§ 20. Шар и его свойства.

1. 1) Шар, радиус которого равен 41 дм, пересечён плоскостью на расстоянии 9 дм от центра. Определить площадь сечения.

2) Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная к нему плоскость. Как относится площадь полученного сечения к площади большого круга?

2.  Радиус шара равен 63 см. Точка находится на касательной плоскости на расстоянии   16 см от точки касания. Найти её кратчайшее расстояние от поверхности шара.

3.  Угол между радиусами, проведёнными к двум точкам поверхности шара,   равен  60°, а  кратчайшее  расстояние между этими точками по поверхности шара 5 см. Определить радиус шара  ( ¹/_π ≈ 0,32) .

4.  Радиус   шара  R.   Через  конец  радиуса проведена плоскость под углом в 60° к нему. Найти площадь сечения.

5.  Дан шар радиуса R. Через одну точку его поверхности проведены две   плоскости:  первая—касательная к шару, вторая—под углом в 30° к первой. Найти площадь сечения.

6.   1) Радиус  земного  шара  R. Чему  равна длина окружности параллельного круга, если его широта равна 60°?

2) Город N находится на 60° северной широты. Какой путь описывает этот пункт в течение одного часа вследствие вращения Земли вокруг своей оси? Радиус Земли принять равным 6000 км.

7.  На поверхности шара даны три точки. Прямолинейные расстояния между ними: 6 см, 8 см, 10 см. Радиус шара 13 см. Найти расстояние от центра шара  до плоскости, проходящей через эти три точки.

8.  Диаметр шара 25 см. На его поверхности дана точка А и окружность,   все точки   которой удалены (по прямой линии) от А на 15 см. Найти радиус этой окружности.

9.  Радиус шара 15 м. Вне шара дана точка А на расстоянии 10 м от его поверхности. Найти длину такой окружности на поверхности шара, все точки  которой отстоят от А на 20 м.

10.  Полушар и вписанный в него конус имеют общее основание и общую высоту; через середину высоты проведена плоскость, параллельная основанию. Доказать, что площадь сечения,   заключённая    между   боковой   поверхностью   конуса и  поверхностью  полушара,   равна половине площади основания.

11.  Тело   ограничено  двумя   концентрическими   шаровыми поверхностями  (полый шар).  Доказать,  что его  сечение плоскостью, проходящей через центр, равновелико сечению, касательному к внутренней шаровой поверхности.

12.   1) Два равных шара  радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Определить длину линии, по которой пересекаются их поверхности.

2) Радиусы двух шаров 25 дм и 29 дм, а расстояние между их центрами 36 дм. Определить длину линии, по которой пересекаются их поверхности.

13. Стороны треугольника: 13 см, 14 см, 15 см. Найти расстояние от плоскости треугольника до центра шара, касательного к сторонам треугольника. Радиус шара 5 см.

14.   Диагонали ромба  15 см и 20 см. Шаровая поверхность касается всех сторон его. Радиус шара  10 см. Найти расстояние его центра от плоскости ромба.

15.  На шар, радиус которого 5 дм,  наложен ромб так, что каждая сторона его, равная 6 дм, касается шара. Расстояние плоскости ромба от центра шара 4 дм. Найти плошадь ромба.

16.   Через точку, лежащую на поверхности шара, проведены две взаимно перпендикулярные плоскости, которые пересекают шар по кругам радиусов r₁ и г₂. Найти радиус R шара.

17.   Радиус шара 7 см. На его поверхности даны две равные окружности, пересекающиеся по хорде, равной 2 см. Найти радиусы этих окружностей, зная,   что плоскости их перпендикулярны.

18.  Две касательные к шару плоскости образуют угол в 120°, обращенный к поверхности шара. Кратчайшее расстояние по поверхности шара между точками касания 70 см. Найти радиус шара.

ОТВЕТЫ