пополам конической поверхностью, вершина которой лежит в центре верхнего основания и основанием которой служит нижнее основание усечённого конуса.

35.   Усечённый конус, у которого радиусы оснований 4 см и 22 см, требуется превратить в равновеликий цилиндр такой же высоты. Определить радиус основания этого цилиндра.

36.   В   усечённом   конусе  высота   равна   18 см, а радиусы оснований 5 см  и 11 см. Высота разделена на три равные части двумя   плоскостями,   параллельными   основаниям.   Определить объём полученных частей усечённого конуса.

37.   Радиус   одного   основания усечённого   конуса вчетверо больше радиуса другого. Высота разделена на три равные части, и через точки деления проведены плоскости параллельно основаниям. В каком отношении разделился объём?

38.  По данным радиусам оснований R и r определить отношение объёма усечённого конуса к объёму полного конуса.

39.   Деревянный   усечённый конус (удельный вес 0,58), высота которого h = 48 см и диаметры   оснований D₁ = 44 см и D₂ = 32 см, просверлён цилиндрически вдоль оси. Оси цилиндра и конуса   совпадают.   Диаметр   цилиндра   d =10 см.  Просверлённая   часть   заполнена   железом   (удельный   вес   7,5). Найти удельный вес образовавшегося таким образом тела.

40.   В усечённом конусе радиусы оснований R и r, высота h. Из него вырезаны два конуса, у которых основаниями служат основания данного усечённого, а образующие одного служат продолжениями образующих другого. Определить объём оставшейся части

ОТВЕТЫ