О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ.

(ГОНИОМЕТРИЯ.)

III. Углы отрицательные. Углы, большие 360°.

§ 33. Об отрицательных углах.

Если рассматривают не только величину угла, но и направление, в котором он отсчитывается, то угол, образуемый вращением, обратным обычному, выражают, по правилу Декарта, отрицательным числом.

На тригонометрическом круге отрицательными будут углы, откладываемые вниз от неподвижного радиуса ОА по направлению движения часовой стрелки (черт. 30).

Отрицательным углам будут соответствовать и отрицательные дуги: такими должны считаться дуги, описываемые концом В подвижного радиуса при вращении его по направлению движения часовой стрелки.

Тригонометрические функции для отрицательного угла составляются так же точно, как для примыкающего к нему положительного угла. Так, по чертежу 30 получится:

sin(— α) = — ^BC/_R;  ctg(— α) = — ^ME/_R ; sес(— α) = +  ^OD/_R и т. д.

§ 34. Найдем   зависимость  между   функциями   отрицательного угла и такого же по величине положительного. По чертежу 31 имеем:

sin(—α) = — ^CD/_R   и   sin α = + ^BD/_R ;

замечая, что CD = BD, и умножая   обе части   второго   равенства на —1, получим:

sin (— α) = — sin α.

Далее:

cos(— α) = + ^OD/_R    и   cos α = + ^OD/_R ;

следовательно,

cos (— α) = cos α.

Итак,

sin (— α) = — sin α  и   cos (— α) = cos α.

Отсюда найдем:

и тем же способом:

ctg (— α) == — ctg α.

Правило. В случае косинуса и секанса минус в аргументе можно опустить, а в остальных случаях минус у аргумента  можно вынести за знак функции.

По аналогии с возведением отрицательного числа в четную или нечетную степень синус и косеканс называются нечетными функциями, а косинус и секанс — четными.

Примеры:

sin(— 50°)= — sin 50°; cos (— 50°) = cos 50°;

tg(— 300°) = — tg300°; sec (—300°) = sec 300°;

sin (α — 90°) = sin [— (90° — α)] = — sin (90° — α) = — cos α.