О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ.

(ГОНИОМЕТРИЯ.)

V. Приведение выражений к виду, удобному для логарифмирования.

§ 63. Общее замечание. Чтобы выражение удобно было вычислить с помощью логарифмов, оно не должно содержать ни сумм, ни разностей, кроме таких, которые легко найти непосредственно.

Если это условие не выполнено, то следует данное выражение преобразовать, насколько это возможно и выгодно. Главные из таких преобразований мы и рассмотрим теперь.

§ 64. Преобразование суммы и разности двух синусов или косинусов.

Преобразуем sin α  + sin β. Для этого положим :

α = х + у                          (1)

β = х — у                            (2)

и применим формулы (I) и (III); будем иметь:

sin α = sin (х + у) = sin x • cos у  + cos x • sin у;
sin β = sin (х — у) = sin x • cos y — cos x • sin.y;

отсюда

sin α  + sin β = 2 sin x • cos y,

но из уравнений (1) и (2) следует:

x =      и       y =  

таким образом

sin α  + sin β = 2 sin  • cos .                (XIII)

Применяя тот же самый прием, получим:

sin α — sin β = 2 cos  •  sin ;                (XIV)

cos α + cos β = 2 cos • cos ;                (XV)

cos α — cos β = —2 sin  • sin  = 2 sin •  sin    ¹⁾     (XVl)

¹⁾ sin = sin (— ) = —  sin ( ) . Формула читается так: paзность двух косинусов равна удвоенному произведению синуса полусуммы углoв на синус обратной полуразности их.

Примеры.

l) sin 100° — sin 16° = 2cos  • sin  = 2 cos 58° •  sin 42°...

2)  cos 12° — cos 60° = 2 sin 36° • sin 24°.

3)  cos 50° + sin 70° = cos 50° + cos 20° = 2 cos 35° • cos 15°.

4)  sin α  + cos α  = sin α  +  sin (90°— α ) = 2 sin 45° • cos (α — 45°) = √2 • cos (α— 45°).

§ 65. Преобразуем еще следующие выражения из содержащих синус и косинус.

а)  Деля равенство (ХШ) на (XIV), получим:

следовательно

б) По § 60 имеем:

1 + cos α = 2 cos^{2  α}/₂;                          (XVIII)

1— cos α = 2 sin^{2  α}/₂.                             (XIX)

Примеры.

2)   l + cos 10°23' = 2 cos² 5° 11' 30'';

3)   1— sin 40°= 1— cos 50° = 2 sin² 25°.

§ 66. Преобразование суммы и разности двух тангенсов или котангенсов.

Чтобы преобразовать выражения: tg α ± tg β; ctg α ± ctg β; tg α ± ctg β и ctg α ±  t:g β надо сначала перейти на синус и косинус; например:

§ 67. Введение вспомогательного угла.

Приводя выражение к удобному для логарифмирования виду, иногда бывает выгодно некоторые числа заменить тригонометрическими функциями углов. Вот несколько таких случаев:

§ 68. В § 67 преобразование удавалось с помощью некоторых простейших углов. Рассмотрим теперь общий случай, а именно: введем вспомогательный угол для А + В и
А — В, обозначая через А и В какие угодно выражения:

1) Имеем A+ B = A( 1+ ^B/_A ); здесь принимаем ^B/_A за тангенс некоторого угла, что возможно, так как тангенсом может быть всякое число.   Полагая  ^B/_A= tg φ,  получим

A+ B = A( 1 + tg φ);

но по § 67      .

таким образом:

Для вычисления второй части надо, конечно, сначала найти вспомогательный угол φ
(с помощью таблиц).

2)  Тем же самым способом получим:

3)  Еще получим:

§ 69. Выражения А + В и А — В преобразуются проще, чем в §68, если известно, что А и В имеют положительное зна чение.

1)  Имеем A+ B = A( 1+ ^B/_A ) ; так  как  ^B/_A положительно, то принимаем  ^B/_A = tg² φ; тогда:

2)  Для   разности  А— В,  если  А>В,  возьмем    А— В =  A( 1— ^B/_A )  и положим
^B/_A  = sin² φ;  это возможно, так  как ^B/_A положительно и менее единицы. Тогда:

А — В = А( 1 — sin² φ) = A • cos² φ.

Если А<В, то берем сначала А — В = —(B— А), после чего В — А преобразуем как раньше.