Часть первая

ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА.

Глава   седьмая.

Делимость чисел.

§ 63. Содержание главы.
§ 64. Кратное и делитель.
§ 65. Делимость суммы и разности.
§ 66. О признаках делимости чисел.
§ 67. Признак делимости на 2.
§ 68. Признак делимости на 4.
§ 69. Признак делимости на 5.
§ 70. Признак делимости на 25.
§ 71. Признаки делимости на 9 и на 3.

§ 63. Содержание главы.

Мы изучили сложение, вычитание, умножение и деление целых чисел. Сложение и умножение всегда выполнимы независимо от того, над какими числами они выполняются,

Иначе обстоит дело с обратными действиями, т. е. с вычитанием и делением. Относительно вычитания мы говорили, что оно возможно в тех случаях, когда вычитаемое не больше уменьшаемого.

Гораздо больше затруднений связано с делением. Прежде всего возникает затруднение в том случае, когда делимое меньше делителя (14 : 20), но это специальный вопрос, которым мы будем заниматься в следующей части нашей книги. Обратимся к другому случаю. Вы знаете, что деление иногда выполняется без остатка или, как говорят, «нацело», а иногда с остатком. Возникают вопросы: какими должны быть данные числа, чтобы они могли разделиться без остатка одно на другое? Можно ли по каким-нибудь признакам данных чисел установить, что деление в данном случае выполнимо?

§ 64.   Кратное и делитель.

Определение. Если одно число делится без остатка на другое, то первое называется кратным второго, а второе — делителем первого.

Значит, число 6 будет кратно 3 (трём), а само число 3 будет делителем 6 (шести). Число 15 кратно 5, а само 5 будет делителем  15.

Число может быть кратно нескольким числам.

Например число 36 кратно числам: 1, 2, 3, 4, 6, 9,  12,  18 и 36.

Числа, делящиеся на 2, называются чётными. Число нуль тоже относится к чётным числам. Все же остальные числа называются нечётными. Следовательно:

0, 2, 4, 6, 8,  10,  12... — чётные,      1, 3, 5, 7, 9,  11... — нечётные.

§ 65. Делимость суммы и разности.

1. Рассмотрим следующее важное свойство суммы.

Если каждое слагаемое делится без остатка на какое-нибудь число, то и сумма разделится на это число.

П р им е р:

14 делится на 7, 21 делится на 7, их сумма 14 + 21, т. е. 35, тоже делится на 7.

Ещё пример: 39 делится на 13,   65 делится на 13, их сумма 39 + 65 = 104  тоже делится на 13.

Мы можем взять сумму более чем двух слагаемых, например трёх, и высказанное утверждение окажется справедливым:

25 делится на 5,

35 делится на 5,

50 делится на 5.

Сумма 25 + 35 +50 = 110 тоже разделится на 5.

Этим свойством суммы мы можем воспользоваться, если хотим узнать, делится ли какое-нибудь число на другое. Например, я хочу узнать, не выполняя деления, разделится ли 756 на 7. Можно поступить так: 756 представить как сумму двух слагаемых 700 + 56. Теперь нужно подумать, делится ли каждое из этих слагаемых на 7. Здесь уже легко сообразить, что 700 делится на 7 и 56 делится на 7, значит и сумма, т. е. 756, разделится на 7.

Возникает вопрос: если слагаемые не делятся на какое-нибудь число, то разделится ли на это число сумма или нет?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно рассмотреть различные возможные здесь случаи:

а)  Слагаемые 21 и 22 не делятся на 5; их сумма 43 тоже не делится на 5.

б)  Слагаемые 22 и 23 не делятся на 5; но их сумма 45 делится на 5.

Значит, если отдельные слагаемые не делятся на данное число, то их сумма в некоторых случаях может разделиться на это число.

Теперь подумаем, будет ли сумма двух слагаемых делиться на некоторое число, если одно из слагаемых не делится на это число, а другое делится.

Пусть одно из слагаемых будет 33, а другое 17, их сумма 50. Первое слагаемое (33) делится на 11, а второе 17 не делится, сумма 50 тоже не делится на 11.

Возьмём сумму трёх слагаемых: 15, 20 и 23, т. е. 58. Каждое из первых двух слагаемых (15 и 20) делится на 5, но третье слагаемое 23 на 5 не делится, сумма 58 тоже не делится на 5.

Из рассмотрения этих примеров можно сделать вывод:

Если каждое слагаемое, кроме одного, делится на некоторое число, а это одно на него яе делится, то сумма всех этих слагаемых на него не разделится.

Используем этот вывод для решения вопроса о том, разделится ли число 150 на 14. Представим 150 следующим образом:

150 = 140 + 10.

Первое слагаемое этой суммы (140) делится на 14, но так как второе слагаемое, т. е. 10, на 14 не делится, то и150 на 14 не разделится.

2. Теперь рассмотрим важное свойство разности.

Если уменьшаемое и   вычитаемое делятся  нацело на какое-нибудь число, то и разность разделится на это число.

Пример.

45 делится на 9, 18 делится на 9, их разность 45—18, т. е. 27, тоже делится на 9.

Ещё пример:

88 делится на 11, 33 делится на 11, их разность 88—33 = 55 тоже делится на 11.

Этим свойством разности мы можем иногда воспользоваться для выяснения вопросов о делимости одного числа на другое. Пусть требуется ответить на вопрос, делится ли на 7 число 693. Прибавим к нему 7, получим 700. Тогда мы можем написать такое равенство: 700 — 7 = 693. В нём уменьшаемое 700 делится на 7, вычитаемое 7 делится на 7, значит и разность 693 тоже делится на 7.

§ 66. О признаках делимости чисел.

Во многих случаях очень важно бывает определить, не выполняя деления, разделится ли нацело одно число на другое. Пусть требуется, например, ответить на вопрос, будет ли 156 делиться на 4. Такие вопросы в будущем, например при изучении дробей, придётся ставить очень часто. Чтобы ответить на поставленный вопрос, можно, конечно, разделить первое число на второе, но такой приём является невыгодным. Поэтому в арифметике пытаются, не производя деления, узнать, разделится ли одно число на другое нацело или нет. В силу этого мы теперь займёмся изучением таких особенностей или свойств чисел, которые позволяют судить о делимости одного числа на другое. Сейчас мы выведем некоторые из этих «признаков» делимости.

§ 67. Признак делимости на 2.

Какие числа делятся на 2? Чем отличаются числа, делящиеся на 2, от чисел, не делящихся на 2? Возьмём два числа: 35 и 32. Первое из них, т. е. 35, не делится на 2, а 32 делится на 2. В чём же между ними разница? Мы уже знаем из предыдущего,   что если каждое из двух чисел делится на третье, то сумма их разделится на это число. Представим данные числа в виде суммы десятков и единиц:

35 = 30 + 5,

32 = 30 + 2.

35 составляется из трёх десятков и пяти единиц. Каждый десяток делится на 2, значит и 3 десятка, т. е. 30, разделится на 2, но второе слагаемое, т. е. 5, не делится на 2; именно поэтому и всё число 35 не делится на 2.

Если же мы рассмотрим число 32, то увидим, что оно есть сумма 30 и 2, т. е. таких чисел, из которых каждое делится на 2. Значит, число 32 разделится на 2.

Рассмотрим ещё одно число, причём выберем большее число, чем 32, например 876. Это число мы можем представить так:

876 = 870 + 6.

Первое слагаемое 870 делится на 2, так как состоит из 87 десятков, второе слагаемое 6 тоже делится на 2, значит и всё число 876 разделится на 2.

Эти примеры показывают, что делимость чисел на 2 зависит исключительно от делимости второго слагаемого (единиц). Ведь число 35 не разделилось на 2 потому, что у него не делилось на 2 второе слагаемое. Если число оканчивается на 0, 2, 4, 6, 8, то оно разделится на 2, в противном случае — не разделится.

На основе изложенного признак делимости на 2 мы можем высказать так: на 2 делятся те и только те числа, которые оканчиваются чётной цифрой. (Нуль относится к чётным числам.)

§ 68. Признак делимости на 4.

Прежде всего установим такой факт; на 4 делится число 100 и, следовательно, всякое число, представляющее собой сумму сотен (200, 300, ..., 1 400, 1 500, ..., 2 000, ...). Но всякое число, являющееся суммой сотен, оканчивается двумя нулями. Значит, на 4 делится всякое число, оканчивающееся двумя нулями.

Возьмём теперь число, которое оканчивается не нулями, а какими-нибудь другими цифрами, например 123 456.

Представим его как сумму двух слагаемых следующим образом:

123 400 + 56.

Первое слагаемое этой суммы (123 400) разделится на 4, так как оно оканчивается двумя нулями. Если второе слагаемое (56) разделится на 4, то и сумма (123 456) разделится на 4. Второе слагаемое 56 делится на 4. Значит,  и число 123 456 разделится на 4.

Возьмём число 1 634 и представим его как сумму двух слагаемых так:

1 600 + 34.

Первое слагаемое этой суммы 1 600 делится на 4, но второе (34) не делится. Значит, сумма, т. е. число 1  634, на 4 не разделится.

Таким образом, на 4 делятся те и только те числа, которые оканчиваются двумя нулями или у которых две последние цифры выражают число, делящееся на 4.

Например делятся на 4:   4 600, 1 264; не делятся на 4: 110, 4 562.

§ 69. Признак делимости на 5.

Прежде всего отметим, что на 5 делится число 10 и, значит, всякое число, состоящее из десятков  (20, 30, ...,   140,   150,   ..., 2 160, 2 170, ...).

С другой стороны, всякое многозначное число можно рассматривать как сумму десятков и единиц.

Первое слагаемое, как состоящее из одних десятков, всегда разделится на 5. Значит, делимость всякого многозначного числа на 5 будет зависеть исключительно от делимости на 5 второго слагаемого, т. е. единиц числа.

Но среди единиц есть единственное число, делящееся на 5, — это самое число 5. Следовательно, у чисел, делящихся на 5, вторым слагаемым может быть только число 5.

Если же мы возьмём, например, число 2 347, у которого на месте единиц стоит не 5, а 7, то это число не разделится на 5, так как в сумме 2 340 + 7 первое слагаемое делится, а второе слагаемое (7) не делится на 5.

В силу этого признак делимости на 5 можно высказать так: на 5 делятся те и только те числа, которые оканчиваются нулём или цифрой 5.

Например, на 5 делятся: 1 320; 4 065; на 5 не делятся: 21; 432; 6 543.

§ 70. Признак делимости на 25.

Число 100 делится на 25. Следовательно, и всякое число, составленное из сотен, должно делиться на 25 (200, 300, ..., 1 400, 1 500, ..., 5 600, ...). Но так как число, состоящее из сотен, оканчивается двумя нулями, то на 25 должны делиться все числа, оканчивающиеся двумя нулями.

Теперь возьмём два числа, оканчивающиеся не нулями, а какими-нибудь другими цифрами: 23 456 и 34 875.

Каждое из них можно представить в виде двух слагаемых так:

23 400 + 56    и    34 800 + 75.

В первом случае второе слагаемое (56) не делится на 25, поэтому и всё число (сумма) не делится на 25. Во втором случае второе слагаемое (75) делится на 25,поэтому всё число разделится на 25. Значит, делимость числа на 25 зависит от деления на 25 числа, составленного двумя последними цифрами. Но в пределах сотни есть только три таких числа: 25, 50 и 75.

На этом основании мы можем сказать, что на 25 делятся те и только те числа, которые оканчиваются на 00; 25; 50 и 75.

§ 71.   Признаки делимости на 9 и на 3.

Какие числа делятся на 9? Прежде всего на 9 делятся все числа, которые написаны посредством цифры 9, т. е.   9; 99; 999; 9 999 и  т.   д.

Далее, запомним, что числа изображаемые единицей с нулями, при делении на 9 дают в остатке 1. В самом деле: 10 : 9 = 1 и 1 в остатке; 100 : 9 = 11 и 1 в остатке; 1 000 : 9 = 111 и 1 в остатке;  10 000 : 9 = 1 111 и 1 в остатке.

Приняв это во внимание, разделим на 9 число 567. Представим его в виде суммы разрядных единиц:

567 = 500 + 60 + 7.

Число 500 при делении на 9 даёт в остатке пять (5) единиц, потому что каждая сотня при делении на 9 даёт в остатке 1.

Число 60 при делении на 9 даёт в остатке шесть (6) единиц, потому что каждый десяток при делении  на 9 даёт в остатке 1.

Число семь (7) не делится на 9 и тоже является остатком.

Таким образом, у нас получились следующие остатки: 5, 6 и 7.

Если сумма этих остатков, т. е. 5 + 6 + 7 = 18, разделится на 9, то и число 567 разделится на 9. В данном случае сумма остатков на 9 делится.

Если же мы возьмём другое число, например 476, у которого сумма остатков, как легко сообразить на основании предыдущего, будет:

4 + 7 + 6 = 17,

то здесь сумма остатков на 9 не делится; значит, и всё число (476) на 9 не разделится.

Но что представляет собой эта сумма остатков? Это есть сумма чисел, соответствующих цифрам данного числа (ради краткости говорят, что это есть сумма цифр числа).

Поэтому признак делимости на 9 можно высказать так: на 9 делятся те и только те числа, у которых сумма цифр делится на 9.

Всякое число, делящееся на 9, будет делиться и на 3 (но не наоборот). Мы могли бы провести подобные рассуждения, применительно к числу 3. Тогда признак делимости на 3 был бы высказан так: на 3 делятся те и только те числа, у которых сумма цифр делится на 3. Например, на 3 делятся: 51; 231; 8 112; 12 345.