О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ.
(ГОНИОМЕТРИЯ.)
VI. О тригонометрических уравнениях.
§ 70. Общие замечания. Уравнение называется тригонометрическим, если содержит неизвестное под знаком тригонометрической функции; таковы, например, уравнения:
2sin2x + 3cos x = 0; sin 5x = sin 4x; tg (α+ x) = m tg x
(в первом уравнении неизвестное служит аргументом, во втором — входит в состав аргумента, в третьем — то и другое).
От тригонометрических уравнений следует отличать тригонометрические тождества: так называются те равенства, которые справедливы при всех значениях аргумента. Например, в равенстве sin2x + cos2 х = 1 первая часть всегда равна второй: оно есть тождество, а равенство sin2x — cos2 х = 1 верно только для некоторых значений аргумента1); оно есть уравнение.
1)Например, при x = 45° первая часть не равна второй.
Решить тригонометрическое уравнение — значит определить те углы, которые удовлетворяют ему, т. е. делают обе его части равными (эти углы называются корнями уравнения). Для решения надо сначала определить какую-нибудь функцию неизвестного угла, а по ней определим аргумент (обыкновенно с помощью таблиц). Но из § 47 мы знаем, что данному значению функции соответствует бесконечный ряд углов, таким образом, тригонометрическое уравнение (если оно разрешило) имеет бесконечное число корней; обыкновенно находят их общий вид. Пусть, например, решая какое-нибудь тригонометрическое уравнение, мы получили tg 3x = 1. Этому значению тангенса соответствует аргумент такого состава: 45° + 180°• n, где n — произвольное целое число; следовательно, 3x = 45°+ 180°• n, откуда определяем х; деля обе части равенства на 3, получим: x = 15°+60°• n; это и будет общий вид корней данного уравнения.
(Примером неразрешимого уравнения может служить 5sin х =7; из него sin х = 7/5, а это невозможно, так как абсолютная величина синуса должна быть не более единицы.)
Что касается самих приемов решения, то большею частью выгодно приводить уравнение к одной функции, преимущественно к синусу или косинусу, и к одному аргументу; тогда, приняв эту функцию за особое неизвестное, решаем уравнение как алгебраическое и отбрасываем те корни его, которые не могут служить значением определяемой функции. Иногда бывает также выгодно приводить вопрос к обращению в нуль произведения или дроби. Все сказанное поясним на примерах.
§ 71. Примеры.
I. 2 sin2x= 3 sin x.
Решение. Приведя уравнение к виду sin x (2 sin x — 3) = 0, получим:
sin x = 0; 2sin x — 3 = 0, откуда sin x = 3/2 .
Второе значение sin x невозможно (так как превышает единицу), а первому значению соответствует х = 180°• n (или х = πn).
II. 2 sin2 х + 3 cos х = 0.
Решение. Заменяя sin2 х через 1— cos2 х, получим:
2 • (1 — cos2 х) + 3 cos x = 0
и затем
cos2 х — 3/2 cos х —1= 0,
откуда
cos x = 3/2 ± 
; cos x1 = 2 и cos x2 = — 1/2.
Первое значение для cos x невозможно, а взяв cos x = — 1/2, получим:
x = 360°• n ± 120° (или x = 2πn ± 2π/3).
III. ctg (270° — x) = 3 ctg x.
Решение. Заменяя ctg (270° — х) и ctg х соответственно через tg х и 1/tg х, будем иметь tg х = 3/tg х , откуда tg x = ± √3 .
Оба полученные значения для tg x пригодны: если tg x1 = √3 , то x1 = 60° + 180°• n; если tg x2 = — √3 , то x2 = — 60° + 180°• n. Таким образом, вообще:
x =180°• n ± 60° , или х = πn ± π/3.
IV. tg (α + х) = т tg х, где α и m предполагаются известными.
Решение. Разложив tg (α + х), находим последовательно:
V. sin x — cos x = 
Решение. Здесь выгодно заменить первую часть произведением (ср. в § 64 пример 4):
sin x — sin (90° — x) = ; 2 cos 45°• sin (x— 45°) = ;
√2 sin (x— 45°) = ; sin (x — 45°) = 1/2.
Отсюда:
x— 45° = 30°+ 360°• n и 150° + 360°• n,
а следовательно, x =75°+ 360°• n и 195° + 360°• n или x = 5/12 π + 2πn и 13/12 π + 2πn.
VI. sin2 x — 2sin x • cos x = 3cos2 x.
Решение. Разделив обе части на cos2 x, получим:
tg2 x —2 tg x = 3,
откуда tg x = — 1 и 3; соответственно этим значениям tg x найдем:
x1 = 135°+180°• n или x1= — 45° + 180°• m и x2 = 71°33'54"+180°• n.
VII. sin 5x = sin 4x.
Решение. sin 5x — sin 4x = 0; 2 sin x/2 • cos 9x/2 = 0; далeе: sin x/2 = 0,
откуда x/2 = 180°• n и, следовательно, x =360°• n,
cos 9x/2 = 0, откуда 9x/2 = 90° + 180° • n и, следовательно, x = 20° + 40°• n.
Итак,
x = 360°• n ; 20° + 40°• n.
VIII. a • sin x = b • cos2 x/2.
Решение.
a • 2sin x/2 cos x/2 = b • cos2 x/2; cos x/2 (2a • sin x/2 — b • cos x/2) = 0,
отсюда:
1) cos x/2= 0; 2) 2a • sin x/2 — b • cos x/2 = 0, откуда tg x/2 = b/2a .
IX. tg 5x = tg2x.
Решение. Приведя уравнение к виду tg 5x — tg 2x = 0 и применяя §67, получим:
;
это дает sin 3x = 0, откуда 3x = 180°• n и, следовательно, x =60°• n.
X. a • sin x + b • cos x = c.
Решение. 1-й способ. Так как sin x и cos x выражаются друг через друга иррационально, то, сначала уединив a • sin x (или b • cos x), возводим обе части в квадрат и тогда заменяем уже sin2 x (или cos2 x).
2-й способ. Воспользуемся тем, что sin α и cos α выражаются рационально через
tg α/2, а именно:
1) Взяв sin α = 2 sin α/2 • cos α/2 и cos α = cos α/2 — sin α/2, делим вторые части на
cos2 α/2 + sin2 α/2 (что равно 1), а затем числителя и знаменателя делим на coscos2 α/2.
Если сделать такую замену, в нашем уравнении, то получим уравнение квадратное относительно tg x/2 , из которого и найдем:
Отсюда, между прочим, видно, что условие возможности задачи есть: a2 + b2 > c
Если для функции искомого угла получается выражение буквенное, как, например, в данном случае, то оно и считается окончательным ответом; необходимо только исследовать, при каких значениях входящих в ответ букв полученное для тригонометрической функции значение возможно.
3-й способ. При сложных числах предыдущий способ затруднителен, и тогда решают данное уравнение посредством вспомогательного угла следующим образом:
разделив обе части уравнения на b и полагая a/b = tg φ, будем иметь:
tg φ • sin х + cos x = c/b ;
умножая теперь обе части на cos φ, получим:
cos (х — φ) = c/b cos φ.