О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ.
(ГОНИОМЕТРИЯ.)
VI. О тригонометрических уравнениях.
§ 72. Примеры этого параграфа будут касаться вопроса о потере корней в уравнении и о получении посторонних корней, причeм предполагается, что общая теория этого вопроса уже известна учащемуся из алгебры.
I. Когда приравнивается нулю один из множителей произведения с целю обратить в нуль и самое произведение, то необходимо следить, не обращается ли при этом другой множитель в ∞.
Возьмем, например, уравнение sin x • сtg 2x = 0. Приравнивая нулю отдельные множители, получим:
1) sin x = 0, х =180° • п; 2) ctg 2x = 0, 2x = 90° + 180° • п,
и, следовательно, х = 45° + 90° • п.
Сделаем теперь поверку.
Подставляя в данное уравнение корень х =180° • п, получим в первой части:
sin (х =180° • п) • ctg (х =360° • п), что равно 0 • ∞.
Чтобы раскрыть эту неопределенность, преобразуем произведение sin x • сtg 2x; при всяком х имеем:
sin x • сtg 2x = sin x • cos 2x/sin 2x = cos 2x/2cos x
подставляя сюда x =180° • п; получим:
Таким образом, корень x =180° • п нe удовлетворяет данному уравнению, так как обращает первую часть его не в нуль, а в 1/2 или —1/2 .
Подставляем в данное уравнение корень х = 45° + 90° • п. Так как sin x никогда не обращается в ∞, тo в произведении получим нуль, и, следовательно, испытуемый корень пригоден.
Итак, после разбора остается только х = 45° + 90° • п.
II. sin 2x/sin x = cos 2x/cos x
Решение. Освобождаясь от знаменателей, получим sin 2x • cos x = s= cos 2x • sin x, или sin 2x • cos x — cos 2x • sin x = 0; здесь в первой части мы имеем разложенный синус разности; таким образом, получим sin х = 0, откуда х = 180° • п. Так как при sin x = 0 общий знаменатель sin x • cos x обращается в нуль, то полученный корень сомнительный.
Подставив х = 180° • п в данное уравнение, будем иметь:
Чтобы раскрыть неопределенность в первой части, заметим, что sin 2x/sin x тождественно равно 
,или 2cos x; следовательно,истинное значение первой части есть 2cos (180° • п), или 2 • (—1)n.
Таким образом, х = 180° • п не удовлетворяет данному уравнению.
Вообще если в уравнении есть знаменатели, то более надежный прием решения будет следующий: переносим все члены в одну часть и соединяем все в одну дробь; эту дробь сокращаем, если возможно, и затем определяем, какими способами можно обратить ее в нуль.
Поступая так с данным уравнением, мы заменили бы его постепенно следующими:
Но секанс никогда не может быть нулем, и потому данное уравнение оказывается невозможным.
III. Если бы в примере I мы разделили обе части на sin x, то потеряли бы корень
sin x = 0.
В примере VI § 71 мы разделили обе части уравнения на cos2 x, но cos x = 0 не удовлетворяет данному уравнению; следовательно, потери корней здесь не произошло.
IV. sin x + 7 cos x = 5... (а).
Решение. Взяв sin x = 5 — 7 cos x... (b), возвышаем здесь обе части в квадрат, получаем:
sin2 x = 25 — 70 cos x + 49 cos2 x.
Далее найдем:
Таким образом:
1) cos x1 = 0,8, откуда x1 = 360° • п ± 36°52'12";
2) cos x2 = 0,6, откуда x2 =360° • п ± 53°7'48".
Вспомним, что в нашем решении имеется возвышение обеих частей уравнения в квадрат, а от этого могли получиться пoсторонние корни. Такие корни будут, как известно, принадлежать уравнению, которое отличается от возведенного в квадрат только знаком одной части, т. е. уравнению sin x = — (5 — 7 cos x); следовательно, у них будeт не тот знак синуса, какой требуется. Определим поэтому, какой должен быть знак синуса, чтобы угол удовлетворял данному уравнению. Подстановка значений cos x в уравнение (b) дает:
1) sin x1 = 5 — 7 •0,8 < 0; 2) sin x2 = 5 — 7 • 0,6 >0.
Таким образом, в полученном у нас решении должны быть исключены углы:
x1 = 360° • п + 36°52'12" как имеющие положительный синус и x2 =360° • п — 53°7'48" как имеющие отрицательный синус.
Итак, окончательное решение уравнения (а) выразится формулами:
x1 = 360° • п — 36°52'12" и x2 =360° • п + 53°7'48".
Решая для сравнения данное уравнение еще переходом на tg x/2, мы получим:
1) tg x/2 = 1/2; x/2 = 26°33'54" +180° • п; x = 53°7'48" + 360° • п;
2) tg x/2 = — 1/3 x/2 = — 18°26'6" +180° • п; х = — 36°52'12" + 350° • п.