§ 24. Тела вращения.

Цилиндр,   конус и усечённый   конус.

1.   Квадрат со стороной а вращается вокруг перпендикуляра к диагонали, проведённого через её конец.   Определить   объём и поверхность полученного тела.

2.    Квадрат   со   стороной   а   вращается вокруг внешней оси, которая параллельна его стороне и отстоит от неё на длину стороны.   Требуется:   1) определить  объём и поверхность полученного тела; 2) определить, в каком отношении   объём,   образуемый   вращением   квадрата,   разделится поверхностью, которую опишет его диагональ.

3.  Равносторонний треугольник вращается вокруг перпендикуляра к стороне, проведённого через её конец. Как относятся между собой поверхности, описываемые сторонами треугольника?

4. Равносторонний треугольник вращается сначала вокруг стороны, а потом вокруг параллели к стороне, проведённой через вершину.   Во   второй   раз   получаются   объём   и   поверхность, вдвое большие, чем в первый раз. Доказать.

5.   Равносторонний   треугольник   со   стороной  а  вращается вокруг внешней оси,   которая   параллельна   стороне и удалена от неё на расстояние, равное апофеме треугольника. Определить объём и поверхность полученного тела.

6.  Одна из сторон а равностороннего треугольника продолжена на равную ей длину, и через конец   продолжения проведён перпендикуляр   к  нему.   Определить   объём и поверхность тела,   которое   получится,   если   вращать   треугольник   вокруг этого перпендикуляра.

7.   Высота равностороннего треугольника продолжена за вершину на свою длину, и через конец продолжения проведён перпендикуляр к нему. По стороне а определить объём и поверхность тела, образуемого вращением треугольника вокруг этого перпендикуляра.

8.  Стороны квадрата служат сторонами равносторонних треугольников, построенных снаружи, и образовавшаяся фигура вращается вокруг прямой, соединяющей  наружные вершины двух противоположных   треугольников.   Сторона   квадрата   равна  а. Определить объём и поверхность полученного тела.

9.  По стороне   а  правильного   шестиугольника   определить объём и поверхность тел,   образуемых   его   вращением:   1) вокруг диаметра; 2) вокруг апофемы.

10. По стороне а правильного шестиугольника определить объём и поверхность тела, образуемого его вращением вокруг стороны.

11.  Правильный   шестиугольник   со   стороной  а вращается вокруг оси, проходящей   через   его вершину   перпендикулярно к радиусу, проведённому в эту вершину. Определить объём и поверхность тела вращения.

12.  Правильный   шестиугольник   со   стороной а вращается вокруг внешней оси,   которая  параллельна  стороне и отстоит от  неё на   длину   апофемы.   Определить   объём  и поверхность полученного тела.

13.   Прямоугольный   треугольник с катетами 5 см и  12 см вращается вокруг внешней оси, которая параллельна большему катету и отстоит от   него   на 3 см.   Определить   объём и поверхность тела вращения.

14.   Прямоугольный треугольник с катетами  15 см и 20 см вращается вокруг  перпендикуляра к гипотенузе,   проведённого через  вершину большего   острого   угла.   Определить   объём и поверхность тела вращения.

15. Треугольник со сторонами 9 см, 10 см и 17 см вращается вокруг высоты, проведённой из вершины его меньшего угла. Определить объём и поверхность полученного тела.

16.  Треугольник со сторонами 8 см  и 5 см, заключающими угол в 60°, вращается вокруг оси, проходящей через вершину этого угла перпендикулярно к меньшей   из  его сторон.   Определить объём и поверхность тела вращения.

17. Объёмы, образуемые  вращением   параллелограмма   последовательно вокруг двух смежных   сторон,   обратно   пропорциональны этим сторонам. Доказать.

18.   Ромб,   площадь   которого   равна Q, вращается   вокруг стороны. Определить поверхность полученного тела.

19.   1) Ромб со стороной а и острым углом в 60° вращается вокруг оси, проведённой через вершину этого угла перпендикулярно к стороне. Определить объём и поверхность тела вращения.

2) Такая же задача для угла в 45°.

20.   Равнобедренная   трапеция,  у которой   острый   угол равен 45° и боковая   сторона   равна   меньшему  основанию,   вращается   вокруг   боковой   стороны.   По   её длине а определить объём и поверхность тела вращения.

21.   В полукруг   радиуса R вписана   трапеция   так,   что её нижним   основанием   служит   диаметр   этого   круга,   а  боковая сторона стягивает дугу в 30°. Определить объём и поверхность тела,   образуемого   вращением этой   трапеции  вокруг радиуса, перпендикулярного к её  основанию.

22.     АВ — диаметр    данной    полуокружности    радиуса    R; ВС—дуга, содержащая 60°. Проведены хорда АС и касательная CD, где   D — точка на продолжении  диаметра АВ.   Определить объём и поверхность тела,   получаемого при вращении треугольника ACD вокруг оси AD.

Шар и его части.

23. На полуокружности радиуса R от конца её диаметра АВ отложена дуга ВМС в 60°, и точка С соединена с А. Определить объём и поверхность тела, которое образуется, если вращать вокруг АВ фигуру, ограниченную диаметром АВ, хордой АС и дугой ВМС.

24.  На полуокружности радиуса R от конца её диаметра АВ отложена дуга ВМС в 45°, из точки С проведена касательная, пересекающая   продолжение диаметра АВ в точке D.   Фигура, ограниченная   прямыми  BD   и   CD  и   дугой  ВМС,   вращается вокруг BD. Определить объём и поверхность полученного тела.

25.   О — центр дуги АМС радиуса R; В—точка на продолжении   радиуса   ОА;   ВС—касательная   к   дуге   АМС;   CD — перпендикуляр на радиус ОА. Фигура вращается вокруг оси ОВ.  Определить расстояние OD, если поверхность, образуемая вращением дуги АМС, делит пополам объём,   образуемый   вращением треугольника ОСВ вокруг оси ОВ.

26.  АМС, CND и DPB — последовательные трети полуокружности с диаметром АВ и центром О. Проведены радиусы ОС и OD и хорды АС и AD,   и фигура вращается вокруг диаметра АВ. Доказать, что фигурами ACND и OCND будут описаны равные объёмы, составляющие каждый половину объёма шара.

27.  Круговой сегмент вращается вокруг параллельного хорде диаметра. Доказать, что полученный объём равен объёму шара с диаметром, равным хорде сегмента.

28. 1) АОВ — квадрант с центром О и радиусом R; АМС — дуга, содержащая 60°; AD— касательная, причём D точка её пересечения с продолжением радиуса ОС. Фигура, ограниченная отрезками AD и CD и дугой АМС, вращается вокруг радиуса ОВ. Определить объём и поверхность полученного тела.

2)  Такая же задача для дуги АМС, равной 45°.

Теоремы Гюльдена.

29.  Проверить обе теоремы   Гюльдена для случаев вращения:

1) прямоугольника вокруг одной из его сторон;

2)  ромба со стороной а и высотой h вокруг одной из его сторон;

3)  правильного треугольника   со   стороной   а   вокруг   оси, проходящей через вершину параллельно основанию;

4)  прямоугольного треугольника вокруг  одного  из катетов;

5)   прямоугольного   треугольника    вокруг   гипотенузы.

30.   Поперечное  сечение железного кольца — квадрат со стороной а = 4 см;  средний   диаметр   кольца    d =  80 см и удельный вес его 8,6. Найти вес кольца.

31.   Спасательный круг, поперечное    сечение   которого — окружность,    можно рассматривать как тело, получившееся    от    вращения круга вокруг некоторой оси. Диаметр сечения d =12 см; внешний диаметр   спасательного круга  D = 75 см.  Вычислить поверхность спасательного круга и его объём.

32.  Паровозное депо имеет в плане вид полукольца (черт. 44), внутренний диаметр которого   равен 20 м;   ширина полукольца 9 м ; в поперечном сечении депо имеет вид прямоугольной трапеции ABCD,  параллельные  стороны которой равны  4,25 м и 6,5   м. Найти объём депо.

33. Стороны треугольника 9 см,  10 см  и 17 см. Треугольник вращается около большей своей высоты. Определить объём поверхность тела вращения.

34. Доказать, что объёмы, полученные при вращении треугольника вокруг основания и вокруг прямой, параллельной основанию проходящей через вершину треугольника, относятся как 1 : 2.

ОТВЕТЫ