О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ.

(ГОНИОМЕТРИЯ.)

I. Тригонометрические функции острого угла.

§ 10. Построение острого угла по данной тригонометрической функции.

Из §§ 6 и 9 видно, что каждому значению угла αсоответствует свое особое значение каждой из тригонометрических функций. Займемся теперь обратным вопросом, т. е. нахождением угла по данной его функции. Воспользуемся для этого примерами построения.

Пример 1. Построить угол, зная, что его синус равен ²/₃(черт. 6).

Решение. Проведя произвольную прямую ОА, примем точку О за центр дуги, а ОА — за неподвижный радиус искомого угла и опишем этим радиусом дугу. Чтобы синус был равен ²/₃, конец дуги должен быть удален от ОА на расстояние, которое относилось бы к радиусу, как 2:3. Поэтому поступаем так: восставив перпендикуляр ОМ, равный ²/₃ОА, проведем из точки М параллель к ОА, и в точку ее пересечения с дугой проведем радиус: угол АОВ есть искомый, так как sin AOB = ²/₃. Заметим, что этот угол не зависит от длины радиуса, так как при всяком другом радиусе мы получим треугольник, подобный треугольнику ОВС и, следовательно, с углами такой же величины.

Пример 2. Построить угол, если известно, что его котангенс равен 2 (черт. 7).

Решение. Возьмем центральный прямой угол АОМ, из точки М проведем касательную ME, равную двум радиусам, и точку Е соединим с центром; угол АОВ есть искомый, так как ctg АОВ = ^ME/_R= ^2R/_R= 2.Изменив длину радиуса, мы получим треугольник, подобный треугольнику МОЕ, поэтому угол МЕО, а следовательно, и угол
АОВ сохранят свою величину.

Пример 3. Построить угол, секанс которого равен ⁴/₃.

Решение. Опишем какую-нибудь дугу и, приняв один из радиусов (ОА) за неподвижный, провeдем из его конца касательную. Так как секанс равен ⁴/₃, то конец касательной должен отстоять от центра на ⁴/₃радиуса. Чтобы достигнуть этого, возьмем отрезок ОЕ, равный ⁴/₃ОА, и конец его перенесем на касательную; угол AOD будет искомый. Как в двух предыдущих примерах, результат не зависит от длины радиуса (черт. 8).

Предлагаем теперь самому учащемуся сделать построение в остальных случаях, пользуясь, например, следующими числами:
cos x= ³/₅, tg x= ⁴/₇и cosec х = 2.

§ 11. Итак, для каждого значения тригонометрической функции получается определенный острый угол, независимо от длины радиуса; а раньше мы видели, что каждому углу соответствует определенное значение тригонометрической функции, также независимо от длины радиуса; таким образом, можно сказать, что острый угол и его тригонометрическая функция вполне определяют друг друга.