Часть первая

ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА.

Глава  третья.

Зависимости между данными числами и результатами действий над ними.

§ 43. Сложение.
§ 44. Проверка сложения .
§ 45. Вычитание.
§ 46. Умножение.
§ 47. Проверка умножения.
§ 48. Деление.

§ 43. Сложение.

Рассмотрим следующий факт: В классе числится 28 учеников. Присутствуют на уроке 25 человек и отсутствуют 3. Это можно записать при помощи сложения следующим образом:

25 + 3 = 28,

т. е. сумма присутствующих и отсутствующих учеников равна 28. Теперь подумаем, как может пришедший в класс учитель быстро подсчитать, сколько учеников присутствует на уроке. Общее число учеников в классе ему известно из классного журнала, число отсутствующих ему скажет дежурный. Чтобы узнать, сколько учеников присутствует на уроке, учитель должен из 28 вычесть 3. Если неизвестное число присутствующих учеников обозначим буквой х, то

х + 3 = 28;

т. е. если к числу присутствующих учеников прибавить число отсутствующих, то получим число всех учеников класса. Так как мы знаем сумму и одно слагаемое, то можно найти неизвестное слагаемое:

х = 28 — 3,   или     х = 25.

Получаем правило: чтобы найти неизвестное слагаемое, достаточно из суммы двух   слагаемых   вычесть известное слагаемое. Приведём пример:

х + 10 = 30;    х = 30 — 10;    х = 20.

Пользуясь буквенными обозначениями, можно написать: если

а + b = с , то

а = с — b    и   b = с — а.

§ 44.   Проверка сложения.

Правило, изложенное в предыдущем параграфе, позволяет проверить правильность сложения. Допустим, что мы сложили два числа:  346 + 588 = 934.

Так как одно из двух слагаемых равно их сумме минус другое слагаемое, то, вычитая из суммы 934 какое-нибудь слагаемое, например первое, мы должны получить второе слагаемое. Конечно, это будет только в том случае, если мы не сделали ошибки при сложении и не сделаем новой ошибки при вычитании.

Выполним вычитание: 934 — 346 = 588. Сложение было сделано    правильно.

§ 45. Вычитание.

Задача. Я купил альбом за 25 руб. Как узнать, сколько денег у меня было до покупки альбома, если после покупки осталось 53 руб.?

Пусть у меня было х руб., я израсходовал 25 руб., и у меня осталось 53 руб. Запишем при помощи вычитания:

х — 25 = 53.

Сколько же у меня было денег первоначально? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно сложить истраченные и оставшиеся деньги, т,   е.

х = 25 + 53;      х = 78.

Таким образом, первоначально у меня было 78 руб.

В рассмотренной задаче было неизвестно уменьшаемое, а вычитаемое и разность были известны. Чтобы найти уменьшаемое, мы    к вычитаемому    прибавили   разность.    Отсюда    получаем правило: чтобы найти   неизвестное  уменьшаемое, достаточно к вычитаемому прибавить разность.  Приведём пример:

х — 7 = 9;    х = 7 + 9;      х = 16.

Запишем   это  правило,   пользуясь   буквенными  обозначениями; если

а — b = с,

то правило нахождения уменьшаемого по вычитаемому и разности будет записано так:

а = b + с.

Решим ещё одну задачу: «Учащиеся работали на пришкольном участке. Сторож перед началом работы выдал каждому из них по одной лопате. Как узнать, сколько выдано лопат, если всего их было 90, а после выдачи осталось 50?

Если число выданных лопат обозначить через х, то

90 — х = 50.

Как нам найти х? Если мы от общего числа лопат отнимем число оставшихся, то получится ответ на поставленный вопрос. Чтобы найти х, нужно из 90 вычесть 50. Отсюда вытекает следующее правило: чтобы найти неизвестное вычитаемое, достаточно из уменьшаемого вычесть разность. Это можно записать так:

х = 90 — 50; х = 40.

Приведём пример:

9 — x = 5;     х = 9 — 5;     x = 4.

Запишем последнее правило, пользуясь буквенными обозначениями: если а — b = с, то правило нахождения вычитаемого по уменьшаемому и разности примет вид:

b = а — с.

§ 46. Умножение.

Рассмотрим следующий факт. Укладчица на конфетной фабрике укладывает по 32 конфеты в каждую коробку. Кладовщик, отпуская ей конфеты, сказал: «Я выдам вам конфет на 100 коробок», и добавил: «Значит, 32 х 100 = 3 200». Он подсчитал число конфет, допустив, что коробок 100 штук. Если бы коробок было меньше, например 50, то число конфет было бы меньше (1 600), а если бы коробок было больше, например 120, то число конфет пришлось бы увеличить.

Следовательно, каждый раз, когда нужно найти число конфет, решается такая задача:

32 • а = ?

Зная х, мы можем найти число необходимых конфет. Но кладовщик, не зная числа коробок,  мог бы рассуждать ещё так: я отпущу вам 4 000 конфет, потом будет видно, сколько понадобится коробок. Значит, в этом случае получится:

32 • х = 4 000.

Здесь неизвестен один из сомножителей. Чтобы его найти, нужно произведение (4 000) разделить на известный сомножитель (32):

х = 4 000 : 32;   х = 125   (коробок).

Правило: чтобы найти неизвестный сомножитель, достаточно разделить произведение двух сомножителей на известный сомножитель.

Приведём   пример:

25 • х = 850; х = 850 : 25; х = 34.

Запишем правило, пользуясь буквенными обозначениями: если

а • b = с, то

а = с : b,   b = с : а.

§ 47.   Проверка  умножения.

На основании изложенного в предыдущем параграфе проверка умножения может быть осуществлена следующим образом. Допустим,   что  выполнено  умножение:

125 х 36 = 4 500.

Так как один из сомножителей равен произведению, делённому на другой сомножитель, то для проверки достаточно произведение 4 500 разделить, положим, на второй сомножитель 36. Если в результате получится первый сомножитель 125, то весьма возможно,   что  умножение  сделано  правильно:

4 500 : 36 = 125.

§ 48. Деление.

Рассмотрим следующий факт. Садовник разбивает сад и делает на бумаге примерный набросок будущего расположения деревьев. Всего намечено 24 ряда деревьев. Если посадить по 35 деревьев в каждом ряду, то всего нужно будет 840 деревьев (35 х 24 = 840). Если посадить деревья более редко, то их потребуется меньше. Например, чтобы в каждом из 24 рядов получилось по 30 деревьев, достаточно 720 деревьев. Можно взять деревьев больше, чем 840, например 912, и тогда деревья будут рассажены гуще: в каждом ряду будет 38 деревьев.

Значит, каждый раз, когда нужно найти число деревьев в ряду, решается задача:

х : 24 = ?

Вместо х подставляются или 840, или 720, или 912, или другие числа.

Но садовник мог бы рассуждать иначе: по плану видно, что наиболее удачным будет такое расположение деревьев, когда в каждом ряду будет 32 дерева. Тогда получим:

х : 24 = 32.

Здесь неизвестно делимое. Чтобы его найти, нужно делитель умножить на частное, т. е.

х = 32 х 24;               х = 768 (деревьев).

Сделаем отсюда выводы. Буква х обозначает делимое. Чтобы его найти, мы умножили делитель на частное. Получаем следующее правило: чтобы найти неизвестное делимое, достаточно делитель умножить на частное.

Приведём пример:

х : 6 = 9;         x = 6 x 9;         х = 54.

Решим ещё одну задачу: «600 географических карт распределены поровну между школами района. Каждая школа получила 25 карт. Сколько школ в районе было снабжено географическими картами?»

Если неизвестное число школ мы обозначим буквой х, то

600 : х = 25.

В этом равенстве неизвестен делитель. Чтобы его найти, необходимо разделить делимое на частное:

х = 600 : 25;        х = 24.

Отсюда сразу получается правило: чтобы найти неизвестный делитель, достаточно делимое разделить на частное.

Приведём  пример:

200 : х = 8;        х = 200 : 8;       х = 25.

Обозначив делимое, делитель и частное соответственно буквами а, b, с, можем написать:      а : b = с;      тогда два последних правила запишутся так:

а = b • с   и  b = а : с.