§ 22. Поверхность шара и его частей.

Шар.

1. 1) (Устно.) Площадь большого круга равна 1 м². Найти поверхность шара.

2) Кривая поверхность полушара на М более площади его основания. Найти площадь основания.

3) Дан полушар радиуса R. Найти его полную поверхность.

2.   1) Радиус шара равен 5 см. Определить его поверхность (π =3,1416).

2)  Поверхность шара равна 225π м². Определить его объём.

3)  По объёму шара V определить его поверхность.

3.  (Устно.)   1)   Как   изменятся   поверхность и объём  шара, если радиус увеличить в 4 раза? в 5 раз?

2)  Поверхности двух шаров  относятся как т : п. Как относятся их объёмы?

3)  Объёмы двух шаров относятся как т : п.  Как относятся их поверхности?

4.   Гипотенуза   и   катеты   служат   диаметрами   трёх  шаров. Какая существует зависимость между их поверхностями?

5.   В шаре проведены по одну сторону от центра два параллельных сечения; площади их равны 49 π дм² и 4π м², а расстояние между ними 9 дм. Определить поверхность шара.

6.   1) Полная поверхность равностороннего конуса равновелика   поверхности   шара,   построенного   на   его высоте как на диаметре. Доказать.

2) Если равносторонний конус и полушар имеют общее основание, то боковая поверхность конуса равновелика сферической поверхности полушара, а линия их пересечения вдвое короче окружности основания. Доказать.

3) Объём шара (в куб. ед.)  и его поверхность (в кв. ед.) выражаются одним и тем же числом. Найти радиус шара:

7.  Кусок металла, имевший сначала форму равностороннего цилиндра, перелит в форму шара. Как изменилась величина его поверхности?

8.  Поверхность тела, образуемого вращением квадрата около стороны,   равновелика  поверхности  шара, имеющего   радиусом сторону квадрата. Доказать.

Шаровой пояс.

9. Радиусы оснований шарового пояса 20 м и 24 м, а радиус шара 25 м. Определить поверхность шарового  пояса. (Два случая.)

10.  По  радиусу   шара R определить   высоту сферического слоя, одно из основании которого —большой круг шара и боковая поверхность которого равновелика сумме оснований.

11.   Высота шарового пояса 7 см, а радиусы оснований 16 см и 33 см. Определить поверхность шарового пояса.

12.  Поверхность шарового пояса выразить через высоту h и  радиусы оснований r и r₁ (r > r₁ ).

Сегмент и сектор.

13.  По данному радиусу шара R определить высоту сферического сегмента, у которого боковая поверхность в т раз более площади основания (т = 4).

14. Если полуокружность, разделённая на три равные части, вращается около своего диаметра, то поверхность, описанная средней дугой, равновелика сумме поверхностей, описанных боковыми дугами. Доказать.

15.   Кривую поверхность шарового сегмента определить по его высоте h и радиусу основания r.

16. Круговой   сегмент с дугой в  120° и площадью Q вращается вокруг своей высоты. Определить полную поверхность полученного тела.

17.    Боковая   поверхность   конуса,   вписанного   в   шаровой сегмент, есть средняя пропорциональная между площадью основания и боковой поверхностью  сегмента. Доказать.

18.   1)   Радиус   шара   равен   15 см.   Определить  часть его поверхности, видимою из точки, удалённой от центра на 25 см.

2) На каком расстоянии от центра шара радиуса R должна быть светящаяся точка, чтобы она освещала ¹/₃ его поверхности?

19.  Круговой сектор с углом 90° и площадью Q вращается вокруг среднего радиуса.   Найти поверхность полученного тела.

20.   Определить, какую часть объёма шара составляет объём сферического   сектора,  у которого  сферическая и коническая поверхности равновелики.

21.   Шар радиуса  R = 10 см цилиндрически просверлён по оси. Диаметр отверстия 12 см.  Найти полную поверхность тела.

22.   По  данным   задачи   № 18 в § 21 определить,  сколько киадратных метров жести требуется для изготовления резервуара.

ОТВЕТЫ