О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ.
(ГОНИОМЕТРИЯ.)
II. Тригонометрические функции углов от 90 до 360°.
§ 29. Изменение тригонометрических функций
с возрастанием угла от 0 до 360°.
Случай изменения угла от 0 до 90° был уже рассмотрен раньше, в § 9. Для изменения угла от 90 до 180°, от 180 до 270° и от 270 до 360° воспользуемся соответственно чертежами 15, 16 и 17 (§§ 23 и 24), а именно: определив сначала знак функции, будем относительно абсолютной величины соображать так же, как и в § 9.
Окончательные результаты представлены в прилагаемой таблице: для каждой четверти в аргументе и функции показаны только крайние значения; между ними функция или только увеличивается или только уменьшается.
Так как тригонометрические функции выражаются теперь количествами алгебраическими, то увеличение и уменьшение функции надо отличать от увеличения и уменьшения ее абсолютной величины; например, с возрастанием аргумента от 90 до 180° абсолютная величина косинуса увеличивается, но сам косинус, будучи здесь числом отрицательным, с увеличением абсолютной величины, наоборот, уменьшается. Точно так же с возрастанием аргумента в а лгебраическом смысле тангенс всегда увеличивается, а котангенс уменьшается.
К полученному выше добавим еще несколько указаний.
I. Из таблицы видно, в каких границах изменяется каждая функция; отметим это:
1) синус и косинус изменяются от + 1 до — 1 (так что их абсолютная величина никогда не превышает единицы); '
2) тангенс и котангенс изменяются между + ∞ и — ∞ (поэтому тангенсом и котангенсом может быть всякое число);
3) секанс и косеканс изменяются от + 1 до + ∞ и от — 1 до — ∞ (следовательно, их абсолютная величина не бывает менее единицы).
II. Обратим внимание на двойственность некоторых результатов. Так, мы видим, что tg 90° = + ∞ , если 90° получено увеличением острого угла, и tg 90° = — ∞, если 90° получено уменьшением тупого угла; если же происхождение 90° неизвестно, то придется написать tg 90° = ± ∞. Точно так же будем иметь ctg 180° = ± ∞ и т. п.
Замечание. Освоившись по чертежу с изменениями синуса и косинуса, изменения остальных функций легко проследить и без чертежа—по их зависимости от синуса и косинуса.
Так, например, изменения tg α можно рассмотреть как изменение дроби sin α/cos α , изменения sec α — как изменение дроби 1/cos α.