|
Часть вторая. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ Глава двенадцатая. Отношение величин. § 96. Понятие об отношении. Рассмотрим задачу: Верёвка длиной в 5 м стоит 2 руб. Сколько будет стоить верёвка длиной в 20 м? На этот вопрос мы можем ответить так: найдём сначала цену одного метра верёвки: 2 руб. : 5 = 40 коп. Теперь найдём цену 20 м. 40 коп. • 20 = 800 коп. = 8 руб. Таким образом, 5 м верёвки стоят 2 руб., а 20 м верёвки стоят 8 руб. При решении этой задачи можно пойти и другим путём: сначала установить, во сколько раз вторая верёвка длиннее первой. Для этого достаточно разделить 20 м на 5 м: 20 м : 5 м = 4, или Вторая верёвка в 4 раза длиннее первой, значит и стоит она в 4 раза дороже первой (8 руб.) Таким же путём, т. е. путём деления, можно сравнить длину первой верёвки с длиной второй, и тогда получится: 5 м : 20 м, или Это значит, что первая верёвка составляет четверть второй. В этой задаче мы рассматривали верёвки различной длины: 1-я— 5 м, Мы сравнивали вторую с первой: В математике принято говорить, что отношение 20 м к 5 м равно 4, а отношение 5м к 20м равно 1/4 . Отношение величин часто приходится находить при решении самых разнообразных задач. Представим себе, что мы следили за летней погодой в течение трёх лет и записали, что в одном году летом солнечных дней было 60, а дождливых 30; в следующем году солнечных было 45, а дождливых тоже 45 и, наконец, в третьем году солнечных 40, а дождливых 50. Мы видим, что в первом году солнечных дней было больше, чем дождливых, и можем ответить на вопрос, во сколько раз одно из этих чисел больше другого, или: сколько раз второе число содержится в первом. Ответ на этот вопрос найдём посредством деления: 60 : 30 = 2, или 60/30 = 2. Обычно не принято доводить это деление до конца, т. е. находить величину отношения 2, а принято лишь связывать данные числа знаком деления, т. е. либо двоеточием, либо дробной чертой: 60 : 30 или 60/30 Эти записи удобны тем, что благодаря им мы сохраняем сравниваемые числа и не забываем их. Числа 60 и 30 дают нам ответ на вопрос, сколько было солнечных и дождливых дней, а знак деления между ними указывает на факт их сравнения. Записи, вроде сделанных выше, обычно читаются так: число солнечных дней относится к числу дождливых, как 60 к 30. Если сравниваемые числа имеют общий делитель, то их можно на него разделить. Числа 60 и 30 можно разделить на 30, и тогда наши выражения, написанные выше, примут вид: 2 :1, или 2/1, а читать их теперь можно так: число солнечных дней относится к числу дождливых, как 2 к 1. Пояснить эту мысль можно так: солнечных дней было в 2 раза больше, чем дождливых. Правда, после сделанного деления на 30 исчезли данные числа, и мы, когда видим записи 2:1, или 2/1, не можем сказать, сколько же было каких дней, но зато у нас сохранилось легко схватываемое отношение между ними. Перейдём теперь ко второму году. Выше было сказано, что во втором году было 45 солнечных дней и 45 дождливых. И в этом случае можно написать одно из выражений: 45 : 45, или 45/45 . Если разделить эти числа на 45, то отношения примут вид: 1 : 1 или 1/1 (один к одному). На третий год число солнечных дней было 40, а дождливых 50. Значит, для сопоставления тех и других можно написать: 40: 50, или 40/50 Здесь, очевидно, можно разделить эти числа на 10 и тогда получится: 4 : 5, или 4/5 . В каждом из этих трёх случаев мы находили отношение двух величин. Значит, отношением двух однородных величин называется число (целое или дробное), указывающее, во сколько раз одна величина больше другой или какую часть одна величина составляет от другой. Два числа, составляющие отношение, называют членами отношения. Первый член отношения называется предыдущим, а второй — последующим; например, в отношении 5/9 число 5 есть предыдущий член, а 9 — последующий. В общем виде отношение двух чисел (а и b) записывается так: a/b где а — предыдущий член отношения, Запомним некоторые свойства отношения. Так как отношение двух чисел мы находим посредством деления, то для него остаются справедливыми свойства, изложенные в своё время для деления. 1, Отношение не изменится, если члены его умножить или разделить на одно и то же число. Например, если имеем отношение 30 : 10, то, умножив его члены на 5, получим 150 : 50 и этим не изменим отношения, а деля члены отношения, положим, на 2, получим 15 : 5 и тоже не изменим отношения. Мы видим, что все эти три отношения могут быть заменены одним: 3 : 1. В общем виде это свойство можно записать так:
2. Первый член отношения (предыдущий) может быть любым числом, а второй член (последующий) может быть любым числом, кроме нуля. Среди рассмотренных нами случаев попадались только отношения целых чисел, но в дальнейшем мы часто будем встречаться и с отношениями дробных чисел. Например, вполне возможны такие отношения:
Отношение двух дробей можно заменить отношением целых чисел. Возьмём отношение каких-нибудь чисел: 31/2 : 2/5 , и освободим его от дробных членов. Для этого сначала обратим смешанное число (31/2) в неправильную дробь и умножим члены отношения на наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей:
Мы умножили предыдущий и последующий члены отношения на 10, от чего отношение не изменилось. Отношение дробных чисел 31/2 : 2/5 заменилось отношением целых чисел 35 : 4. Обратные отношения. Пусть нужно сравнить два отрезка АВ и CD (рис. 21).
Если первый из них содержит 5 таких единиц (например, сантиметров), каких второй содержит 3, то мы можем сравнить их путём деления 5 на 3. Результат сравнения выразится отношением 5:3, или 5/3. При сравнении отрезков АВ и CD мы считали первым АВ, а вторым CD и брали отношение АВ к CD; но можно было бы поступить наоборот, т. е. искать отношение CD к АВ, тогда у нас получилось бы такое отношение: 3:5, или 3/5. Значит, при сравнении величин мы можем получить два таких отношения, у которых предыдущий член одного будет последующим членом другого, и наоборот. Такие два отношения называются обратными. Запомните, что произведение обратных отношений равно единице. В самом деле, произведение полученных выше отношений:
Выше было сказано, что отношение получается в результате деления. В некоторых случаях это деление не доводится до конца, а только обозначается (5:3); в других случаях, например при , решении задач, вычисляют величину отношения и выражают ее одним числом; например, отношение 15 м к 3 м можно написать так: 15 : 3 = 5; отношение метра к сантиметру 100 : 1 = 100. § 97. Нахождение процентного отношения чисел. Эта задача имеет следующий смысл: выразить в процентах отношение двух данных чисел. Вы уже знаете, что отношение позволяет сравнивать числа по величине. Если, например, у меня 6 чёрных карандашей и 3 красных, то отношение 6 : 3 показывает, что чёрных карандашей в два раза больше, чем красных, а обратное отношение 3 : 6 показывает, что число красных карандашей составляет половину числа чёрных. Но эти отношения мы могли бы выразить в процентах, т. е. найти не просто отношения чисел, а их процентные отношения. Лучше всего можно выяснить этот вопрос на задачах. Задача 1. В истекшем учебном году одна школа выпустила 200 семиклассников. Из них 120 учеников поступили в восьмые классы, а остальные пошли в специальные учебные заведения. Сколько процентов учащихся пошло в восьмые классы? Можно рассуждать так: если на две сотни выпускников приходится 120 поступивших в восьмые классы, то на одну сотню их, придётся в 2 раза меньше, т. е. 60. Иными словами, из числа окончивших седьмые классы 60% перешли в восьмые классы. Это и есть процентное отношение 120 к 200. Мы рассмотрели наиболее простую задачу. Как же решаются вообще задачи такого типа? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим новую задачу. Задача 2. Нужно было вспахать 300 га земли. В первый день вспахали 120 га. Сколько процентов земли вспахали в первый день? В этой задаче требуется ответить на вопрос: сколько процентов число 120 составляет от числа 300, или, иными словами: если 300 га принять за 100%, то сколько процентов составляют 120 га. Будем рассуждать так: 300 га приняты за 100%. Чему же равен 1 %? Очевидно, он в 100 раз меньше, т. е. 300 : 100 = 3 (га). Теперь посмотрим, сколько процентов составляют 120 га. Если 3 га соответствуют одному проценту, то 120 га соответствуют стольким процентам, сколько раз 3 содержится в 120, т. е. 120 : 3 = 40. Значит, в первый день вспахали 40% земли. Чтобы получить правило решения этих задач, нужно выявить, какие действия мы сделали.
Значит, чтобы вычислить процентное отношение двух чисел, нужно найти отношение этих чисел и умножить его на 100. Теперь применим это правило к решению новой задачи. Задача 3. В доме отдыха отдыхают 200 человек, среди них 80 мужчин и 120 женщин. Найти процентное отношение числа мужчин и числа женщин к общему числу отдыхающих. Сколько процентов составляет число мужчин?
Сколько процентов составляет число женщин?
Изобразить какой-нибудь предмет на бумаге в натуральную величину почти никогда не удаётся. Если размеры предмета превышают величину листа бумаги, на котором этот предмет изображается, то такой предмет чертят в уменьшенном виде. Но всякий чертёж (или план) должен давать возможность судить об истинных размерах предмета, который на нём изображён, т. е. на таком чертеже должны быть даны указания, во сколько раз отрезки, изображённые на бумаге, меньше соответствующих отрезков в натуре. Делается это следующим образом: если ширина классной доски 1 м, а мы изображаем её на бумаге в виде 1 дм, то размер предмета на бумаге в 10 раз меньше его размера в натуре. В этом случае говорят, что предмет изображён в масштабе «один к десяти»,и пишут так: Одна из задач, решаемых при помощи числового масштаба, состоит втом, что, имея план какого-нибудь участка и зная масштаб, мы можем вычислить истинные размеры этого участка или его частей, т. е. размеры в натуре. Например, нам дан план (или карта) какой-либо местности. На нём указан числовой масштаб 1 : 1 000. Требуется найти в натуре расстояние между двумя пунктами, которое на плане равно 4 см. Принимая во внимание данный числовой масштаб, мы можем сказать, что все размеры в натуре в 1 000 раз больше соответствующих размеров на плане. Следовательно, расстояние между двумя указанными пунктами найдём, если число 4 см умножим на 1 000: 4 см x 1 000 = 4 000 см = 40 м.
|
