§ 25. Смешанный отдел.

1.   На  чертеже   45  дан  внутренний разрез доменной печи; размеры даны в метрах. Определить объём горна, заплечиков, шахты, состоящей из трёх частей, и объём всей печи.

2.  Плоскость,   проведённая   в   пирамиде параллельно основанию,   делит  её  боковую  поверхность   на   части, отношение которых   равно   4 : 5,   считая от вершины. В каком отношении делится этой плоскостью высота?

3.  Диагонали прямого параллелепипеда равны 9 см и √33 см; периметр его основания равен 18 см; боковое ребро равно 4 см. Определить    полную    поверхность  и объём этого параллелепипеда.

4.   В шар радиуса R вписан куб и на его гранях построены правильные пирамиды с вершинами на поверхности шара. Определить    объём    образовавшегося многогранника и указать его  отношение к объёму шара.

5.  Полная поверхность конуса разделена   пополам   сечением, параллельным основанию. Радиус основания равен R, а образующая l. Определить верхний отрезок образующей (R= 1, l = 8).

6.   Около шара описана правильная четырёхугольная усечённая пирамида, у которой стороны оснований относятся как т : п. Найти отношение её объёма к объёму шара.

7.  Если в правильной четырёхугольной призме боковое ребро равно половине диагонали основания, то полная поверхность такой призмы равновелика   правильному   восьмиугольнику,   построенному  на стороне её основания. Проверить это:  1) с помощью вычисления; 2) без вычисления.

8.   В прямом параллелепипеде точка пересечения его диагоналей   отстоит   от   плоскости   основания на 3 см, от боковых граней  на 2 см   и 4 см;   периметр   основания   равен   30   см. Определить полную поверхность и объём параллелепипеда.

9.   Для шлифовки мелких костяных изделий требуется сделать из полукотельного железа барабан, имеющий форму правильной шестиугольной призмы со стороной основания в 200 мм и длиной в 800 мм.   При работе   барабан загружается на 45%  объёма. Определить количество железа, потребное для изготовления пяти таких барабанов, и вес изделий, шлифуемых одновременно в них, принимая удельный вес кости равным 1,2.

10. Правильная шестиугольная чугунная призма высверлена по оси. Длина её 4,8 м; удельный вес 7,25. Диаметр цилиндрического отверстия 32 см и сторона основания 32 см. Найти вес призмы.

11.  Если плоскость, проходящая через гипотенузу прямоугольного треугольника, составляет с катетами углы в 30° и 45°, то с плоскостью треугольника она составляет угол в 60°. Доказать.

12.  Около  шара радиуса R описан усечённый конус, объём которого в т раз больше   объёма шара.   Определить радиусы его оснований.

13. Если диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с двумя рёбрами углы в 60°, то с третьим ребром она образует угол в 45°. Доказать.

14.   Поверхность шара,  вписанного в данный конус, равновелика его основанию. Требуется определить:  1) как относится поверхность этого шара к боковой поверхности конуса; 2) какую часть объёма конуса составляет объём шара.

15. Определить объём правильной четырёхугольной пирамиды, если боковое ребро равно b, а плоский угол при  вершине 36°.

16. Как относится объём конуса, описанного около правильного  тетраэдра, к объёму шара, вписанного в этот  тетраэдр?

17.   Основанием пирамиды служит ромб со стороной в 25 дм и меньшей диагональю 30 дм; высота пирамиды проходит через вершину тупого угла  основания   и   равна   32   дм.   Определить полную поверхность этой пирамиды.

18.  Луночка, ограниченная полуокружностью и дугой в 120°, вращается вокруг прямой, соединяющей середины её дуг. Хорда луночки равна а. Определить поверхность и объём полученного тела.

19.  В равносторонний конус вписан полушар так, что большой круг полушара находится в плоскости   основания конуса. И каком отношении окружность касания делит боковую поверхность полушара и боковую поверхность конуса?

20.  Основанием правильной четырёхугольной пирамиды служит квадрат, вписанный в основание шарового сегмента. Высоты пирамиды и сегмента совпадают. Радиус шара R = 6,5 м, высота сегмента h = 5 м. Найти боковую поверхность пирамиды.

21.  Куб, ребро которого равно а, срезан по углам плоскостями, проведёнными через середины каждых трёх сходящихся рёбер. Определить   объём и поверхность полученного   многогранника.

22.   В равносторонний конус с образующей  а  вписан   шар, а в него вписан куб. Определить ребро куба.

23.   В данной правильной треугольной призме боковое ребро равно стороне основания а. Определить площадь сечения, проведённого через сторону основания под углом 60° к плоскости основания.

24.  В правильном тетраэдре соединены между собой центры боковых граней. Определить, во сколько раз площадь полученного треугольника менее площади основания.

25.  Секущая ACD, проведённая через центр окружности, равна 40 см; касательная АВ = 20 см. Определить объём и поверхность тела, образуемого вращением вокруг AD фигуры, ограниченней прямыми АВ и AD и дугой BMD.

26.  Около шара радиуса r описан конус, у которого боковая поверхность  относится к поверхности шара, как 3:2. Определить радиус основания.

27.   В   основание полушара  вписан квадрат. Через стороны квадрата проведены  плоскости, перпендикулярные к плоскости основания  полушара (черт. 46). Эти плоскости отсекают от полушара четыре сферических полусегмента. Оставшаяся часть даёт часто встречающуюся форму свода. Сторона квадрата a = 6,5 м. Вычислить объём, занимаемый сводом.

28.  В основание полушара вписан прямоугольник со сторонами а и b. Через стороны прямоугольника проведены четыре перпендикулярные к основанию плоскости, отсекающие от полушара четыре части (полусегменты). Найти объём оставшейся части.

29.  По сторонам а и b прямоугольника определить объём и поверхность тела, образуемого его вращением вокруг оси, проходящей через вершину параллельно диагонали.

30.  По сторонам а и b прямоугольника определить объём и поверхность тела, образуемого его вращением вокруг перпендикуляра к диагонали, проведённого через её конец.

31.  Треугольник, площадь которого равна 36 см², вращается вокруг одной из сторон. Объём полученного тела 192π cм², а его поверхность 216π см². Определить стороны треугольника и указать, какая из них служила осью.

32.  В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде даны стороны оснований а и b и высота h. Определить объём её части, заключённой между боковой гранью и параллельной ей плоскостью, проведённой через сторону верхнего основания.

33.  Треугольник, стороны которого относятся между собой как 13:14:15, вращается вокруг средней стороны. В полученное тело вращения вписан шар. Как относится объём шара к объёму тела вращения?

34. Прямоугольник со сторонами а и b  перегнут по диагонали так, что плоскости треугольников образовали прямой двугранный угол. Определить расстояние между вершинами прямоугольника, не лежащими на ребре двугранного угла.

35. Пусть будут V, V₁ и V₂ объёмы тел, полученных вращением прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы и катетов. Доказать, что .

36. Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник  ABC с гипотенузой АВ = с и острым углом в 15°. Если боковые грани С₁САА₁ и С₁СВВ₁ развернуть в одну плоскость и в ней пронести линии С₁А и С₁В, то они образуют прямой угол. Определить объём и боковую поверхность этой призмы.

37.  В конус вписан ряд шаров, из которых первый касается основания и боковой поверхности, а каждый следующий — боковой поверхности и предыдущего шара. Высота конуса равна 8 см, а радиус основания 6 см. К какому пределу стремится сумма объемов вписанных шаров,   если число их неограниченно возрастает.

38. В кубе с ребром а построен шар так, что его поверхность касается всех ребер куба. Определить объём части шара, заключённой внутри куба.

39. В правильной четырехугольной призме сторона основания равна а, боковое ребро 4а. Определить площадь сечения, проведённого через диагональ призмы параллельно диагонали основания.

40.   Для данной правильной четырёхугольной усечённой пирамиды   построена равновеликая ей правильная четырёхугольная призма   так,   что   центры   их оснований совпадают, а боковые рёбра  взаимно пересекаются. Стороны оснований усечённой пирамиды 2 м и 11 м. Требуется: 1) определить сторону основания призмы; 2) узнать, в каком отношении (считая сверху) делятся боковые рёбра точками их пересечения; 3) узнать, в каком отношении делятся линией пересечения боковые поверхности.

41.  В шар вписан конус так, что его высота делится центром  шара   в   среднем  и крайнем отношении. Определить, во сколько раз объём шара более объёма конуса.

42.   В   трапеции ABCD,  где ВС || AD, дано: /  ВАD = 60°, АВ = 8 см,   AD = 5 см  и BC= CD.   Определить   объём и поверхность тела, образуемого вращением этой трапеции вокруг стороны AD.

ОТВЕТЫ