|
Часть вторая. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ Глава одиннадцатая. Распространение законов и свойств действий на дробные числа. § 92. Сложение. При изучении целых чисел мы рассматривали различные свойства действий. Теперь, после ознакомления с дробями, мы покажем, что эти свойства остаются справедливыми и для дробных чисел. 1. Сумма дробных чисел подчиняется переместительному закону, т. е. сумма не изменяется от перемены мест слагаемых. Возьмём две дроби: 1/2 и 1/3. Сумма этих двух дробей (1/2 + 1/3) равна 5/6 независимо от того, в каком порядке мы будем складывать эти дроби, т. е.
2. Сумма дробных чисел подчиняется сочетательному закону, т. е. сумма не изменится, если какую-нибудь группу рядом стоящих слагаемых мы заменим их суммой. Сумма трёх дробей 1/15, 4/15 и 8/15 может быть получена различной группировкой слагаемых, например:
3. Если какое-либо слагаемое увеличим или уменьшим на какое-нибудь число, то и сумма увеличится или уменьшится на то же самое число. Найдём сумму двух дробей, например:
Прибавим к первому слагаемому 1/8 и посмотрим, как при этом изменится сумма. Если мы выполним вычисления, то увидим, что сумма увеличилась на 1/8, т. е. на столько же, на сколько было увеличено первое слагаемое. Далее, можно проверить, что с уменьшением одного слагаемого на какое-нибудь число сумма уменьшится на то же самое число. Разность дробных чисел изменяется при изменении данных чисел, т. е. уменьшаемого и вычитаемого, совершенно так же, как и разность целых чисел. 1.
вычтем теперь из 4/5 вычитаемое, т. е. 1/5 найдём:
Новая разность (3/5) больше прежней разности ( 1/2 ) на 1/10 . Значит,если уменьшаемое увеличим на какое-нибудь число, не изменяя вычитаемого, то и разность увеличится на то же самое число. 2. Очевидно, что если уменьшаемое уменьшим на какое-нибудь число, не изменяя вычитаемого, то разность уменьшится на то же самое число. Рекомендуем проверить справедливость этого утверждения, взяв для вычитания любые две дроби.
3. Перейдём теперь к вычитаемому. Пусть мы нашли разность двух дробей:
Прибавим к вычитаемому дробь 2/15:
Вычтем теперь из 14/15 новое вычитаемое 13/15:
Разность равна теперь не 1/5, a 1/15, т. е. она уменьшилась на 2/15 Значит, если вычитаемое увеличим на какое-нибудь число, то разность уменьшится на то же число. 4. Возьмём теперь две другие дроби 10/11 и 1/2 и вычтем из большей меньшую:
Если будем уменьшать вычитаемое и при этом учитывать, что произойдёт с разностью, то увидим, что при уменьшении вычитаемого на какое-нибудь число разность увеличится на то же число. 5. Найдём разность двух следующих дробей:
Увеличим одновременно уменьшаемое и вычитаемое на 1/40; и опять выполним вычитание:
Мы видим, что одновременное увеличение уменьшаемого и вычитаемого на одно и то же число не изменяет разности. Уменьшим теперь одновременно уменьшаемое и вычитаемое на 3/40 и снова выполним вычитание:
Снова разность осталась без изменения. Таким образом, можно сказать: если уменьшаемое и вычитаемое увеличим или уменьшим на одно и то же число, то разность не изменится. 1. Произведение дробных чисел подчиняется переместительному закону, т. е. произведение не изменяется от перемены мест сомножителей. Если мы возьмём две какие-нибудь дроби, например 4/5 и 2/3, то можно написать:
2. Произведение дробных чисел подчиняется сочетательному закону, т. е. произведение не изменяется, если какую-нибудь группу рядом стоящих сомножителей мы заменим их произведением. Произведение трёх дробных чисел: 1/2, 2/3, 3/4, может быть получено различной группировкой сомножителей, например:
3. Произведение дробных чисел подчиняется распределительному закону, т. е. произведение суммы нескольких дробных чисел на какое-нибудь число равно сумме произведений каждого из дробных чисел на это число. Например:
Заметим, что множитель мог быть и дробным числом. 4. Рассмотрим изменение произведения в зависимости от изменения сомножителей. Найдем произведение 14/15 и 1/2:
Увеличим первый сомножитель в 3 раза и снова выполним умножение:
Сравним этот результат с предыдущим посредством деления:
Таким образом, новое произведение в 3 раза больше прежнего. Следовательно, мы можем сказать: если один из двух сомножителей увеличим в несколько раз, а другой оставим без изменения, то произведение увеличится во столько же раз. Теперь уменьшим в 2 раза хотя бы второй сомножитель и снова выполним умножение:
Первоначальное произведение было 7/15, а новое 7/30.У этих дробей числители одинаковы, но знаменатель первой в 2 раза меньше, чем знаменатель второй; значит, первая дробь в 2 раза больше второй. Полученный результат показывает, что, уменьшая один из сомножителей в 2 раза, мы тем самым и произведение уменьшим в 2 раза. Следовательно, если один из сомножителей уменьшим в несколько раз, то произведение уменьшится во столько же раз. Частное от деления дробных чисел изменяется при изменении делимого и делителя совершенно так же, как изменяется частное от деления целых чисел. 1. Возьмем пример: Если теперь увеличим делимое, например в 2 раза, и посмотрим, как при этом изменится частное, то увидим, что новое частное будет в 2 раза больше первоначального. Таким образом, если делимое увеличим в несколько раз, то частное увеличится во столько же раз. 2. Возьмем тот же самый пример Выполнив необходимые вычисления, мы увидим, что частное уменьшилось тоже в 3 раза. Следовательно, если делимее уменьшим в несколько раз, то частное уменьшится во столько же раз. 3. Разделим теперь 7/8 на 1/4:
Если увеличим делитель (1/4), например в 2 раза, и снова выполним деление, то увидим, что частное уменьшится тоже в 2 раза. Значит, если увеличим делитель в несколько раз, то частное уменьшится во столько же раз. 4. Возьмём пример: Вычисления покажут, что если делитель уменьшить в несколько раз, то частное увеличится во столько же раз. 5. Рассмотрим, наконец, что произойдёт с частным при одновременном увеличении или уменьшении делимого и делителя в одинаковое число раз. а) Найдём частное от деления 4/9 на 5/12:
Увеличим делимое и делитель в 3 раза и снова выполним деление:
Частное осталось без изменения. б) Уменьшим в прежнем примере делимое и делитель в 4 раза и снова выполним деление:
Частное снова осталось без изменения. Таким образом, если при делении дробных чисел увеличить или уменьшить делимое и делитель одновременно в одинаковое число раз, то частное не изменится. |
. Прибавим к уменьшаемому 1/10 ; получим: 
и уменьшим делимое в 3 раза, а затем посмотрим, что произойдёт от этого с частным.
, и уменьшим делитель (1/4) хотя бы в 4 раза, затем выполним снова деление.
