Часть первая
ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА.
Глава первая.
Нумерация. Меры длины и веса.
§ 1. Счет. § 2. Счет группами. § 3. Устная нумерация. § 4. Письменная нумерация. § 5.Абак и счёты. § 6. Римские цифры. § 7. Меры длины. § 8. Меры веса. § 9. Округление чисел.
§ 1. Счёт.
Уже в очень отдаленные времена людям приходилось считать окружающие их предметы: членов своей семьи, домашних животных, оружие, убитых или пойманных на охоте зверей и т. д.
История говорит нам, что первобытные люди умели сначала отличать только один предмет от многих; затем они стали считать до двух и до трёх, а всё, что было больше трёх, обозначали словом «много».
С течением времени люди овладели счётом на пальцах; если же предметов было больше, чем пальцев у человека, то наши отдалённые предки уже испытывали затруднения.
Для выполнения счёта пользовались также различными простыми приспособлениями, например зарубками на палке, пучками прутиков, камешками и различными бусами. Предметов, которые сосчитывались, было немного, поэтому и счёт был несложный.
Считая эти предметы, люди пришли к понятию числа предметов. Они поняли, что на вопрос, сколько охотник убил зверей, можно ответить, показав пять пальцев своей руки. С другой стороны, если у человека имеется пять стрел, то он тоже может показать пять пальцев.
Таким образом, хотя предметы совершенно различны (звери и стрелы), но их имеется поровну, т. е. стрел столько же, сколько и зверей. Значит, и группе,зверей, и пучку стрел соответствует одно и то же число — пять.
Прошло очень много времени, прежде чем люди освоились с большими числами. Они шли от числа один, или единица, к большим числам очень медленно.
§ 2. Счет группами.
Ведя счёт различных предметов, люди пришли к выводу, что удобно считать не единицами, а г р у п п а м и единиц.
А насколько это удобно, видно хотя бы из того, что счет группами сохранился и до нашего времени. Очень часто предметы и теперь считают по два, или парами. Например, ученик покупает в магазине перья. Продавец отсчитывает эти перья парами, т. е. он отодвигает в сторону по два пера, и говорит: одна, две, три, четыре, пять пар. Значит, он отсчитал 10 перьев.
Также часто считают тройками. При подсчёте каких-нибудь мелких предметов — пуговиц, карандашей, иголок, спичек, гвоздей и т. д. — их берут сразу по три и считают не число отдельных предметов, а число троек этих предметов. Весьма распространён счёт пятка'ми. Это и понятно, так как у человека на руках по пяти пальцев.
Всем известно, что многие предметы мы считаем десятками: яйца, яблоки, груши, огурцы и т. д.
С помощью каких же групп лучше всего считать? В настоящее время наиболее удобной считается группа из десяти единиц. Десятками пользуются широко и в жизненной практике, и в науке. В арифметике число десять имеет особо важное значение.
§ 3. Устная нумерация.
Если, может быть, наши отдалённые предки не вполне понимали, что числа должны иметь наименования, и человек на вопрос, сколько у него стрел, мог просто показать пять пальцев, то теперь мы понимаем, что каждому числу нужно дать своё название. Но чисел очень много, так как есть совокупности, содержащие много предметов. Поэтому возникает вопрос: как достигнуть того, чтобы все числа получили названия, но чтобы различных слов для этого было не очень много? Это достигается следующим образом: сначала устанавливаются наименования для первых десяти чисел; затем из этих наименований, путём разнообразного их соединения и прибавления ещё немногих новых слов, составляются названия всех последующих чисел. Представим себе, что мы считаем какие-нибудь предметы и при этом произносим слова: один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять. В процессе этого счёта мы получили названия первых десяти чисел.
Продолжая считать дальше, мы говорим: одиннадцать, двенадцать, тринадцать, четырнадцать, пятнадцать, шестнадцать, семнадцать, восемнадцать, девятнадцать, двадцать.
Подумаем теперь о названиях этих десяти чисел. Прежде всего, когда мы называем эти числа вслух, то каждый раз слышим слово «дцать». Это есть не что иное, как несколько искажённое слово «десять». Значит, эти названия нужно понимать так: один на десять, два на десять, три на десять и т. д. «На десять» — значит, сверх десяти. В старых русских книгах, например в арифметике Л. Ф. Магницкого (напечатана в 1703 г.), так и писалось: «един на десять» и т. д. Может быть, естественнее было говорить «один и десять», но наши предки предпочли говорить «один на десять». Слово же «двадцать» обозначает два десятка.
Обратите внимание на то, что чисел у нас было пока двадцать, а совершенно различных названий только десять, потому что названия чисел второго десятка мы; составляли из названий чисел первого десятка и слова «дцать».
Будем считать дальше: двадцать один, двадцать два, двадцать три, двадцать четыре, двадцать пять, двадцать шесть, двадцать \семь, двадцать восемь, двадцать девять, тридцать.
Мы получили названия ещё десяти чисел. Эти названия возникли путём прибавления к слову «двадцать» названий чисел первого десятка, т. е. мы получили двадцать и один, двадцать и два и т. д. Последнее название тридцать обозначает три десятка.
Продолжая считать далее, мы получим названия чисел четвёртого десятка, затем пятого, шестого, седьмого, восьмого, девятого и десятого. Названия новых чисел будут возникать так же, как и в пределах третьего десятка; только в трёх случаях появятся новые слова. Это будут слова: сорок для обозначения четырёх десятков, девяносто для девяти десятков исто для десяти десятков (хотя в слове «девяносто» имеется уже знакомый корень).
Названия чисел, больших ста, составляются из слова «сто» и названий чисел первого и последующих десятков. Таким путём получаются наименования: сто один, сто два, ..., сто девять, сто десять, сто одиннадцать, ..., сто двадцать и т. д. Отсчитав новую сотню, мы будем иметь две сотни, которые сокращённо называются «двести». Для получения чисел, больших двухсот, мы снова воспользуемся названиями чисел первого и последующих десятков, которые будем присоединять к слову «двести». Затем мы будем отсчитывать последующие сотни и после каждой новой сотни будем получать особое название: триста, четыреста, пятьсот и т. д. до тех пор, пока отсчитаем десять сотен, которые носят особое название — тысяча.
Счёт за пределами тысячи ведётся так: прибавляя к тысяче по единице (тысяча один, тысяча два и т. д.), получим две тысячи, три тысячи, четыре тысячи и т. д. Когда же мы отсчитаем тысячу тысяч, то это число получит особое наименование миллион (от латинского millle - тысяча). Дальше мы будем считать миллионами до тех пор, поки дойдём до тысячи миллионов. Полученное новое число (тысяча миллионов) будет иметь особое название — биллион (латинская приставки bi означает удвоение). Биллион иначе называется миллиардом. Тысяча биллионов (миллиардов) называется триллионом. Чтобы не обременять память, мы ограничимся только этими наименованиями. Таким образом, для того чтобы назвать все числа от единицы до триллиона, потребовалось только 16 различных слов: один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять, сорок, сто, тысяча, миллион, биллион, триллион. Остальные названия чисел (до триллиона) получаются из этих основных/
§ 4. Письменная нумерация.
Для записи или для обозначения чисел существует десять особых знаков, называемых цифрами:
0; 1; 2; 3: 4; 5; 6; 7; 8; 9.
С помощью этих десяти цифр можно написать любое число. Это делается следующим образом. Первые девять чисел от единицы до девяти записываются указанными выше знаками: 1; 2;...; 9.
Следующие за девятью числа записываются при помощи тех же самых знаков и знака 0 (нуль), т. е. так: 10 (нуль показывает, что в этом числе нет единиц), 11, 12, 13 и т. д.
Обратим внимание на то, что для чисел от 11 до 20 название не совпадает с написанием; когда мы говорим «одиннадцать», то сначала произносим один, а потом десять, а пишем, наоборот, сначала десяток, а потом единицу.
Следующие за 20 числа пишутся так: 21; 22; 23 и т. д.
Заметим, что здесь нет разницы между названием и написанием чисел: как мы называем число, так его и пишем.
Дальнейшие числа от 30 до 100 будут записываться по образцу записи чисел от 20 до 30.
Значит, единицы числа пишутся на первом месте справа, а десятки — на втором месте, т. е. левее единиц.
Числа от ста до тысячи пишутся так: единицы — на первом месте справа, десятки — на втором и сотни — на третьем месте.
Нуль обозначает отсутствие либо единиц, либо десятков, либо сотен. Например, число сто два (102) не имеет десятков, на их месте стоит нуль; число триста двадцать (320) не имеет единиц, поэтому первое место справа занято нулём; число 1 000 имеет три нуля справа, т. е. нули занимают места единиц, десятков и сотен.,.
Числа, превосходящие тысячу, изображаются следующим образом. Пусть нужно написать число: тысяча двести тридцать четыре. Для его изображения требуется четыре цифры: на первом месте справа будет стоять цифра единиц, на втором месте будет цифра десятков, на третьем месте — цифра сотен и на четвёртом — цифра тысяч. Значит, заданное число будет иметь вид: 1 234.
Напишем теперь число: две тысячи сорок пять. Оно будет записано тоже четырьмя цифрами, но так как п нём не указано число сотен, то их место будет занято нулём: 2 045.
Так как тысячи мы тоже считаем десятками и сотнями, когда, например, говорим двадцать тысяч, триста тысяч, то легко понять, что, умея писать числа, состоящие из десятков и сотен, мы напишем и числа, состоящие из нескольких десятков и сотен тысяч. Напишем, например, числа: тридцать пять тысяч шестьсот семьдесят восемь и четыреста две тысячи пятьсот девять:
35 678; 402 509;
Во втором числе на месте десятков и десятков тысяч стоят нули.
Число «один» называется единицей первого разряда; десять единиц первого разряда, т. е. число «десять», называется единицей второго разряда; десять единиц второго разряда (десять десятков), т. е. число «сто», называется единицей третьего разряда. Так будет продолжаться и дальше, т. е. десять единиц какого-нибудь низшего разряда будут составлять одну единицу следующего за ним высшего разряда.
Указанные три первых разряда соединяют в одну группу и называют первым классом, или классом единиц. В первый класс входят: единицы, десятки и сотни.
Десять сотен образуют единицу четвёртого разряда—тысячу. Десять тысяч образуют единицу пятого разряда, а сто тысяч — единицу шестого разряда. К трём разрядам прибавилось ещё три новых разряда (четвёртый, пятый и шестой), которые образуют второй класс, именуемый классом тысяч. Во второй класс входят: единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч.
За вторым будет следовать третий класс — класс миллионов, состоящий тоже из трёх разрядов: седьмого, восьмого и девятого, т. е. из единиц миллионов, десятков миллионов и сотен миллионов, и т. д.
Мы рассказали, как называются числа и как они записываются. Несмотря на то что мы не могли рассмотреть каждое число от единицы до триллиона (для этого потребовалось бы очень много места и времени), всё же мы можем теперь назвать и написать любое число в этих границах. Это возможно потому, что путём рассмотрения некоторых немногих чисел мы установили общие правила называния и написания чисел. Совокупность правил служащих для наименования и обозначения чисел, называется системой счисления, или нумерацией.
В системе, которую мы изложили, особо важное значение имеет число 10, и поэтому наша система носит название десятичной системы счисления (нумерации).
Напишем число 285 468 с указанием возле каждой цифры места, занимаемого ею в этом числе:
Обратите внимание на то, что цифра 8 встречается в этом числе два раза. Она стоит на первом месте справа, т. е. занимает место единиц, и на пятом месте справа, т. е. занимает место десятков тысяч.
Таким образом, значение любой цифры зависит не только от того, сколько единиц в соответствующем ей числе, но и от того, какое место она занимает в записи числа. Поэтому десятичную систему счисления принято называть поместной или позиционной (заимствованное из латинского языка слово «позиция» означает положение).
Числа 1, 2, 3, 4, 5, б, 7, 8, ..., возникающие в процессе счёта, называются целыми числами, а совокупность этих чисел, расположенных в порядке их возрастания, называется натуральным рядом.
Наименьшим числом натурального ряда является единица, а наибольшего числа нет, так как, какое бы большое число мы ни взяли, увеличив его на единицу, получим новое число. Эту мысль можно выразить так: натуральный ряд чисел бесконечен.
Число, изображаемое одной цифрой, называется однозначным, например 9; число, изображаемое двумя цифрами, называется двузначным, например 23; число, изображаемое тремя цифрами, — трёхзначным, например 509, и т. д. Употребляется ещё термин многозначные числа.
§ 5. Абак и счёты.
Письменность в глубокой древности развита была слабо, а считать необходимо было каждому человеку, поэтому и приходилось употреблять для счёта камешки, бусы и другие предметы.
Со временем люди придумали очень простое, но весьма практичное приспособление, называемое а б а к о м. Абак применялся древними греками, римлянами и другими народами. Его устройство в разное время и в разных местах менялось, но основная мысль этого приспособления состояла в следующем. Это была доска с продольными желобками, в которых размещались первоначально камешки, а в более поздние времена — особые жетоны. На абаке крайний правый желобок служил для единиц, следующий — для десятков и т. д. Представим себе, что нужно было отложить число 65 043; тогда жетоны располагались в желобках следующим образом (рис. 1).
В столбце, помеченном на рисунке буквами Д—Т и предназначенном для десятков тысяч, размещено 6 жетонов; это значит, что в нашем числе б десятков тысяч. Следующий столбец направо, помеченный буквой Т (тысячи), содержит 5 жетонов, т. е. 5 тысяч. Столбец, помеченный буквой С (сотни), пустой, потому что в нашем числе нет сотен, а на их месте стоит нуль (0). В двух последних справа столбцах, как и следует ожидать, столько жетонов, сколько десятков и единиц в рассматриваемом числе.
Приспособления, подобные абаку, применялись и в нашей стране нашими предками-славянами. Самые древние из этих приспособлений по своему виду напоминали абак. Более поздним и усовершенствованным прибором был другой, состоявший из верёвочек с нанизанными на них костяшками. Этот прибор, по-видимому, и является предком современных счётов, которые до сих пор широко распространены и с успехом применяются во всех денежных и иных расчётах.
Счёты представляют собой деревянную четырёхугольную раму с поперечными проволоками, по которым перемещаются круглые косточки. На каждой проволоке — 10 косточек (рис. 2).
На первой проволоке снизу откладываются единицы, на второй— десятки, на третьей — сотни, на четвёртой — тысячи и т. д.
Если на счётах ничего не положено, то все косточки должны быть сдвинуты вправо. Допустим, что нам нужно отложить на счётах число 704 832; тогда на шестой проволоке откладывают плево 7 косточек (т. е. семь сотен тысяч); на пятой проволоке ничего не откладывают, так как в данном числе нет десятков тысяч; на четвёртой проволоке откладывают 4 косточки (т. е. четыре тысячи), на третьей проволоке откладывают 8 косточек, на второй — 3 и на первой проволоке — 2 косточки.
§ 6. Римские цифры.
Десятичная система нумерации, о которой мы говорили в четвёртом параграфе, возникла в Индии. Впоследствии её стали называть «арабской», потому что она была перенесена в Европу арабами. Цифры, которыми мы теперь пользуемся, тоже называются арабскими.
Кроме этих цифр, в разное время существовали другие цифры, в настоящее время почти совершенно забытые. Однако до сих пор мы иногда встречаемся с римскими цифрами, например на циферблатах часов, в книгах для обозначения глав или частей, на деловых бумагах для обозначения месяцев и т. д.
Римские цифры имеют следующий вид:
I — один L — пятьдесят
V — пять С — сто
X — десять D — пятьсот
М — тысяча.
Как же пишутся числа с помощью этих цифр? Числа первого десятка пишутся так:
I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Некоторые цифры пишутся путём повторения другой цифры, например: III (три), XXX (тридцать).
Если меньшая цифра стоит после большей, то она складывается с большей (VIII—8, т. е. 5 + 3 = 8).
Если меньшая цифра стоит перед большей, то она вычитается из большей (IV — 4, т. е. 5— 1 = 4; в этом случае меньшая цифра не может повторяться несколько раз).
Примеры. LXX = 70; СХ = 110; ХС = 90.
§ 7. Меры длины.
Научившись считать окружающие предметы, человек получил возможность сравнивать различные совокупности их. Например, если в одном стаде 20 коров, а в другом 17, то очевидно, что первое стадо больше второго. Таким образом, сосчитав предметы различных совокупностей, мы можем их сравнить, т. е. дать ответ на вопрос, какая совокупность большей какая меньше. Постепенно люди научились решать более трудные вопросы. Например, человек живёт в определённом месте и замечает, что от его жилища до леса несколько дальше, чем до реки. Но как сравнить эти расстояния? Что здесь надо считать? В этом случае нужно выбрать какую-нибудь единицу измерения и измерить ею оба указанных расстояния. Значит, в этом случае нужно сосчитать число единиц измерения. Какое из двух чисел окажется больше, тому будет соответствовать и большее расстояние.
Откуда взять единицу измерения? В отдалённые времена люди пользовались для этой цели, например, своими шагами, длиной руки, расстоянием между концами раздвинутых большого и указательного пальцев руки и т. п.
Однако, когда люди живут в коллективе, им необходимо иметь одинаковые и более точные единицы измерения, иначе они перестанут понимать друг друга. Поэтому уже давно возникла потребность пользоваться одной единицей измерения, сначала внутри своей общины, а потом уже в пределах страны. С развитием производства и торговли появилась необходимость в международных единицах измерения.
В настоящее время почти во всех странах мира введены метрические меры, которые были созданы в конце XVIII века во Франции. Создатели этих мер стремились найти такую единицу измерения длины, которая была бы взята из природы, т. е. представляла бы собой длину какого-нибудь расстояния существующего на Земле. Такая единица всегда может быть восстановлена с помощью повторных измерений.
Творцы метрических мер измерили длину земного меридиана и приняли за единицу длины отрезок, который содержится в четверти меридиана 10 000 000 раз. Эта длина и была названа метром, что в переводе с греческого языка означает «мера». Позднейшие измерения показали, что первоначальные измерения были недостаточно точными и что образец метра только приблизительно равен одной десятимиллиоиной части четверти меридиана. Однако так как ошибка была ничтожна, то первоначальный образец метра был сохранён. Метры, которыми сейчас пользуются, являются копиями того образца, какой был изготовлен в конце XVIII века во Франции и положен на хранение в Международное бюро мер и весов в Севре, близ Парижа.
У нас в СССР метрические меры введены во всеобщее употребление в 1918 году.
Наряду с метром существуют единицы измерения, большие метра и меньшие его.
Для образования названий единиц, больших метра, употребляются приставки греческого происхождения: дека (десять), гекто (сто), кило (тысяча), а для образования названий единиц, меньших метра, — приставки латинского происхождения: деци (в смысле одна десятая), санти (одна сотая), милли (одна тысячная). Таким образом, получается следующая таблица метрических мер длины:
километр (км) = 10 гектометрам = 1 000 метрам,
гектометр (гм) = 10 декаметрам = 100 метрам,
декаметр (дкм) = 10 метрам.
метр (м) = 10 дециметрам = 100 сантиметрам,
дециметр (дм) = 10 сантиметрам,
сантиметр (см) = 10 миллиметрам (мм).
§ 8. Меры веса.
Меры веса до конца XVIII века были в разных странах различны. Одновременно с введением метрических мер длины были созданы и метрические меры веса. Важнейших единиц измерения веса две: грамм и килограмм.
Почему были выбраны именно эти единицы измерения и как они были установлены, будет сказано позже . Меры веса, меньшие грамма, носят следующие названия: дециграмм, сантиграмм и миллиграмм. Они связаны с граммом следующим образом:
1 грамм (г) = 10 дециграммам,
1 дециграмм = 10 сантиграммам,
1 сантиграмм =10 миллиграммам.
Меры веса, большие грамма, носят следующие названия:
1 килограмм (кг) = 1 000 граммам,
1 центнер (ц) = 100 килограммам,
1 тонна (т) = 1 000 килограммам.
§ 9. Округление чисел.
Мы научились называть и писать числа. С помощью этих чисел мы будем выражать количество предметов всевозможных совокупностей и результаты измерения различных величин. Этими числами мы будем пользоваться при решении самых разнообразных задач. Приведём несколько примеров с числовыми данными.
1. Семья школьника Степанова состоит из 5 человек.
2. Расстояние от Москвы до Киева 860 км.
3. В городе N живет 87 000 человек.
К длимым числам мы должны отнестись по-разному. Когда мы говорим, что в семье Степанова 5 человек, то это число точно , выражает состав указанной семьи.
Когда же мы говорим, что от Москвы до Киева 860 км, то это число нельзя признать столь же точным, как число членов семьи, потому что измерение такого большого расстояния не может быть выполнено точно. Поэтому, когда мы читаем, что расстояние от Москвы до Киева 860 км, то это значит, что оно близко к этому числу: оно может быть немного больше 860 км или немного меньше, а в справочниках печатают «округлённое» число 860 км.
Указанное в 3-м примере число 87 000 обозначает население города N. Число жителей большого города не может быть постоянным даже в течение одного дня, так как люди ежедневно прибывают и убывают. Значит, подобные числа необходимо «округлять», и нет сомнения в том, что число 87 000 является округлённым, в нём мы видим только число тысяч, а сотни, десятки и единицы не указаны и их места заняты нулями.
При решении задач и при выполнении различных вычислений приходится округлять многие числа. Округление выполняется следующим образом.
Возьмём два числа: 38 246 и 27 958. Пусть каждое из этих чисел нужно округлить, сохранив в них тысячи. Начнём с первого числа. Сколько в нём тысяч? — 38 тысяч. Кроме тысяч, в нём имеется ещё 246 единиц, которые не могут составить ни одной тысячи. Чтобы округлить это число до тысяч, в нём сохраняют только тысячи, остальные цифры отбрасывают и их места заполняют нулями (38 000).
Когда же мы станем округлять до тысяч второе число, то с ним придётся поступить иначе. В числе 27 958 содержится 27 тысяч, да сверх того 958 единиц. Эти единицы составляют почти целую тысячу. Поэтому при округлении таких чисел лучше взять не 27, а 28 тысяч. Места сотен, десятков и единиц и в этом случае следует заполнить нулями (28 000).
Отсюда получаем следующее правило округления чисел: если при округлении первая (слева) отбрасываемая цифра меньше 5, то последнюю сохраняемую цифру не изменяют; если первая отбрасываемая цифра больше 5 или равна 5, с последующими отличными от нуля цифрами, то последнюю сохраняемую цифру увеличивают на единицу; наконец, если отбрасывается единственная цифра, равная 5, то последняя цифра не изменяется, когда она чётная, и увеличивается на 1, когда она нечётная.
Примеры. а) Округлить до тысяч 32 176. Здесь первая из отбрасываемых цифр 1 (счёт цифр ведётся слева направо). Следовательно, округлённое число будет иметь вид: 32 000.
б) Округлить до сотен 32 176. Первая из отбрасываемых цифр 7. Значит, округлённое число будет иметь вид: 32 200.
|