О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ.
(ГОНИОМЕТРИЯ.)
I. Тригонометрические функции острого угла.
§ 4. Названия и обозначения. Тригонометрические функции угла следующие: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс.
Они имеют следующие обозначения: sin, cos, tg, ctgsec, cosecj при этом угол записывается рядом с названием функции, так что, например, синус угла αпишется: sin α.
§ 5. Определение тригонометрических функций острогоугла. Возьмем какой-нибудь острый угол αи сделаем его центральным, описав из его вершины дугу произвольным радиусом, длину которого обозначим через R. Чтобы различить между собой радиусы, образующие угол, будем представлять себе, что при измерении угла α
(черт. 1) радиус ОА сохраняет свое положение, а радиус ОВ вращается; в этом смысле будем называть радиус ОВ подвижным радиусом угла, а радиус ОА неподвижным. Обращаясь теперь к определениям тригонометрических функций, скажем сначала вообще, что они представляют собой отношения к радиусу особых линий в круге, проводимых для данного угла как для центрального. Для построения этих
линий, кроме дуги АВ, пользуются еще ее продолжением и радиусом ОМ, проведенным под прямым углом к ОА.
Определения отдельных тригонометрических линий и функций для острого угла суть следующие:
1) Перпендикуляр (ВС), опущенный из конца подвижного радиуса на неподвижный, называется линией синуса, а отношение этой линии к радиусу есть синус данного угла
( sin α = BC/R).
2) Расстояние (ОС) от центра до линии синуса называется линией косинуса, а отношение этой линии к радиусу есть косинус данного угла (cos α = OC/R).
3) Отрезок касательной (AD), проведенной из конца неподвижного радиуса до встречи с продолженным подвижным радиусом, называется линией тангенса, а ее отношение к радиусу есть тангенс данного угла (tg α= AD/R)
4) Отрезок касательной (ME), проведенной из конца радиуса, перпендикулярного к неподвижному до встречи с продолженным подвижным радиусом, называется
линией котангенса, а ее отношение к радиусу есть котангенс данного угла
(ctg α= ME/R)
5) Расстояние (OD) от центра до конца линии тангенса называется линией секанса, а отношение этой линии к радиусу есть секанс данного угла (sec α= OD/R).
6) Расстояние (ОЕ) от центра до конца линии котангенса называется
линией косеканса, а отношение этой линии к радиусу есть косеканс данного угла
( cosec α= OE/R) .
Следствие. Тригонометрические функции, представляя собой величину отношений между линиями, суть отвлеченные числа.
Так, например, если радиус равен 9 см, а линия синуса равна 6 см, то для синуса получим отвлеченное число 2/3.
§ 6. Теорема.
Тригонометрические функции данного угла не зависят от длины радиуса.
Пусть на чертежах 2 и 3 углы АОВ и А1О1В1 равны данному углу α, а радиусы дуг не равны. Значения тригонометрических функций при радиусе Rобозначим через sin, cos,..., а при радиусе R1через sin1, cos1,...; требуется доказать, что
sin1 α = sin α , cos1 α = cos α и т. д.
Доказательство. Треугольники О1В1С1, O1D1A1 и О1М1Е1 соответственно подобны треугольйикам ОВС, ODA и ОМЕ (вообще: чертеж 3 подобен чертежу 2); поэтому:
B1C1/R1= BC/R, O1C1/R1= OC/R, A1D1/R1= AD/R,
и т. д., т. е. sin1 α = sin α , cos1 α = cos α, tg1 α = tg α и т. д.
Итак, для одного и того же угла тригонометрическая функция при всяком радиусе имеет одно и то же значение.
§ 7. В предыдущем параграфе было доказано, что с изменением длины радиуса тригонометрические функции данного угла не меняются; но если мы изменим величину угла, то, как видно по чертежу, каждая из тригонометрических функций изменит свое значение. Отсюда тригонометрические числа и получили свое название тригонометрических функций угла.
§ 8. Так как центральный угол и его дуга выражаются одним и тем же числом, то тригонометрические функции угла суть в то же самое время и тригонометрические функции дуги, понимая под словом дуга ее градусное, или радианное, выражение. Ввиду этого мы будем иногда, для удобства, вместо углов пользоваться дугами, иногда же будем рассматривать угол и дугу под общим названием аргумент.
§ 9. Изменение тригонометрических функций с изменением угла от 0 до 90°. Если на чертеже 4 угол αбудет постепенно возрастать, то отношения BC/R, AD/R и OD/R будут увеличиваться, а отношения OC/R, ME/R и OE/Rбудут уменьшаться (черт. 5); таким образом, с возрастанием острого угла его синус, тангенс и секанс
возрастают, а косинус, котангенс и косеканс убывают.
Когда угол α достигает 90°, то BC/R обращается в 1, OC/R — в 0, AD/R — в ∞ ,
ME/R— в 0, OD/R— в ∞ и OE/R — в 1; таким образом:
sin 90° = 1, cos 90° = 0, tg90° = ∞, ctg90° = 0, sec90° = ∞ и cosec90° = l.
При обратном переходе BC/R, AD/R и OD/R убывают, а OC/R, ME/R и OE/R возрастают. Если угол α обращается в нуль, то BC/R обращается в 0 , OC/R — в 1, AD/R — в 0,
ME/R— в ∞, OD/R— в 1 и OE/R — в ∞; таким образом:
sin 0 = 0, cos 0 = l, tg 0 = 0, ctg 0 = ∞, sec 0 =1 и cosec 0 = ∞.
Итак, если α возрастает от 0 до 90°, то
sin α возрастает от 0 до 1;
cos α убывает от 1 до 0;
tg α возрастает от 0 до ∞;
ctg α убывает от ∞ до 0;
sec α возрастает от 1 до ∞ ;
cosec α убывает от ∞ до 1.
Так как 0 и 90° суть крайние значения острого угла, то полученный вывод показывает также, какие значения воoбще способна принимать каждая из тригонометрических функций острого угла; так, например, мы видим, что число 3 может быть тангенсом, котангенсом, секансом и косекансом, но не может быть ни синусом, ни косинусом.
Равенства, содержащие бесконечность, надо понимать условно:
так, выражение tg 90° = ∞ имеет лишь тот смысл, что с приближением угла к 90° этот тангенс неограниченно возрастает.