|
Часть вторая. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ Глава тринадцатая. Решение задач с геометрическим содержанием. § 99. Поверхность куба и прямоугольного параллелепипеда. § 99. Поверхность куба и прямоугольного параллелепипеда. Задача 1. Найти полную поверхность куба, ребро которого равно 25 см. Полная поверхность куба состоит из площадей шести равных между собой квадратов. Значит, для определения полной поверхности куба нужно вычислить сначала площадь одного квадрата (одной грани), а потом умножить найденное число на число всех граней, т. е. на 6. Решение задачи будет такое: 1) Найдём площадь одного квадрата (одной грани): 25 х 25 = 625 (кв. см). 2) Найдём площадь 6 граней: 625 х 6 = 3 750 (кв. см). Задача 2. Сколько квадратных метров фанеры потребуется для того, чтобы обить с боков деревянный ящик, имеющий следующие размеры: длина l1/5м, ширина 4/5 м и высота 2 м? Ящик имеет форму прямоугольного параллелепипеда указанных размеров. Чтобы ответить на вопрос задачи, мы должны вычислить боковую поверхность этого параллелепипеда. Боковая поверхность составляется из площадей 4 прямоугольников. Можно было бы последовательно вычислить площадь каждого прямоугольника, а затем сложить полученные результаты. Но можно указать другой, более короткий путь решения этой задачи. Если мы возьмём бумажную модель прямоугольного параллелепипеда, отнимем оба основания («дно» и «крышку»), а оставшуюся поверхность (боковую) развернём, то мы получим фигуру, изображённую на рисунке 22.
Это есть не что иное, как прямоугольник, длина которого представляет собой сумму четырёх чисел: 11/5 м; 4/5 м;11/5 м; 4/5 м, а ширина равна 2 м. Для вычисления площади этого прямоугольника поступим так:
Теперь подумаем, что представляет собой сумма чисел, заключённых в скобки. Это есть не что иное, как периметр прямоугольника, лежащего в основании параллелепипеда. Ширина же прямоугольника есть высота параллелепипеда. Отсюда можно сделать вывод: для вычисления боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда надо периметр его основания умножить на высоту. Задача 3. Мастерская наглядных пособий изготовила из картона 1 000 моделей прямоугольных параллелепипедов. Каждый параллелепипед имеет следующие размеры: длина 16 см, ширина 12 см и высота 25 см. Сколько квадратных метров картона израсходовано на эти модели? Найдём сначала полную поверхность одного прямоугольного параллелепипеда. Полная поверхность составляется из боковой поверхности и площадей двух равных между собой оснований. Запишем это так: Боковая поверхность: (16 + 12 + 16 + 12) • 25. Площадь двух оснований: 2(16 • 12). Полная поверхность: 56 • 25 + 2 • 192 = 1 784 (кв. см). Теперь найдём, сколько пойдёт картона на 1 000 таких моделей: 1 784 • 1 000 = 1 784 000 (кв. см). Выразим квадратные сантиметры в квадратных метрах:
§ 100. Площадь треугольника и четырёхугольника. Как вычисляется площадь треугольника? Мы умеем вычислять площадь прямоугольника . Попробуем сопоставить прямоугольник и треугольник.
Основанием прямоугольника можно назвать его длину, а высотой— ширину. Основанием треугольника можно назвать любую сторону, например КР, а высотой (НЕ) — отрезок, идущий от вершины противолежащего угла к основанию под прямым углом (рис. 23). В прямоугольнике ABCD проведём диагональ АС. Она разделит прямоугольник на два равных треугольника ABC и АСD. Чтобы убедиться в их равенстве, достаточно вырезать прямоугольник из бумаги, разрезать его по диагонали и наложить друг на друга два образовавшихся треугольника. Они в точности совместятся. Отсюда следует, что площадь прямоугольника вдвое больше площади каждого из двух треугольников, полученных после проведения в нём диагонали. Очевидно, можно сказать и наоборот: площадь каждого из двух треугольников, полученных из прямоугольника путём проведения в нём диагонали, вдвое меньше площади этого прямоугольника. Для подтверждения этого вывода рассмотрим ещё прямоугольник KMNP. Возьмём на стороне его MN какую-нибудь точку Н и соединим её с точками К и Р. Получится треугольник КНР, который тоже составляет половину прямоугольника. Почему? Треугольник КНР состоит из двух маленьких треугольников, которые на чертеже обозначены цифрами 1 и 2. Кроме того, если бы мы вырезали из прямоугольника треугольник КНР, то остались бы два треугольника, обозначенные цифрами 3 и 4. Треугольник 3 равен треугольнику 1, а треугольник 4 равен треугольнику 2. Если треугольник 3 приставить равной стороной МК к треугольнику 4, то составится новый треугольник, равный треугольнику КНР. Значит треугольник КНР составляет половину прямоугольника, имеющего с ним одинаковые основание и высоту. Если обозначим площадь треугольника буквой S, основание — буквой а, высоту — буквой h, то можно записать формулу для вычисления площади треугольника:
Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Задача 1. Найти площадь S треугольного ската железной крыши, если основание этого треугольника а = 61/2 м, а его высота h = 53/4 м. Решение задачи можем записать в таком виде:
Задача 2. Найти площадь четырёхугольника, разбив его на два треугольника. Эту задачу следует решать так. Надо построить произвольный четырёхугольник (рис. 24) и провести в нём одну диагональ.
Получится два различных треугольника. Затем в каждом из них провести высоту. Диагональ будет общим основанием для обоих треугольников. После этого с помощью циркуля и измерительной линейки нужно измерить основание треугольников (диагональ) и каждую высоту. Найдя эти размеры, нужно вычислить площадь каждого треугольника в отдельности и полученные числа сложить. В § 61 мы занимались вычислением объёма прямоугольного параллелепипеда. Мы говорили, что моделью параллелепипеда может служить спичечная коробка, которая всегда имеется под руками. Модель куба встречается менее часто; среди детских игрушек можно найти так называемую складную азбуку, в которой на кубиках изображены буквы нашего алфавита. Однако лучше всего изготовить модели своими руками, бережно их сохранять и пользоваться ими в тех случаях, когда в этом встретится надобность. Модели куба и прямоугольного параллелепипеда можно сделать из разных материалов— из дерева, гипса, мела, стекла, бумаги и т. д. Наиболее полезными для учебных целей являются те модели, которые делаются из плотной бумаги и допускают возможность их развёртывания. Мы рекомендуем изготовить четыре модели: кубического сантиметра, кубического дециметра, ещё одного куба любого другого размера и прямоугольного параллелепипеда. Первые две модели будут служить для наглядного представления о размерах кубического сантиметра и дециметра, а две последние будут полезны при решении задач. Развёртку (выкройку) куба можно изготовить так.
Взять лист плотной бумаги и вырезать из неё фигуру, как показано на рисунке 25. Эта фигура будет состоять из шести равных между собой квадратов. Сторона каждого квадрата пусть будет равна, например, 5 см. У трёх квадратов имеются запасные края для подклейки. Если согнуть чертёж по указанным прямым линиям и подклеить края, то получится куб. Развёртку прямоугольного параллелепипеда можно изготовить так. Возьмём, например, для параллелепипеда такие размеры: длина 7 см, ширина 5 см и высота 12 см. Берём лист плотной бумаги и вырезаем из неё фигуру, как показано на рисунке 26. Эта фигура будет состоять из двух прямоугольников с размерами 12 х 7 см, двух прямоугольников с размерами 12 x 5 см и двух прямоугольников с размерами 7 х 5 см. У трёх прямоугольников имеются запасные края для подклейки. Сгибая чертёж по указанным прямым линиям и подклеивая края, получим прямоугольный параллелепипед. |
