|
Часть первая ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА. Глава вторая. Арифметические действия. § 10. Понятие об арифметическом действии. Сложение. § 11. Понятие о сложении Вычитание. § 18. Понятие о вычитании У м н о ж е н и е. § 26. Понятие об умножении Деление. § 34. Понятие о делении § 10. Понятие об арифметическом действии. Рассмотрим задачу: «Ученик купил 20 тетрадей в клетку и 10 тетрадей в линейку. Сколько он купил всего тех и других тетрадей?» Чтобы ответить на этот вопрос, нужно взять число тетрадей в клетку, т. е. 20, и число тетрадей в линейку, т. е. 10, и из этих чисел составить новое число, которое и покажет нам, сколько он всего купил тетрадей. Рассмотрим другую задачу: «В прошлом году для буфета купили 24 стакана. За истекшее с тех пор время разбилось 5 стаканов. Сколько стаканов осталось?» Этот случай отличается от предыдущего не только тем, что здесь речь идёт о других предметах, но ещё и тем, что здесь говорится об убыли, о потере нескольких ранее существовавших предметов. Здесь нас интересует число оставшихся предметов. И в этом случае из двух данных чисел 24 и 5 нужно составить новое число, которое и даст нам этот остаток. В рассмотренных примерах нам указывались или, как принято говорить, давались два числа и нужно было, зная эти (данные) числа, найти новое число. Если по двум данным числам требуется найти новое число, то говорят, что над числами нужно выполнить арифметическое действие. Значит, арифметическим действием называется нахождение по двум данным числам третьего числа. Найденное число называется результатом этого действия. На следующих страницах мы будем последовательно изучать четыре арифметических действия: сложение, вычитание, умножение и деление. СЛОЖЕНИЕ Рассмотрим задачу: «Я купил несколько штук яблок. В магазине эти яблоки были уложены в два пакета. Придя домой, я выложил яблоки на тарелку и обнаружил, что в первом пакете было 9 яблок, а во втором 6. Сколько всего яблок я принёс домой?» Чтобы ответить на этот вопрос, надо при перекладывании яблок одновременно их пересчитать, например, выкладывая яблоки из первого пакета, говорить: одно, два, три и т. д. до девяти, а затем, вынимая яблоки из второго пакета, продолжать: десять, одиннадцать, двенадцать, тринадцать, четырнадцать, пятнадцать. Значит, всего 15 яблок. Рассмотрим ещё одну задачу: «Учитель собирает контрольные работы по арифметике. В классе два ряда парт, в первом ряду он собрал 14 тетрадей, а во втором ряду — 13. Сколько всего тетрадей с контрольными работами собрал учитель?» И в этом случае, перечисляя тетради, мы к числу тетрадей первой пачки прибавим число тетрадей второй и получим общее число всех тетрадей, т. е. 27. Действие над двумя числами, которое мы выполнили в задачах, называется сложением. Следовательно, при сложении два числа соединяются в одно число, содержащее в себе все единицы, входившие в данные числа. Числа, которые нужно сложить, называются слагаемыми, а результат сложения, т. е. число, получающееся от сложения, называется суммой. Сложение представляет собой действие, которое всегда выполнимо, т. е. какие бы числа мы ни взяли в качестве слагаемых, всегда можно найти их сумму. Результат сложения выражается всегда определённым единственным числом. Замечание. Прибавление к числу нуля не изменяет этого числа, так как нуль указывает на отсутствие единиц. Поэтому: 10 + 0 = 10, 0 + 10 = 10, 0+0=0. При сложении чисел мы будем опираться на два закона: переместительный и сочетательный. 1. Переместительный закон. Возьмём два числа, например 3 и 5. Будем искать их сумму. Для этого мы можем взять число 3 и последовательно присчитать к нему все единицы числа 5. Получим число 8. Но мы могли бы сначала взять число 5 и присчитать к нему все единицы числа 3. Мы снова получили бы 8. Значит, мы можем сказать, что если 3 + 5 = 8, то и 5 + 3 = 8. И, наконец, можем написать: 3 + 5 = 5 + 3 = 8. Это свойство и называется переместительным законом сложения. Словами его можно выразить так: сумма не изменяется от перемены мест слагаемых. Законы действий, свойства действий и различные правила, с которыми мы встретимся в будущем, очень удобно записывать, обозначая числа буквами. Принято употреблять буквы латинского алфавита. Запишем переместительный закон при помощи букв или, как говорят, в общем виде. Для этого обозначим первое слагаемое буквой а и второе слагаемое буквой b, тогда переместительный закон можно будет написать в виде такого равенства: а + b = b + a. Эта запись на первых порах кажется малопонятной, но уже теперь можно оценить её значение. В самом деле такая запись показывает, что переместительный закон относится уже не только к каким-нибудь двум определённым числам, но вообще ко всяким другим числам. 2. Сочетательный закон. Возьмём сумму трёх чисел: 5 + 4 + 8 = 17. Эту сумму можно вычислить разными способами. Например, взять сумму двух первых чисел и прибавить к ней оставшееся третье число, т. е. 5 + 4 = 9; 9 + 8 = 17. С другой стороны, можно сначала найти сумму второго и третьего слагаемых и прибавить к ней первое число: 4 + 8 = 12; 5 + 12 = 17. Мы соединяли в группу по два слагаемых, находили их сумму и затем прибавляли к этой сумме третье слагаемое. В обоих случаях получался один и тот же окончательный результат. Следовательно, можно сделать такой вывод: сумма не изменится, если какую-нибудь группу рядом стоящих слагаемых мы заменим их суммой. Это и есть сочетательный закон сложения. Его название говорит о том, что слагаемые можно сочетать в группы. Сочетать — значит соединять. Мы разъяснили этот закон, выполняя два раза сложение различными способами. Можно было бы записать этот процесс и иначе. Для этого придётся употребить скобки ( ); тогда получится следующее: 5 + 4 + 8 = (5+4) + 8= 5 + (4+8) = 17. Принято говорить, что мы заключили в скобки 5 и 4, а также 4 и 8. Заключая в скобки какие-нибудь числа, мы тем самым выражаем мысль, что эти числа нужно сложить сначала. Когда мы пишем в, скобках 5 + 4, то это значит, что нужно сначала 5 сложить с 4, а потом прибавить 8; во вторых скобках сначала 4 складывается с 8, а затем прибавляется 5. Применим буквенное обозначение. Первое слагаемое обозначим буквой а, второе слагаемое — b и третье слагаемое — буквой с. Тогда можно написать: а + b + с = (а + b) + с = а + (b + с). Слагаемых можно было бы взять не три, а больше. § 13. Сложение однозначных чисел. Чтобы научиться складывать многозначные числа, надо сначала усвоить сложение однозначных чисел. Это необходимо потому, что при сложении многозначных чисел мы постоянно будем пользоваться своим умением складывать однозначные числа. Прежде всего необходимо составить таблицу сложения однозначных чисел. Нужно взять единицу (1) и последовательно прибавить к ней все однозначные числа от 1 до 9. После этого нужно взять двойку (2) и опять прибавить к ней все числа от 1 до 9, затем взять тройку, четвёрку и т. д. и прибавить к ним однозначные числа от 1 до 9. Последним числом, с которым придётся складывать однозначные числа, будет, конечно, число 9. Таким образом, в таблице получится 81 сумма. Эту таблицу вы изучали в начальной школе; её надо всегда помнить, чтобы каждый раз не пользоваться присчитыванием. Таблица сложения даёт возможность складывать не только единицы, но и десятки, сотни, тысячи и т. д. Пусть требуется сложить 10 и 10. Будем рассуждать так: один десяток да ещё один десяток составят два десятка. Запишем цифрами: 10 + 10 = 20. Точно так же, если требуется сложить 200 и 300, то мы сложим 2 и 3, а затем к сумме 5 припишем два нуля: 200 + 300 = 500. § 14. Письменное сложение многозначных чисел. 1. Сложим трёхзначные числа: 123 + 234. Разложим эти числа на разряды: 100 + 20 + 3 + 200 + 30 + 4. Теперь соберём в одну группу сотни, в другую — десятки и в третью — единицы: (100 + 200) + (20 + 30) + (3 + 4). Складывая сотни с сотнями, десятки с десятками и единицы с единицами, получим: 100 + 200 = 300, 20 + 30 = 50, 3 + 4 = 7. А складывая окончательно сотни, десятки и единицы, получим: 123 + 234 = 357. 2. Сложим ещё два трёхзначных числа: 126 + 348. Поступим так же, как и в предыдущем случае: 100 + 20 + 6 + 300 + 40+8, или (100 + 300) + (20 + 40) + (6 + 8). Сложим по разрядам: 100 + 300 = 400, 20 + 40 = 60, 6 + 8 = 14. Теперь остаётся только найти окончательную сумму. Мы поступим так: один десяток, получившийся от сложения единиц, прибавим к десяткам, которых у нас имеется 6, так как от сложения десятков получилось 60. Значит, нам нужно сложить: 400 + 60 + 10 + 4 = 474. Легко заметить, что при выполнении сложения мы опирались на переместительный и сочетательный законы и правила десятичной нумерации. ' На этих двух примерах мы показали, как выполняется сложение чисел. Необходимо помнить, что сложение двузначных, трёхзначных и вообще многозначных чисел выполняется по разрядам. Однако форма записи, которой мы пользовались, является неудобной, и мы перейдём к той форме записи, которой и принято пользоваться при сложении больших чисел во всех практических вычислениях. В этом случае записывают слагаемые одно под другим. Pассмотрим ряд примеров:
В примере «в» от сложения единиц получилось 12, т. е. один десяток и две единицы; две единицы мы подписали под единицами, а один десяток надписали над столбцом десятков и потом присчитали к десяткам. Можно этот десяток не надписывать, а держать в памяти. Проверка сложения. Сложение можно проверить сложением, для этого следует переставить слагаемые и снова их сложить. О другом способе проверки сложения будет сказано ниже. § 15. Прибавление суммы к числу и прибавление числа к сумме. 1. В практике вычислений часто требуется к одному числу прибавить сумму нескольких чисел. Пусть, например, требуется к числу 1 234 прибавить сумму таких чисел: 123 + 234 + 345, т. е. 702. Выполним это: 1 234 + 702 = 1 936. Однако можно к данному числу 1 234 последовательно прибавить отдельные слагаемые этой суммы, т. е. а) 1 234 + 123 = 1 357, б) 1 357 + 234 = 1 591, в) 1 591 + 345 = 1 936. Результат получился тот же самый. Чтобы прибавить к какому-нибудь числу сумму нескольких чисел, достаточно прибавить к этому числу первое слагаемое, к полученной сумме прибавить второе слагаемое и т. д. 2. Пусть требуется к имеющейся сумме чисел: 123 + 234+345 +456 + 567 + 789 = 2 514 прибавить число 6 543. Выполним это, т. е. прибавим к сумме 2 514 число 6 543: 2 514 + 6 543 = 9 057. Но можно было бы тот же результат найти иначе: число 6 543 можно прибавить к любому из данных чисел, а остальные числа без всякого изменения прибавить к полученной сумме двух чисел: а) 123 + 6 543 = 6 666. б) 6 666+(234+345+456+567+789) = 6 666+2 391 =9 057. Чтобы прибавить какое-нибудь число к сумме нескольких слагаемых, достаточно прибавить это число к какому-нибудь одному слагаемому, оставив другие без изменения. В предыдущих параграфах мы изложили всё, что относится к письменному сложению. Сделаем теперь несколько замечаний относительно устного сложения. При устном сложении мы будем опираться на те же самые правила и законы, на которых основано и письменное сложение. Но для устного выполнения действия нужно выработать навык быстрого и сознательного применения этих законов к данным числам в уме, а не на бумаге. Очевидно, что многозначные числа в уме складывать трудно и поэтому их приходится записывать. Сложение однозначных чисел нужно знать наизусть (помнить). В этом случае не делается ни устных, ни письменных вычислений. Сложение двузначных чисел рекомендуется выполнять в уме. В уме же можно иногда выполнять сложение и трёхзначных чисел. 1. Сложим 20 и 34. Будем рассуждать так: представим второе слагаемое как сумму 30 + 4 и выполним сложение следующим образом: (20 + 30) + 4, т.е. 20 + 30 = 50, затем 50 + 4 = 54. 2. Сложим 42 и 56. Представим каждое слагаемое как сумму десятков и единиц (40 + 2 и 50 + 6). Будем складывать 40 и 50, получим 90; затем 2 и 6, получим 8 и, наконец, сложив 90 и 8, получим 98. 3. Сложим ещё 78 и 24. Сделаем немного короче, чем прежде. Не изменяя первого слагаемого, представим второе как сумму 20 и 4. Тогда можно сначала к 78 прибавить 20, получим 98, а затем к 98 ещё прибавить 4. Всего будет 102. 4. 574 + 325 = 500 + 300 + 74 + 25 = 899. 5. Сложим 48 и 35. Округлим первое слагаемое до 50, а потом от полученной суммы отнимем 2, т. е. 48 + 35 = 50 + 35 — 2 = 85 — 2 = 83. Этот прием называется приёмом округления. 6. При устном сложении нескольких чисел часто полезно опираться на переместительный закон сложения. Пусть требуется сложить три числа: 23 + 59 + 17. Чтобы скорее сложить эти числа, следует переставить слагаемые так: 23 + 17 + 59. Тогда первые два слагаемых сразу дают в сумме 40 и остаётся выполнить одно сложение: 40 + 59 = 99. Перестановка слагаемых делается, конечно, в уме. Общий приём устного сложения состоит в том, что разбивают слагаемые на разряды и выполняют сложение, начиная с высших разрядов. § 17. Простейшие случаи сложения на счётах. Сложение чисел удобно выполнять на счётах. Покажем простейшие случаи сложения, а в будущем рассмотрим и все остальные случаи. 1. Сложить 23 и 32. Первое слагаемое (23) откладывается так: на второй проволоке откладываем 2 косточки (два десятка) и на первой проволоке откладываем 3 косточки (три единицы). Второе слагаемое откладываем подобным же образом: на второй проволоке — 3 косточки и на первой — 2 косточки. В левой стороне счётов у нас получилось: на второй проволоке 5 косточек (5 десятков) и на первой проволоке тоже 5 косточек (5 единиц). Значит, искомая сумма будет 55, т. е. 23 + 32 = 55. 2. Сложить 135 и 252. Будем объяснять короче. Первое слагаемое: на третьей проволоке откладываем 1 косточку, на второй — 3 косточки, на первой — 5 косточек. Второе слагаемое: на третьей проволоке откладываем 2 косточки, на второй — 5 косточек, на первой — 2 косточки. Итог: 387, т. е. 135 + 252 = 387. 3. Сложить 52 314 и 5 362. Первое слагаемое: на пятой проволоке откладываем 5 косточек, на четвёртой — 2, на третьей — 3, на второй — 1, на первой — 4. Второе слагаемое: на четвёртой проволоке откладываем 5 косточек, на третьей — 3, на второй — 6 и на первой — 2. Итог: 57 676, т. е. 52 314 + 5 362 = 57 676. ВЫЧИТАНИЕ. Рассмотрим задачу: «Стекольщик остеклил рамы нового дома. В первый день он остеклил 9 рам, а во второй день — остальные 6 рам. Сколько рам он остеклил в течение двух дней?» « Эта задача решается посредством сложения: 9 + 6 =15. Здесь были даны два cлагаемых-9 и 6 и по ним вычислена их сумма 15. Теперь изменим нашу задачу следующим образом: стекольщик, который получил заказ остеклить рамы в новом доме, прежде всего поинтересовался, сколько рам, и выяснил, что их 15; таким образом, сумма была известна ему заранее. Далее, когда он в первый день остеклил 9 рам, перед ним возник вопрос: сколько рам ему остаётся сделать завтра? В этом случае ему не надо делать сложение, не надо искать сумму, так как он её знает, ему нужно найти остаток, а остаток находится другим действием, которое состоит в том, чтобы от данной суммы отсчитать известное слагаемое. Рассмотрим ещё одну задачу: «Уезжая на юг в отпуск, я взял с собой 20 почтовых конвертов. С юга я отослал 12 писем родным и знакомым. Сколько у меня осталось неиспользованных конвертов?» Нетрудно от общего числа конвертов (20) мысленно отделить число израсходованных (12) и получить остаток, т. е. число конвертов, оставшихся неиспользованными (8). И в этой задаче было дано общее число предметов — их сумма (20), указано одно слагаемое, т. е. число израсходованных предметов (12), а требовалось найти число оставшихся предметов, или второе слагаемое (8), т. е. 20 — 12 == 8. Подобные задачи решаются вычитанием. Следовательно, вычитанием называется действие, посредством которого по данной сумме и одному данному слагаемому отыскивается другое слагаемое. Во второй задаче из числа 20 нужно было вычесть число 12. Число 8, которое получится в результате этого действия, и будет ответом на вопрос задачи. Число, из которого вычитают, называется уменьшаемым. Число, которое вычитают, называется вычитаемым. Число, которое получается в результате действия, называется разностью. Вычитание представляет собой действие, которое возможно в тех случаях, когда вычитаемое не больше уменьшаемого. Если сравнить вычитание со сложением, то получится cледующий вывод: при сложении даются слагаемые (например,10 + 5), а ищется сумма (15), при вычитании же даётся сумма и одно из слагаемых (15 и, например, 10), а ищется второе слагаемое (5). Таким образом, число, которое при сложении является искомым, при вычитании оказывается данным, и наоборот. Поэтому вычитание называют действием, обратным сложению. Замечания. 1. Вычитание нуля из числа не изменяет этого числа, т. е. 5 — 0 = 5. 2. Если уменьшаемое равно вычитаемому, то разность равна нулю, например 10 — 10 =0. § 19. Основные свойства вычитания. Первое свойство. Рассмотрим такой пример. Если от числа 11 надо отнять сумму двух чисел: 2 и 3, то можно поступить двумя способами. 1) Сначала найти эту сумму (2 + 3 = 5), а потом вычесть её из 11, т. е. сделать так: 11 — (2 + 3) = 11 — 5 = 6. 2) Но можно поступить иначе. Не находить сумму 2 и 3, а сделать последовательно два вычитания, т. е. сначала вычесть из одиннадцати 2, а из полученного результата вычесть 3, т. е. 11 — (2 + 3) = 11 — 2 — 3 = 9 — 3 = 6. Вывод. Чтобы вычесть сумму из числа, достаточно вычесть из этого числа первое слагаемое, из полученной разности — второе слагаемое и т. д. Это и есть первое свойство вычитания. Обозначим уменьшаемое буквой а, отдельные слагаемые вычитаемой суммы буквами b и с; тогда первое свойство можно будет записать так: а — (b + с) = а — b — с. Второе свойство. Рассмотрим такой пример. Если из суммы 10 + 5 нужно вычесть 4, то можно поступить двумя способами. 1) Сначала найти эту сумму и потом вычесть из неё 4, т. е. 10 + 5 = 15; 15 — 4 = 11. 2) Или поступить так: вычесть 4 из какого-нибудь слагаемого, оставляя другое без изменения: (10 + 5) — 4 = (10 — 4) + 5 = 10 + (5 — 4) = 11. В этом и состоит второе свойство вычитания, которое словами можно высказать так: чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из какого-нибудь одного слагаемого (предполагается, что слагаемое больше вычитаемого). Запишем теперь это свойство с помощью букв: (a + b) — с = (а — с) + b = а + ( b — с). § 20. Вычитание однозначных чисел. Для того чтобы научиться выполнять вычитание многозначных чисел, нужно сначала усвоить вычитание однозначных чисел из однозначных или двузначных, когда разностью является однозначное число. Это можно сделать так. Сначала будем заниматься вычитанием единицы, потом вычитанием двойки, затем — тройки и т. д. У нас получится таблица вычитания, которая возникает из таблицы сложения, только здесь на первом месте стоит сумма, из неё вычитается одно слагаемое, а после знака равенства будет второе слагаемое. Эту таблицу надо знать наизусть. Пользуясь этой таблицей, мы можем не только вычитать однозначные числа и получать однозначную разность, но выполнять вычитание единиц высших разрядов, т. е. десятков, сотен и т. д. В самом деле, вычтем из 5 десятков 2 десятка, получим 3 десятка. Это можно записать цифрами: 50 — 20 = 30. § 21. Письменное вычитание многозначных чисел. 1. Возьмём для вычитания трёхзначные числа: 654 — 123 и, представив их как суммы разрядов: (600 + 50 + 4) — (100 + 20 + 3), будем вычитать по разрядам: (600 — 100) + (50 — 20) + (4 — 3) = 500 + 30 + 1 = 531. Или в столбик:
2. Теперь рассмотрим случай более трудный: 782 — 437. Трудность его состоит в том, что уменьшаемое содержит 2 единицы, а вычитаемое 7 и, следовательно, из единиц уменьшаемого нельзя вычесть единиц вычитаемого. В таком случае поступают следующим образом: берут, или, как говорят, «занимают», у 8 десятков один десяток, в нём содержится 10 единиц; если к ним присоединить 2 имеющиеся у нас единицы, то получим всего 12 единиц. Вычитая из 12 единиц 7, получим 5 единиц. Теперь остаётся вычесть десятки. У нас в уменьшаемом осталось 7 десятков, потому что один десяток мы раздробили в единицы. Значит, от 7 десятков нужно отнять 3, получим 4 десятка. Запишем это:
Над цифрой 8 поставлена точка, которая должна напоминать о том, что от этого числа мы «занимали» единицу. (Эту точку можно не ставить.) Остаётся из 7 сотен вычесть 4 сотни. Ответ. Разность равна 345. Проверка сложением. Вычитание можно проверить сложением на том основании, что уменьшаемое является суммой, а вычитаемое и разность — слагаемыми. Поэтому для проверки вычитания следует сложить вычитаемое с разностью. Если результат будет равен уменьшаемому, то весьма возможно, что действие сделано правильно. Пример. Проверка.
Проверка вычитанием. Так как уменьшаемое является суммой, а вычитаемое и разность — слагаемыми и, кроме того, от перестановки слагаемых сумма не меняется, то в целях проверки можно из уменьшаемого вычесть разность. Если после этого получится вычитаемое, то весьма возможно, что вычитание сделано правильно. Пример. Проверка.
§ 23. Прибавление и вычитание разности. В практике вычислений бывают такие случаи, когда сложение и вычитание встречаются вместе. Рассмотрим эти случаи. 1. Пусть требуется к числу прибавить разность, например: к числу 123 прибавить разность чисел 78 и 56, т. е. 22. Выполним это действие: 123 + 22 =145. Однако можно было бы сначала к числу 123 прибавить уменьшаемое, а затем отнять вычитаемое, и результат получился бы тот же самый: а) 123 + 78 = 201; б) 201 — 56 = 145. Чтобы прибавить разность к числу, достаточно прибавите к нему уменьшаемое и из полученной суммы вычесть вычитаемое. В общем виде это можно записать так: а + (b — с) = а + b — с. 2. Пусть требуется из числа вычесть разность, например: из 234 вычесть разность чисел 98 и 35, т. е. 63. Сначала вычтем эту разность из числа 234: 234 — 63 = 171. Теперь поступим иначе: сначала от 234 отнимем 98 и к полученному результату прибавим 35: а) 234 — 98 = 136; б) 136 + 35 = 171. Почему это сделано? Мы должны были из 234 вычесть не 98, а 98 без 35. Когда мы сначала из числа 234 вычли 98, то оказалось, что мы вычли больше, чем следует, на 35 единиц. Значит, наш результат оказался на 35 единиц меньше, чем нужно. Чтобы восполнить этот недостаток, мы и прибавили к результату 35 единиц. Чтобы вычесть разность из числа, достаточно вычесть из него уменьшаемое (если это возможно) и к полученной разности прибавить вычитаемое. В общем виде это можно записать так: а — (b — с) = а — b + с. Рассмотрим несколько примеров устного вычитания. 1. Из 69 вычесть 45. Представим 45 как сумму 40 и 5; тогда можно будет написать: 69 — (40 + 5). Отнимая сначала от 69 число 40, получим 29; отнимая затем от 29 ещё 5, получим окончательный результат 24. Значит, 69 — 45 = 24. Таким образом, мы начинали вычитание с высших разрядов. 2. Рассмотрим более сложный пример. Из 75 вычесть 47. Выполним вычитание следующим образом: 75 — 50 + 3 = 25 + 3 = 28. Сначала, округлив 47 до 50, мы вычли из 75 лишних 3 единицы, а потом мы их прибавили. 3. Рассмотрим теперь такой случай вычитания. Пусть нужна от 100 отнять 86. Рассуждаем так: ближайшее следующее круглое число к 86 есть 90, разница между ними 4, а от 90 до 100 ещё недостаёт 10. Значит, разность между 100 и 86 будет 4 + 10 = 14. Мы сделали вычитание по способу дополнения. 4. Рассмотрим пример, при решении которого мы будем опираться на второе свойство вычитания (§ 19). Пусть нужно вычесть 26 из 114. Выделим в уменьшаемом сотню, т. е. представим этот пример так: (100 + 14) — 26. Вычтем 26 из 100, получим 74, а затем прибавим к 74 число 14, получим окончательно 88, 114—26 = 88. 5. Рассмотрим пример на сложение, при решении которого приходится пользоваться вычитанием: 34 + 47. Представим 47 как разность 50 — 3, тогда у нас получится: 34 + 50 — 3 = 84 — 3 = 81. Этим приёмом обычно пользуются в тех случаях, когда приходится прибавлять число, оканчивающееся на 6; 7; 8 или 9. Например: 367 + 198 = 367 + 200 — 2 = 567 — 2 = 565. § 25. Сложение и вычитание на счётах. В § 17 были показаны простейшие случаи сложения на счётах. Перейдём к более сложным случаям. 1. Сложить 156 и 278. Откладываем на третьей, второй и первой проволоках слагаемое 156. Затем на третьей проволоке откладываем 2 сотни второго слагаемого. Отложить 7 десятков на второй проволоке мы не можем; тогда мы откладываем на третьей проволоке ещё одну сотню и сбрасываем со второй проволоки 3 десятка. Теперь переходим к единицам. Отложить на первой проволоке 8 единиц второго слагаемого мы не можем, тогда мы откладываем на второй проволоке один десяток и сбрасываем с первой проволоки 2 единицы. Получаем сумму 434, значит, 156 + 278 = 434. 2. Сложить 2 536 и 5 829. Отложив первое слагаемое, постепенно отложим, руководствуясь сделанными выше указаниями, второе слагаемое. Получим 8 365. Переходим к вычитанию. 1. Вычесть 1 234 из 9 876. Откладываем уменьшаемое 9 876 и последовательно сбрасываем с четвёртой, третьей, второй и первой проволок 1, 2, 3 и 4 косточки. Получаем: 9 876 — 1 234 = 8 642. 2. Вычесть 734 из 2 568. Откладываем уменьшаемое 2 568 и начинаем отнимать вычитаемое. Мы не можем с третьей проволоки сбросить 7 сотен; поэтому мы с четвёртой проволоки сбрасываем 1 тысячу, а на третьей проволоке прибавляем 3 сотни. Со второй проволоки сбрасываем 3 косточки и с первой 4. Получаем: 2 568 — 734 = 1 834. УМНОЖЕНИЕ. Рассмотрим такой случай сложения: 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3+ 3 + 3 = 30. Здесь 10 слагаемых, и все они одинаковы. Запись их занимает почти целую строку. А если бы слагаемых было больше 10, то пришлось бы занять несколько строк. Кроме того, складывать много слагаемых — дело утомительное, и при этом легко допустить ошибку. Если бы, например, пришлось число 456 сложить 123 раза, то это сложение продолжалось бы довольно долго. Такое сложение можно облегчить и упростить. Это делается так: сначала пишется один раз число, которое следует складывать с самим собой, а потом пишется число, показывающее, сколько должно быть слагаемых; между ними ставится косой крест. Например, если число 3 нужно повторить слагаемым 10 раз, то пишут: 3 х 10 = 30. Мы получили особое действие над числами, которое называется умножением. Следовательно, умножением называется действие, состоящее в нахождении суммы одинаковых слагаемых. Можно сказать иначе: умножить одно число (3) на другое (10)— это значит повторить первое число слагаемым столько раз, сколько единиц во втором числе: Число, которое является слагаемым, называется множимым; число, которое указывает, сколько даётся таких одинаковых слагаемых, называется множителем. Результат действия, т. е. число, полученное при умножении, называется произведением. Множимое ,и множитель иногда называют одним словом сомножители. Вместо косого крестика, которым мы пользовались в качестве знака умножения, часто употребляется точка (•), которая ставится между множимым и множителем. Например, 7•5 = 35. Если вместо цифр при умножении пишут буквы, то знак умножения можно не ставить: а • b = ab. Действие умножения всегда возможно и при данных сомножителях даёт единственный результат. Замечания. 1. Если множимое равно единице (1), то произведение равно множителю (1 • 6 = 6; так как 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1=6). 2. Если множитель равен единице, то произведение принимается равным множимому (7 • 1 = 7). 3. Если множимое равно нулю (0), то произведение равно нулю (0 • 5 = 0, так как 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0). 4. Если множитель равен нулю (0), то произведение принимается равным нулю (5•0 = 0). В дальнейшем при умножении различных чисел мы будем опираться на три закона: переместительный, сочетательный и распределительный. 1. Переместительный закон. Возьмём два числа 3 и 4 и перемножим их. Перемножение этих чисел можно заменить сложением, т. е. 3 x 4 = 3 + 3 + 3 + 3=12. Здесь у нас число 3 было множимым, а 4 — множителем. Если мы их переставим, то получим 4 х 3 = 4 + 4 + 4= 12. Результат не изменился. Следовательно, при перемножении чисел мы можем изменять места сомножителей. В этом и состоит переместительный закон умножения, который можно высказать так: произведение не изменяется от перемены мест сомножителей. Переместительный закон можно выразить кратко с помощью букв. Если обозначим первый сомножитель буквой а, а второй сомножитель буквой b, то переместительный закон запишется в виде такого равенства: а • b = b • а Если сомножителей больше двух, например три, то переместительный закон остаётся в силе: аbс = bас = acb и т. д. 2. Сочетательный закон. Возьмём три числа: 3, 4 и 5 и перемножим их между собой. Сначала умножим первый сомножитель на второй (3 на 4), а потом полученное произведение умножим на третий сомножитель (на 5): 1)3 x 4= 12; 2) 12 x 5 = 60. С помощью скобок это можно записать так: 3 х 4 x 5 = (3 x 4) x 5 = 12 х 5 = 60. Значит, из трёх данных нам сомножителей мы сначала выделили группу, содержащую два сомножителя, нашли их произведение и умножили его на третий сомножитель. Однако совершенно очевидно, что мы могли взять не эту пару чисел, а другую. Например, мы можем сначала умножить второй сомножитель на третий (4x5) и на полученное произведение умножить первый сомножитель (3). С помощью скобок это можно записать так: 3 x 4 x 5 = 3 x (4 x 5) = 3 x 20 = 60. Результат получился тот же самый, но группировка сомножителей была иная: сначала мы соединили в группу первый сомножитель со вторым, а потом — второй с третьим. В этом и состоит второй закон умножения, который можно выразить так: произведение не изменится, если какую-нибудь группу рядом стоящих сомножителей мы заменим их произведением. Этот закон называется сочетательным. Его название должно напоминать нам о том, что при умножении нескольких чисел сомножители можно соединять (сочетать) в группы. В общем виде этот закон можно записать так: аbс = (ab)c = а(bс). 3. Распределительный закон. Возьмём сумму двух чисел 12 и 6 и умножим её на 3. Это можно записать так: (12 + 6) x 3 = 18 x 3 = 54. Здесь мы сначала сложили числа, стоящие в скобках, получили 12 + 6 = 18; затем сумму умножили на 3; получили 18 x 3 = 54. Но можно поступить иначе, а именно: сначала умножить на 3 первое слагаемое, затем второе и сложить эти произведения: 12 x 3 = 36; 6x3= 18; 36 + 18 = 54. Второй способ можно кратко записать так: 12 x 3 + 6 x 3 = 54. Так как в обоих случаях получился один и тот же результат, то можно написать равенство: (12 +6) x 3 = 12 x 3 +6 x 3. В этом и состоит распределительный закон умножения, который можно высказать так: произведение суммы нескольких чисел на какое-нибудь число равно сумме произведений каждого слагаемого на это число. Запишем его в общем виде для случая трёх слагаемых: (а + b + c)d = ad + bd + cd. 4. Умножение разности на число. Изложенное нами свойство распределительности относится не только к сложению, но и к вычитанию. Пусть требуется разность чисел 54 и 38, т. е. 16 умножить на число 18: 16 x 18 = 288. Сделаем вычисления иным путём: а) 54 x 18 = 972; б) 38 x 18 = 684; в) 972 — 684 = 288. Чтобы умножить разность на число, достаточно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое и затем из первого произведения вычесть второе. В общем виде это можно записать так: (а — b)с = ас — bc. § 28. Умножение однозначных чисел. Необходимо составить таблицу умножения всех однозначных чисел на однозначные, выучить её наизусть и каждый раз пользоваться ею, когда в этом представляется надобность. Значит произведения всех однозначных чисел на однозначные содержатся в таблице умножения. Таблица умножения даёт возможность перемножать и многозначные числа, оканчивающиеся нулями, т. е. 10, 20, 30, ...; 100, 200, 300, ...; 1 000, 2 000, 3 000 и т. д., на любые однозначные числа. Умножим 10 на 3. Для этого заменим умножение сложением: 10 x 3 = 10 + 10 + 10 = 30. В результате у нас получилось 3 десятка. Так же можно найти и другие произведения, например: 20 x 4 = 80; 30 x 5 = 150; 400 х 4 = 1 600. § 29. Письменное умножение многозначных чисел. Рассмотрим различные случаи умножения многозначных чисел. 1. Умножение многозначного числа на однозначное. Например: 236 x 4. Пользуясь распределительным законом умножения, мы можем представить 236 как сумму трёх слагаемых (200 +30 +6), умножить отдельно сотни, десятки и единицы на 4 и полученные произведения сложить: (200 +30+6) x 4 = 200 х 4 + 30 х 4 + 6 x 4 = 800 + 120 + 24 = 944. Однако такая запись умножения занимает много места. Поэтому принято начинать умножение с низших разрядов, а промежуточные вычисления выполнять в уме: 236 x 4 = 944. При этом нужно рассуждать следующим образом. Начинаем умножение с единиц и говорим: 4 х 6 = 24; число 4 пишем, а 2 десятка запоминаем, чтобы потом прибавить их к произведению десятков; 3 десятка умножаем на 4, будет 12 десятков, да 2 — всего 14 десятков; 4 десятка пишем, а 10 десятков, т. е. сотню, запоминаем, чтобы потом присоединить к сотням; 2 сотни умножаем на 4, будет 8 сотен, да ещё 1 сотня — всего 9 сотен. 2. Умножение многозначного числа на число, обозначаемое единицей с нулями. Возьмём небольшое число, например 16, и умножим его на 10. Так как слагаемых не очень много, то можно заменить умножение сложением: 16 x 10 = 16+16+16+16+16+16+16+16+16 + 16=160. Таким образом, 16 x 10 = 160. Мы видим, что это действие свелось к умножению 16 на единицу и к приписыванию нуля. Умножение на 100, на 1 000 и т. д. будет состоять в приписывании к множимому двух, трёх, четырёх и т. д. нулей. Например: 23 х 100 = 2 300, 83 x 1 000 = 83 000. 3. Умножение многозначного числа на число, у которого все цифры, кроме цифры высшего разряда, — нули. (Эти числа иногда называются «круглыми».) Умножим, например, 25 на 30. Для этого достаточно 25 умножить на 3 и к произведению приписать нуль: 25 х 30 = 750. Ещё пример: 125 х 800. Нужно 125 умножить на 8 и приписать два нуля. Значит: 125 х 800 = 100 000. 4. Умножение многозначного числа на многозначное. Умножим 618 на 325:
Здесь множитель — трёхзначное число. Поэтому сначала мы умножили множимое на единицы множителя (618 х 5) и получили первое промежуточное произведение 3 090; потом умножили множимое на десятки множителя (618 х 2), получили второе промежуточное произведение 1 236 и начали подписывать его под десятками первого; затем умножили множимое на сотни множителя (618 х 3), получили третье промежуточное произведение 1 854 и начали подписывать его под сотнями первых. Наконец, мы сложили три промежуточных произведения и нашли общее произведение — 200 850. Умножим 642 на 305:
Здесь мы остановимся только на особенностях этого случая. Число 305, являющееся множителем, имеет нуль на месте десятков. На этот нуль мы тоже умножали множимое 642 и получили второе промежуточное произведение, равное нулю. Оно обозначено у нас тремя нулями, потому что мы рассуждали так: 642 х 0 = 0, так как 2 х 0 = 0; 4 х 0 = 0 и 6 х 0 = 0. Из последнего примера мы сделаем выводы: а) Промежуточное произведение нужно начинать подписывать под той разрядной единицей, на которую производится умножение, например, крайняя правая цифра 6 третьего произведения подписана под сотнями, потому что она получилась от умножения на сотни. б) Нули, поставленные на месте второго промежуточного произведения, писать не следует, но нужно помнить, что крайняя правая цифра третьего произведения должна стоять под сотнями, а не под десятками, значит, общепринятая запись будет иметь вид:
Проверка умножения. Умножение можно проверить умножением; для этого следует переставить сомножители и снова их перемножить:
О другом способе проверки умножения будет сказано ниже . § 30. Умножение числа на произведение и умножение произведения на число. В практике умножения могут встретиться следующие случаи. 1. Умножение числа на произведение. Пусть требуется число 12 умножить на произведение трёх чисел: 15 х 16 x 18, т. е. на 4 320. Выполним сначала это умножение: 12 х 4 320 = 51 840. Теперь попробуем выполнить умножение последовательно, т. е. а) 12 x 15 = 180; б) 180 х 16 = 2 880; в) 2 880 х 18 = 51 840. Получился тот же самый результат. Следовательно, чтобы умножить число на произведение нескольких чисел, достаточно умножить его на первый сомножитель, полученное произведение умножить на второй сомножитель, затем на третий и т. д. 2. Умножение произведения на число. Пусть требуется произведение 3 x 5 x 8 =120 умножить на число 12. Умножив это произведение на 12, получим: 120 х 12 = 1 440. Это и есть искомый результат. Теперь попробуем выполнить умножение иначе: а) (3 х 12) х 5 х 8 = 1 440, б) (5 x 12) x 3 x 8 = 1 440, в) (8 x 12) x 3 x 5 = 1 440. Во всех случаях получился один и тот же результат. Следовательно, чтобы умножить произведение на какое-нибудь число, достаточно умножить на это число один из сомножителей, оставив другие без изменения. 1. Умножим устно 48 на 3; для этого представим 48 как сумму десятков и единиц, т. е. 40 + 8. Затем, опираясь на распределительный закон умножения, умножим отдельно 40 на 3, получим 120, и 8 на 3, получим 24; сложим 120 и 24. Окончательный результат умножения выразится числом 144. Таким образом, при устном умножении множимое разбивают на разряды и умножают отдельно каждый разряд, начиная с высшего, полученные отдельные произведения потом складывают. 2. Умножение двузначного числа на двузначное можно выполнить следующим образом. Пусть требуется умножить 15 на 12. Представим 12 как сумму 10 и 2, т. е. напишем: 15 x (10 + 2) Значит, мы можем сначала 15 умножить на 10, будет 150, затем 15 умножить на 2, будет 30, и, наконец, сложить 150 + 30 = 180. В этом случае можно было бы применить способ последовательного умножения, а именно представить 12 как произведение 4 x 3, тогда решение запишется так: 15 х 12 = 15 x 4 х 3 = (15 x 4) x 3 = 60 x 3 = 180. Ещё пример: 15 x 16 = 15 х (10 + 6) = 150 + 90 = 240, или 15 x 16 = 15 x 4 x 4 = (15 x 4) x 4 = 60 x 4 = 240, или ещё иначе 15 х 16 = (10 + 5) х 16 = 160 + 80 = 240. 3. Устное умножение трёхзначного числа на однозначное можно выполнить так: 532 х 3 = (500 + 30 + 2) х 3 = 1 500 + 90 + 6 = 1 596. 4. Иногда при умножении можно один из сомножителей представить в виде разности, например: 23 x 18 = 23 x (20 —2) = 23 х 20 — 23 x 2 = 460—46 = 414 Так как умножение на целое число представляет собой сложение одинаковых слагаемых, то умножение на счётах может быть сведено к повторному прибавлению множимого столько раз, сколько единиц во множителе. Однако этот процесс будет протекать довольно медленно, особенно в тех случаях, когда множителем является сравнительно большое число. Поэтому нужно запомнить несколько особых приёмов, значительно ускоряющих процесс вычисления. Прежде всего рассмотрим умножение на разрядную единицу (10, 100, 1 000, 10 000 и т. д.). Чтобы умножить на число, изображаемое единицей с нулями, нужно отложить на счётах множимое на столько проволок выше, сколько во множителе нулей. П р и м е р. 567 х 100. Чтобы умножить 567 на 100, нужно отложить это число на две проволоки выше, т. е. начать с пятой проволоки, на которой будет отложено 5 косточек, а остальные цифры (6 и 7) отложить на четвёртой и третьей проволоках. Отложенное число и даёт нам искомое произведение, т. е. 56 700. При выполнении умножения на различные числа нам часто придётся выполнять деление на 2. Это такой подсобный приём, который нередко облегчает умножение. Поэтому сейчас мы рассмотрим деление чисел на 2, хотя этот вопрос относится не к умножению, а к делению. Пример 1. Разделить 2 468 на 2. Деление выполняется так. Откладывают делимое 2 468 и затем сбрасывают с каждой проволоки половину косточек, начиная с низшего разряда. Получится 1 234. Пример 2. Разделить 2 654 на 2. В этом числе 5 десятков, а 5 на 2 не делится, поэтому здесь нужно поступать так: на первой проволоке нужно сбросить половину косточек, т. е. 2, на второй проволоке нужно сбросить 3 косточки, т. е. 3 десятка, но так как здесь мы сбрасываем 5 лишних единиц, то необходимо сейчас же на первой проволоке прибавить 5 косточек (5 единиц). Затем на третьей проволоке нужно сбросить 3 косточки и на четвёртой — одну. Значит, деление на 2 выполняется следующим образом: откладывают делимое и на каждой проволоке сбрасывают половину косточек, идя от низших разрядов к высшим; в тех случаях, когда приходится сбрасывать одну лишнюю косточку, восполняют этот излишек пятью косточками ближайшего низшего разряда. Теперь приступим к умножению чисел на счётах. Пример 1. 367 умножить на 2. При умножении числа на 2 нужно отложить его на счётах два раза. Значит, умножение заменяется сложением, т. е. 367 x 2 = 367 + 367 = 734. Пример 2. 372 умножить на 3. Умножение числа на 3 тоже заменяется сложением, значит, чтобы умножить число на 3, нужно отложить его на счётах три раза: 372 x 3 = 372 + 372 + 372 = 1 116. Пример 3. 286 умножить на 4. Чтобы умножить число на 4, нужно сначала отложить его два раза, а затем к полученному числу прибавить результат первого сложения: 286 x 4 = 286 + 286 + 572 = 1 144. Пример 4. 356 умножить на 5. Чтобы умножить число на 5, нужно сначала умножить его на 10, т. е. отложить на одну проволоку выше, а затем полученный результат разделить на 2: 356 x 5 = (356 х 10) : 2 = 1 780. Пример 5. 248 умножить на 6. Чтобы умножить число на 6, нужно сначала умножить его на 5 и к полученному результату прибавить множимое. 248 x 6 = 248 x 5 + 248 = 1 488. Пример 6. 356 умножить на 7. Чтобы умножить число на 7, нужно сначала умножить его на 5 и к полученному результату два раза прибавить множимое. 356 x 7 = 356 х 5 + 356 + 356 = 2 492. Пример 7. 345 умножить на 8. Чтобы умножить число на 8, нужно сначала умножить его на 10 и из полученного произведения вычесть два раза множимое. 3 45 х 8 = 345 х 10 — 345 — 345 = 2 760. Пример 8. 284 умножить на 9. Чтобы умножить число на 9, нужно сначала умножить его на 10 и из полученного произведения вычесть множимое. 284 х 9 = 284 х 10 — 284 = 2 556. Умножение на числа второго десятка выполняется так: сначала умножают на единицы, как указано выше, а затем к полученному произведению прибавляют произведение множимого на 10, т. е. откладывают его на одну проволоку выше. Например: 142 x 11. Откладываем на счётах множимое один раз, а затем прибавляем то же число на одну проволоку выше, т. е. умножаем его на 10: 142 + (142 x 10) = 1 562. § 33. Умножение с помощью таблиц. Для ускорения вычислений часто пользуются таблицами. Существуют, например, таблицы умножения двузначных чисел на двузначные. Чтобы объяснить, как ими пользоваться, рассмотрим таблицу, где даются произведения числа 53 на числа от 1 до 30. 53
Объясним, как нужно пользоваться этой таблицей. Пример 1. Умножим 53 на 24. Множимое у нас равно 53, оно напечатано сверху; множитель 24 найдём в одном из вертикальных столбцов таблицы, направо от него в этой же строке мы увидим искомое произведение 1 272. Пример 2. Умножить 53 на 27. Множимое напечатано сверху, а множитель 27 найдём в одном из вертикальных столбцов таблицы. Искомое произведение стоит справа от множителя в той же строке. Оно равно 1 431. С помощью этой маленькой таблицы можно найти произведение числа 53 на любое число от 1 до 30. Если нужно умножить, например, 48 на 76, то нужно в справочнике разыскать либо страницу с числом 48 сверху, либо страницу с числом 76 сверху. Кроме этих таблиц, существуют более полные, но уже значительно большие по объёму таблицы умножения. ДЕЛЕНИЕ. Рассмотрим задачу: «Столяр делает ежедневно 5 оконных рам. Сколько рам он сделает в течение 6 дней?» Эта задача решается умножением: 5 x 6 = 30 (рам). Теперь изменим условие задачи следующим образом: «Столяр сдал 30 готовых оконных рам. Каждый день он делал по 5 рам. Сколько дней он затратил на эту работу?» Сравним эти две задачи. В первой задаче были известны сомножители, а найти требовалось произведение. Во второй задаче дано произведение, т. е. 30, и один из сомножителей (5), а найти нужно второй сомножитель. Подобные задачи решаются посредством действия, называемого д е л е н и е м, т. е. 30 : 5 = 6 (дней). Следовательно, делением называется действие, посредством которого по данному произведению двух сомножителей и одному из этих сомножителей отыскивается другой сомножитель. В нашей задаче число 30 нужно разделить на 5, в результате получится 6. Число, которое делят, называется делимым; число, на которое делят, называется делителем; число, которое получается в результате деления, называется частным. Если сравнить деление с умножением, то получим следующий вывод: при умножении даются два числа (например, 8 х 3), а отыскивается их произведение (24); при делении даётся произведение (24) и один из сомножителей (например, 8), а отыскивается другой сомножитель (3). Таким образом, число, которое при умножении является искомым, при делении оказывается данным, и наоборот. Поэтому деление называют действием, обратным умножению. Замечания. 1. Если делимое равно делителю, то частное равно единице (9:9= 1). 2. Если делитель равен единице (1), то частное равно делимому (12 : 1 = 12). 3. Деление на нуль (0) невозможно. В самом деле, если делимое равно какому-нибудь числу, например 12, то разделить его на нуль значило бы найти такое число, которое после умножения на нуль дало бы 12, но такого числа нет, потому что всякое число после умножения на нуль даёт нуль. Если же делимое само равно нулю, то, разделив его на нуль, мы получим неопределённое частное, потому что любое число, умноженное на нуль, даёт в произведении нуль. Значит, нуль не может быть делителем. Деление, о котором мы сейчас говорили, можно назвать точным делением. Такое деление не всегда возможно. Например, нельзя говорить о точном делении числа 17 на число 5, потому что нет такого целого числа, которое при умножении на 5 давало бы 17. Поэтому от точного деления, о котором было сказано выше, следует отличать деление с остатком. Именно с этим случаем деления мы и встречаемся при попытке разделить 17 на 5. Сколько получится в каждой части, если мы разделим 17 на 5 равных частей? В каждой части получится 3 единицы и сверх того останется 2 лишних единицы. В этом случае употребляются следующие наименования чисел: 17 по-прежнему называется делимым, 5—делителем, 3 —приближённым частным, а число 2 — остатком от деления. § 35. Основные свойства деления. Первое свойство. Допустим, что нам нужно разделить на 2 сумму чисел 4 и 6. Это можно записать так: (4 + 6) : 2. Можно было бы сначала выполнить сложение, а затем деление, т. е.: 1) 4 + 6 = 10; 2) 10 : 2 = 5. Но тот же самый результат мы можем найти и другим путём: сначала каждое слагаемое разделим на 2, а потом сложим результаты, т. е.: 1) 4 : 2 = 2; 2) 6 : 2 = 3; 3) 2 + 3 = 5. Результат получился тот же самый. Его можно записать следующим образом: (4+ 6):2 = 4:2 + 6:2 = 2 + 3 = 5. Это свойство можно высказать так: чтобы разделить сумму на какое-нибудь число, достаточно разделить на это число каждое слагаемое отдельно и полученные частные сложить. (Предполагается, что все деления выполняются без остатка.) Это свойство справедливо для любых чисел. При помощи букв его можно записать так: (а + b) : с = а : с + b : с. Второе свойство. Пусть требуется разделить на 3 разность чисел: 18 и 6. Это можно записать с помощью скобок так: (18 — 6) : 3. Найдём сначала разность чисел, заключённых в скобки, а потом сделаем деление: 1) 18 — 6 = 12; 2) 12 : 3 = 4. Теперь попробуем решить этот пример иным путём: разделим сначала на 3 уменьшаемое (18), потом разделим на 3 вычитаемое (6) и из первого частного вычтем второе. 1) 18 : 3 = 6; 2) 6 : 3 = 2; 3) 6 — 2 = 4. Результат получился тот же самый; его можно записать следующим образом: (18 — 6) : 3 = 18 : 3 — 6 : 3 = 6 — 2 = 4. Это свойство можно высказать так: чтобы разделить разность на какое-нибудь число, достаточно отдельно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое, а потом из первого частного вычесть второе. (Предполагается, что и уменьшаемое, и вычитаемое делятся на это число без остатка.) При помощи букв это свойство можно записать так: (а — b) : с = а : с — b : с. § 36. Деление многозначных чисел. Рассмотрим различные случаи деления. Случай однозначного делителя. Мы можем, представив делимое как сумму, разделить каждое слагаемое отдельно. a) 864 : 2 = (800 + 60 + 4) : 2 = 400 + 30 + 2 = 432 б) 936 : 9 = (900 + 36) : 9 = 100 + 4 = 104. Обычно промежуточные вычисления выполняют в уме (устно) и записывают сразу частное: 936 : 9 = 104; 124 : 4 = 31 и т. п. Случай многозначного делителя. При делении числа на многозначный делитель могут в свою очередь представиться два случая: 1) когда частное будет однозначным; 2) когда частное оказывается многозначным. Прежде чем перейти к рассмотрению этих случаев, разрешим такой вопрос. Как заранее узнать, когда в частном получается однозначное число и когда неоднозначное? Пусть требуется разделить 256 на 32. Умножим делитель 32 на 10, получим 320. Теперь сравним делимое 256 с числом 320. Число 256 меньше 320. Это пишется так: 256 < 320. Значит, от деления 256 на 32 должно получиться число, меньшее десяти, т. е. однозначное число. Рассмотрим другой пример: 516 : 43. Умножим делитель 43 на 10, получим 430. Здесь делимое 516 больше 430. Это пишется так: 516 > 430. Значит, частное от деления 516 на 43 не может быть однозначным числом. 1) Частное однозначное. Разделим 2 244 на 374. Сначала определим число цифр частного. 374 x10 = 3 740. Данное число 2 244 < 3 740, значит, частное однозначное, т. е. оно заключено между нулём (0) и десятью (10). Как сообразить, чему оно равно? Рекомендуется мысленно отбросить в делителе справа столько цифр, чтобы в нём осталась только одна цифра, и столько же отбросить в делимом. В данном случае отбросим две последние цифры, тогда у нас останется 22 сотни, которые нужно разделить на 3 сотни. Какое здесь получится частное? Можно допустить, что частное будет равно 7, но это допущение нужно проверить. Оно, конечно, близко к 7, потому что по таблице умножения 3 х 7 = 21, но ведь мы перед делением отбросили по две цифры, в делимом и в делителе, а потому ручаться за такое частное мы не можем. Сделаем проверку: 374 х 7 = 2 618. Наши опасения оправдались: взятое нами частное оказалось велико. Испытаем теперь число, на 1 меньшее 7, т. е. 6. Выполним умножение 374 х 6 = 2 244. Полученное произведение в точности совпадает с делимым. Значит, 2 244 : 374 = 6. Обратите внимание на то, что мысленное отбрасывание цифр мы начинаем с делителя, а не с делимого, т.е. мы отбрасываем в делителе столько последних цифр, чтобы оставалась только одна крайняя левая, а потом столько же цифр отбрасываем и в делимом. Иногда при определении цифры частного рекомендуется первую слева цифру делителя увеличить на 1. Это бывает в тех случаях, когда вторая цифра делителя, больше 5. Попробуем разделить 29 976 на 4 996. Здесь делитель 4 996 ближе к 5 000, чем к 4 000, поэтому при отбрасывании последних трёх цифр делителя лучше брать не 4, а 5 и затем делить 29 тысяч на 5 тысяч. Так как 29 очень близко к 30, то можно взять 6 раз. Проверим: 4 996 х 6 = 29 976. Результат совпадает с делимым. Значит: 29 976 : 4 996 = 6. Из рассмотрения этих примеров можно сделать следующий вывод: при делении многозначного числа на многозначное для определения однозначного частного нужно, отбросив в делимом и делителе по одинаковому числу цифр справа так, чтобы в делителе осталась только одна цифра, узнать, сколько раз полученный однозначный делитель содержится в полученном новом делимом. 2) Частное многозначное. Разделим 58 296 на 347. Определим число цифр частного: 347 x 10 = 3 470, делимое 58 296 > 3 470, значит, частное больше 10. Действие начинается с выделения в делимом стольких цифр, начиная со старших разрядов, чтобы составленное из них число было не меньше делителя. Действие принято записывать так:
Берём 582 сотни и делим на 347, получаем в частном единицу, затем вычитаем произведение 347 на 1 из 582 сотен и находим остаток 235 сотен. Для того чтобы найти десятки частного, нужно раздробить остаток 235 в десятки (это будет 2 350) и прибавить к ним число десятков, имеющихся в делимом, т. е. 9, получится 2 359. Для краткости речи говорят, что нужно к остатку «снести» 9 десятков. Делим 2 359 десятков на 347 и находим в частном 6 десятков. Вычитаем произведение 347 на 6, т. е. 2 082 десятка, из 2 359 десятков и находим остаток — 277 десятков. Для нахождения единиц частного сносим к остатку единиц делимого и получаем 2 776, делим их на 347 и получаем в частном 8. Итак, 58 296 : 347 =168. Проверка умножением. Деление можно проверить умножением на том основании, что делимое является произведением, а делитель и частное — сомножителями. Поэтому для проверки деления следует умножить делитель на частное. Если результат будет равен делимому, то весьма возможно, что действие сделано правильно (имеется в виду деление без остатка). Пример. 5 535 : 45 = 123. Проверка. 123 • 45 = 5 535. Проверка делением. Так как делимое является произведением делителя на частное, то от деления делимого на частное должен получиться делитель. Поэтому в целях проверки деления можно делимое разделить на частное. Пример. 13 104 : 56 = 234. П р о в е р к а. 13 104 : 234 = 56;. § 38. Совместное умножение и деление. В практике деления могут встретиться следующие случаи. 1. Деление числа на произведение. Пусть требуется разделить 960 на произведение чисел: 4 x 6 x 8 = 192. Вычислим сначала искомый результат: 960 : 192 = 5. Теперь выполним деление последовательно: а) 960 : 4 = 240; б) 240 : 6 = 40; в) 40 : 8 = 5. Отсюда получаем: чтобы разделить число на произведение, достаточно разделить это число на первый сомножитель, полученное частное разделить на второй сомножитель, вновь полученное частное разделить на третий сомножитель и т. д. 2. Деление произведения на число. Пусть требуется разделить на 8 произведение трёх чисел: 10; 24 и 18, т. е. 4 320. Разделим это произведение на 8. 4 320 : 8 = 540. Поступим теперь иначе. Один из сомножителей (24) делится на 8. Разделим его на 8 и результат умножим на остальные сомножители: а) 24 : 8 = 3; б) 3 x (10 x 18) = 3 x 180 = 540. Результат получился тот же самый. Следовательно: чтобы разделить произведение на какое-нибудь число, достаточно разделить на это число один сомножитель, оставив другие без изменения. Предполагается, что среди сомножителей имеется хоть один такой, который делится на данное число. Оба рассмотренных приёма применяются только в случае выполнения деления без остатка. 3. Умножение числа на частное. Пусть требуется умножить 6 на частное от деления 200 на 5, т. е. на 40: 6 x 40 = 240. Поступим теперь иначе. Нам нужно вычислить: 6 x (200 : 5); умножим 6 на 200 и произведение разделим на 5: 6 x 200 = 1 200, 1 200 : 5 = 240. Результат получился тот же самый. Значит, чтобы умножить число на частное, достаточно умножить это число на делимое и полученное произведение разделить на делитель. В общем виде: а • (b : с) = (а • b) : с. 4. Деление числа на частное. Пусть требуется разделить 360 на частное от деления 180 на б, т. е. на 30: 360 : 30 =12. Поступим теперь иначе. Нам нужно вычислить: 360 : (180 : 6); разделим 360 на 180 и частное умножим на 6: 360 : 180 = 2, 2 x 6 = 12. Результат получился тот же самый. Значит, чтобы разделить число на частное, достаточно разделить это число на делимое и полученное частное умножить на делитель. В общем виде: а : (b : с) = (а : b) • с. 1. Разделим 484 на 4. Для этого представим делитель как 2 • 2 и выполним деление последовательно: 484 : 2 =242; 242 : 2 = 121. 2. При делении можно прибегать к некоторым особым случаям разбиения делимого на слагаемые. Покажем, например, как можно разделить 868 на 7. Разобьём делимое так: 868 : 7 = (700 + 140 + 28) : 7 = 100 + 20 + 4 = 124. Здесь мы выделили сначала не 8 сотен, а 7 сотен, затем отделили число 140 из тех соображений, что оно делится на 7. Значит, успех деления зависит от того, насколько удачно разбито делимое на слагаемые. 3. Рассмотрим ещё пример, подобный предыдущему: 984 : 8 = (800 + 160 + 24) : 8 = 100 + 20 + 3 = 123. 4. При делении иногда целесообразно представить делимое как разность, например: 483 : 7 = (490 — 7) : 7 = 70 — 1 = 69. 5. При делении можно иногда прибегать к разложению делимого на сомножители, например: 90 000 : 15 = (45 • 2 000) : 15 = 3 • 2 000 = 6 000. Деление чисел отличается от сложения и умножения той особенностью, что оно не всегда выполнимо без остатка. В этом отношении оно напоминает действие вычитания, которое тоже не может быть выполнено во всех без исключения случаях. Мы не можем, например, число 23 разделить на 5, потому что не существует такого целого числа, которое при умножении на 5 давало бы в произведении число 23. Как же поступают в этих случаях? Для выяснения этого вопроса рассмотрим одновременно два примера. Разделим 387 на 12 и 1 373 на 16: 387 : 12 = 32 (ост. 3); 1 373 : 16 = 85 (ост. 13). В обоих случаях при делении получился остаток, но в первом случае остаток 3 значительно меньше делителя, т. е. 12, он не достигает даже половины делителя, а во втором случае остаток 13 по своей величине близок к делителю, т. е. к 16, он значительно больше половины делителя. Ввиду того что во втором случае отбрасываемый остаток довольно велик (13), лучше взять в частном не 85, а 86, т. е. 1373 : 16 ≈ 86. Знак ≈ употребляется для обозначения приближённых равенств. Принято говорить, что в первом случае приближённое частное взято с недостатком, а во втором случае частное взято с избытком. Например, при делении числа 23 на число 7 мы получим в частном 3, а в остатке 2; при делении же 47 на 8 мы предпочтём взять в частном 6, а не 5, потому что если мы возьмём 5, то потеря составит целых 7 единиц. Значит, частное от деления 23 на 7 мы взяли с недостатком, а частное от деления 47 на 8 взяли с избытком. В дальнейшем мы будем руководствоваться следующим правилом: при делении с остатком частное нужно брать с недостатком, если отбрасываемый остаток меньше половины делителя, и следует увеличить на 1 (т. е. брать с избытком), если отбрасываемый остаток больше половины делителя; если отбрасываемый остаток в точности равен половине делителя, то частное следует увеличить на единицу, когда оно оканчивается нечётной цифрой, и оставить без изменения, когда оно оканчивается чётной цифрой. Когда при делении получается остаток, то частное не может быть точным числом, в обоих случаях (с недостатком и с избытком) оно будет приближённым. Это значит, что когда мы пишем: 23 : 7 ≈ 3 и 47 : 8 ≈ 6, то в обоих случаях допускаем некоторую, как принято говорить, «погрешность». Разъясним эту мысль. Пусть у нас имеется 23 руб. (рублями) и их нужно разделить поровну между семью лицами. Мы можем дать каждому по 3 руб. При этом останется 2 нераспределённых рубля. Каждый из семи человек получил немного меньше, чем ему полагалось. Сколько же он недополучил, или «потерял»? Меньше одного рубля (несколько копеек). Значит, при делении у каждого получилась потеря, недостача, меньшая одного рубля (единицы). Эта потеря и является погрешностью. Если при делении чисел погрешность оказывается меньше единицы, то принято говорить, что частное найдено с точностью до единицы. Рассмотрим задачу: «Поезд находился в пути 4 часа. В первый час он прошёл 40 км, во второй 42 км, в третий 38 км и в четвёртый 36 км. Найти его среднюю скорость». Под средней скоростью движения поезда разумеется скорость такого поезда, который выходит с начальной станции в один момент с данным поездом, приходит на конечную станцию в один момент с ним и движется всё время равномерно. Чтобы найти эту скорость, вычислим сначала путь, пройденный поездом за 4 часа. Для этого сложим отдельные указанные в задаче расстояния: 40 + 42 + 38 + 36 = 156 (км). Но так как поезд находился в пути 4 часа, то для вычисления средней скорости движения нужно 156 разделить на 4: 156 : 4 = 39 (км в час). Найденное число 39 км является средней скоростью движения. Что же нужно было сделать, чтобы найти среднюю скорость? Нужно было сначала сложить отдельные расстояния и потом разделить полученную сумму на число этих расстояний. Рассмотрим другой пример: «Четыре ученика измеряли длину изгороди школьного огорода. Каждый измерял самостоятельно. У первого получилось 507 м, у второго 508 м, у третьего 511 м и у четвёртого 506 м. Какое же из этих чисел более точно выражает длину изгороди?» Так как четыре измерения дали не вполне одинаковые числовые результаты, причём одно число могло быть немного больше истинного значения, другое немного меньше, а истинная длина изгороди нам неизвестна, то за наиболее вероятное значение принимают среднее из них. Как его найти? Так же, как и в первом примере, т. е. сначала найти сумму чисел, полученных при измерениях, а потом эту сумму разделить на число измерений, т. е. 507 + 508 + 511 + 506 = 2 032 (м), 2 032 : 4 = 508 (м); 508 м — и будет средняя длина изгороди. В этих двух примерах мы нашли средние числа. Хотя эти примеры имели различный смысл: в первом речь шла о скорости поезда, а во втором — о длине изгороди, но способ вычисления средних чисел был один и тот же. Он состоял в том, что сначала находили сумму всех чисел, а потом эту сумму делили на их число. В арифметике принято число, найденное таким способом, называть средним арифметическим нескольких чисел. Что же такое среднее арифметическое? Средним арифметическим нескольких чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их число. § 42. Порядок выполнения совместных действий. Скобки. Рассмотренные нами четыре действия —сложение, вычитание, умножение и деление — принято делить на две ступени. Первые два действия, т. е. сложение и вычитание, называются действиями первой ступени, а последние два, т. е. умножение и деление, — действиями второй ступени. В каждой ступени, следовательно, имеется одно прямое и одно обратное ему действие. Мы будем называть арифметическим выражением всякую совокупность чисел и знаков, указывающих, какие действия над этими числами нужно произвести. При решении задач приходится встречаться с выражениями, содержащими или только действия первой ступени, или только действия второй ступени, или, наконец, действия и первой и второй ступени вместе. Например:
Возникает вопрос: в каком порядке мы будем выполнять эти действия? При вычислении многих выражений часто приходится выполнять действия в том порядке, в каком они написаны; но бывают такие случаи, когда этот порядок нарушается. Если в выражении встречаются только действия первой ступени, то их принято выполнять в том порядке, в каком они написаны слева направо. Решим те примеры, которые были даны выше. 23 + 12— 5 = 35 — 5 = 30; 38— 18 + 11 = 20 + 11 = 31. Если же действия нужно выполнять в другом порядке, то употребляются скобки. Например: 150 — (24 — 10) — (30 — 14) = 150 — 14 — 16 = 120. Здесь мы сначала выполнили действия в скобках. Таков порядок выполнения действий в выражениях, содержащих только действия первой ступени. Теперь перейдём к порядку действий второй ступени. Он состоит в следующем. Если в выражении встречаются только действия второй ступени, то их принято выполнять в том порядке, в каком они написаны, слева направо. Например: 60 x 24 : 8 = 1 440 : 8 = 180; 100 : 5 х 6 = 20 х 6 = 120. Если же действия нужно выполнить в другом порядке, то употребляются скобки, например: 72 : (36 : 4) = 8; 120 : (4 x 10) = 3. В каждом примере сначала выполняют действия в скобках. Если в выражении встречаются действия и первой, и второй ступени, то сначала принято выполнять действия второй ступени, а потом первой. 1) 80 х 20 + 10 = 1 600 + 10 = 1 610, 2) 90 + 60 : 4 = 90 + 15 = 105. Всякое отклонение от этого порядка должно быть обозначено скобками. Например: (15 + 10) х 4 — (27 — 9) : 3 = 25 x 4 — 18 : 3 = 100 — 6 = 94. |
