§ 23. Вписанный и описанный шары.

Куб, параллелепипед, призма и шар.

1.   (Устно.)  Ребро   куба равно а. Найти радиусы шаров: вписанного в куб и описанного около него.

2.   1) Рёбра  прямоугольного  параллелепипеда   4 см,   6 см,   12 см.   Найти   радиус   описанного  шара.

2) Высота правильной   четырёхугольной  призмы 2 см, сторона основания 4 см. Найти радиус описанного шара.

3.   Радиус шара 9 дм. В него вписана правильная четырёхугольная призма, высота  которой 14 дм. Найти сторону основания  призмы.

4.   Высота   правильной   шестиугольной призмы 8 м. Диагональ боковой грани 13 м. Найти радиус описанного шара.

5.   Около шара радиуса R описана правильная шестиугольная призма. Определить её полную поверхность.

6.  Боковое ребро правильной треугольной призмы 2 м, сторона основания 3 м. Найти диаметр описанного шара.

7.   В шар, радиус которого 14 см, вписана правильная треугольная   призма;   диагональ   её   боковой   грани 26 см. Найти сторону основания призмы.

8.   Основанием прямой призмы   служит треугольник со сторонами   6   см,   8   см   и   10   см.   Высота   призмы 24 см. Найти радиус описанного шара.

9.   Вокруг шара радиуса R описана правильная треугольная призма. Найти поверхность и объём призмы.

10.   Как  относятся   между   собой поверхности трёх шароз, если первая поверхность касается граней куба, вторая касается его рёбер и третья проходит через его вершины?

11. Около шара описана правильная треугольная призма, а около неё описан шар. Как относятся между собой поверхности этих шаров?

Пирамида и шар.

12.   В правильной четырёхугольной пирамиде высота h, боковое ребро b. Найти радиус описанного шара.

13.  Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды 4 м, высота тоже 4 м.Найти радиус описанного шара.

14.  1)   По  ребру а правильного тетраэдра определить радиусы шаров описанного и вписанного.

2) Как относятся между собой поверхности трёх шаров, если первая поверхность касается граней правильного тетраэдра, вторая касается его рёбер, а трeтья проходит через его вершины?

15.  По ребру а правильного октаэдра определить радиусы шаров описанного и вписанного.

16.   1) Определить радиус шара, вписанного в правильную пирамиду,  у которой   высота   равна h, а двугранный угол при основании равен 60°.

2) Такая же задача для угла в 45°.

17.  В данной пирамиде все боковые рёбра равны 9 см, а её высота 5 см. Определить радиус описанного шара.

18.  В шар вписана правильная  четырёхугольная пирамида, высота которой  делится  центром  шара на две части: в 4 см и 5 см. Найти объём пирамиды.

19.  Высота   правильной   треугольной пирамиды h. Боковые рёбра взаимно перпендикулярны. Найти радиус описанного шара.

20.   В правильной пирамиде высота Н, радиус основания R. При  каком   соотношении  между  высотой и радиусом  основания центр описанного шара лежит: 1) на основании пирамиды, 2) внутри пирамиды и 3) вне пирамиды?

21.  Основанием пирамиды служит правильный треугольник, сторона которого равна 3 дм. Одно из боковых рёбер равно 2 дм и перпендикулярно к основанию. Найти радиус описанного шара.

Усечённая пирамида и шар.

22.  Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды 7 дм и 1 дм. Боковое  ребро   наклонено к основанию под углом в 45°. Найти радиус описанного шара.

23.  В правильной шестиугольной усечённой пирамиде стороны оснований 3 м и 4 м, высота 7 м. Найти радиус описанного шара.

24.  В правильной   треугольной  усечённой пирамиде высота 17 см, радиусы окружностей, описанных около оснований, 5 см и  12 см. Найти радиус описанного шара.

25.  Около шара радиуса R описана правильная четырёхугольная усечённая пирамида, у которой двугранный угол при основании равен 45°. Определить её полную поверхность.

Цилиндр и шар.

26.  В шар радиуса R вписан равносторонний цилиндр. На какие части делят поверхность шара основания цилиндра?

27.  Вокруг шара описан цилиндр. Найти отношение их поверхностей и объёмов.

28. В шар вписан цилиндр, у которого радиус основания относится к высоте, как т : п. Определить полную поверхность этого цилиндра, если поверхность шара равна S.

Конус и шар.

29. Высота конуса h, образующая l. Найти радиус описанного шара.

30.  Радиус шара 5 см. В шар вписан конус, радиус его основания 4 см. Найти высоту конуса.

31.  Радиус шара 2 м. В него вписан равносторонний конус. Найти полную поверхность и объём конуса.

32.   Высота  конуса 8 м,   образующая   10 м. Найти радиус вписанного шара.

33.   Найти  отношение объёмов равностороннего конуса и вписанного в него шара.

34.  В конус, у которого радиус основания r , а образующая l, вписан шар. Определить длину линии, по которой поверхность шара касается боковой поверхности конуса.

35.  Если около шара описан конус, у которого высота вдвое более диаметра   шара, то объём и полная поверхность конуса вдвое более объёма и поверхности шара. Доказать.

36.   Около шара радиуса r описан конус, наибольший угол между образующими которого прямой. Определить полную поверхность конуса.

37. Высота конуса 20 см, образующая 25 см. Найти радиус вписанного полушара, основание которого лежит на основании конуса.

38.  Высота конуса 9 см, радиус основания 12 см. Найти радиус вписанного в конус сегмента, имеющего с ним общее основание.

Усечённый конус и шар.

39.  Радиусы оснований усечённого конуса 3 м и 4 м; высота 7 м. Найти радиус описанного шара.

40.  Радиус шара 10 см. В него вписан усечённый конус. Радиусы оснований конуса 6 см и 8 см. Найти его высоту. (Два случая.)

41. Вокруг шара описан усечённый конус, радиусы оснований второго r и R. Найти радиус шара.

42. Около шара описан усечённый.конус, у которого образующая составляет с плоскостью основания угол в 45°. Доказать, что его  боковая   поверхность  вдвое более поверхности шара.

43.   Определить   боковую поверхность и объём усечённого конуса, описанного около шара, если его образующая равна 13 см, а радиус шара 6 см.

Шаровые сектор и сегмент. Шар.

44. Радиус сферического сектора R, дуга в осевом сечении 60°. Найти радиус вписанного в него  шара и длину  окружности, по которой они касаются.

45. В сферический сектор вписаны два взаимно касающихся шара, радиусы которых 1 дм и 3 дм. Найти радиус данного сектора.

46.  Даны четыре равных шара радиуса R, из которых каждый касается трёх других. Найти радиус шара, касательного ко всем  данным шарам. (Два случая.)

47.  Полная поверхность данного шарового сегмента в т раз более поверхности вписанного в него шара. Определить высоту сегмента, зная радиус R его сферической поверхности (т = 2).

48.  Объём данного шарового сегмента в т раз более объёма вписанного в него шара. Определить его высоту по радиусу R его сферической поверхности (т = 2).

49.  В шаровой сектор с углом в осевом сечении в 120° вписан равносторонний конус. Вершина конуса находится на сферической  поверхности   сектора,  а основание  конуса   опирается   на  коническую  поверхность   сектора.   Найти  отношение  объёмов конуса и сектора.

ОТВЕТЫ