О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ.

(ГОНИОМЕТРИЯ.)

III. Углы отрицательные. Углы, большие 360°.

§ 35. Об углах, превышающих 360°.
Периодичность тригонометрических функций.

В теории тригонометрических функций рассматриваются углы, превышающие 360°.

C введением отрицательных углов и углов, превышающих 360°, угол является уже такой переменной величиной, которая может принимать всевозможные значения,
от 0 до +∞ и от 0 до — ∞.

В § 29 было показано, как изменяются тригонометрические функции с возрастанием угла от 0 до 360°, т. е. при одном полном обороте подвижного радиуса. При дальнейшем возрастании угла подвижной радиус будет принимать положения, которые уже были пройдены им при первом вращении, а потому тригонометрические функции будут получать свои прежние значения в прежнем порядке.

В случае отрицательных углов при изменении угла от 0 до — 360°,
от — 360 до — 720° и т. д. подвижной радиус вращается так же, как при уменьшении положительного угла от 360° до 0, а потому тригонометрические функции изменяются так же, как для этого перехода.

Таким образом, при изменении угла от 0 до + ∞ и от 0 до — ∞ тригонометрические функции изменяются периодически, т. е. повторяясь через равные промежутки в
аргументе. Наименьшее положительное значение аргумента, начиная с которого ход изменения функции повторяется, называется периодом этой функции.

Предыдущее рассуждение показывает, что после того как угол достигает 360°, значения всех тригонометрических функций повторяются; остается только решить, будет ли этот промежуток наименьшим. Обращаясь для этого к таблице § 29, видим, что он не будет наименьшим только для тангенса и котангенса, у которых первое повторение наступает, начиная с угла в 180°; у остальных же функций до окончания полного оборота ход изменения не повторяется. Итак, тригонометрические функции — периодические, причем период синуса, косинуса, секанса и косеканса равен 360°, или 2π, а период тангенса и котангенса равен 180°, или π .

§ 36. Если к аргументу периодической функции мы прибавим период, то, каково бы ни было значение аргумента, значение функции не изменится; и обратно, если для данной функции существует такое постоянное количество, которое можно прибавлять ко
всякому значению аргумента без влияния на функцию, то эта функция есть периодическая. На основании этого периодичность тригонометрических функций можно выразить следующими формулами, в которых а может иметь какое угодно значение, от — ∞ до+ ∞:

sin (α + 360°) = sin α;
 cos (α + 360°) = cos α;
tg (α +180°) = tg α;
ctg (α + 180°) = ctg α;
sec (α +360°) = sec α;
cosec (α + 360°) = cosec α.

Примеры.
1) Упростить m = tg (α — π ).
Прибавив к аргументу период тангенса, т. е. π , получим: m = tg α.

2) Упростить n = ctg ¹⁹/₆ π.
Так как π есть период котангенса, то отнимем π от аргумента три раза; тогда
n = ctg ¹⁹/₆ π = √3.

§ 37. Приведение тригонометрических функций всякого угла
к простейшему аргументу.

Тригонометрические функции всякого угла, каковы бы ни были его знак и абсолютная величина, легко приводятся к функциям положительного угла, не превышающего 45°.

а) Пусть будет дан положительный угол (больший 45°). Если он менее 360°, то применяем §§ 17 и 30; если же он более 360°, то сначала исключаем из него все полные обороты, заменяя данный угол остатком деления его на 360°.

Например:

1) sin 63° = cos 27°;

2) cos 145° = cos (180° — 35°) = — cos 35°;

3) tg 2085° = tg (360°•5 + 285°) = tg 285° = tg (270° + 15°) =  — ctg 15°.

б) Если дан угол отрицательный, то сначала переходим на такой же по величине положительный угол, с которым и поступаем, как указано выше.
Возьмем, например, sin(—1596°). Применяя формулы § 34, получим

sin (— 1596°) = — sin 1596°.

Преобразуем теперь sin 1596°; разделив 1596 на 360, получим в остатке 156, следовательно, sin 1596° = sin 156°, но sin 156° = sin (180° — 24°) = sin 24°.

Таким образом, окончательно:

sin (— 1596°) = — sin 24°.