|
Часть третья. ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ. Глава четырнадцатая. Общие сведения о десятичных дробях. § 102. Предварительные разъяснения. § 102. Предварительные разъяснения. В предыдущей части мы рассматривали дроби со всевозможными знаменателями и называли их обыкновенными дробями. Нас интересовала всякая дробь, которая возникала в процессе измерения или деления, независимо от того, какой у нас получался знаменатель. Теперь из всего множества дробей мы выделим дроби со знаменателями: 10, 100, 1 000, 10 000 и т. д., т. е. такие дроби, знаменателями которых являются только числа, изображаемые единицей (1) с последующими нулями (одним или несколькими). Такие дроби называются десятичными. Вот примеры десятичных дробей:
С десятичными дробями мы встречались и раньше, но не указывали никаких особых присущих им свойств. Теперь мы покажем, что они обладают некоторыми замечательными свойствами, вследствие чего упрощаются все вычисления с дробями. § 103. Изображение десятичной дроби без знаменателя. Десятичные дроби обычно записывают не так, как обыкновенные, а по тем правилам, по которым записываются целые числа. Чтобы понять, каким образом записать десятичную дробь без знаменателя, нужно припомнить, как пишется по десятичной системе любое целое число. Если, например, мы напишем трёхзначное число при помощи одной только цифры 2, т. е. число 222, то каждая из этих двоек будет иметь особое значение в зависимости от того места, какое она занимает в числе. Первая двойка с права обозначает единицы, вторая — десятки, третья — сотни. Таким образом, всякая цифра, стоящая влево от какой-либо другой цифры, обозначает единицы, в десять раз большие, чем те, которые обозначены предыдущей цифрой. Если какой-либо разряд отсутствует, то на его месте пишут нуль. Итак, в целом числе на первом месте справа стоят единицы, на втором месте — десятки и т. д. Теперь поставим вопрос, какого разряда единицы получатся, если мы, например, в числе 222 с правой стороны припишем ещё одну цифру. Чтобы ответить на этот вопрос, нужно принять во внимание, что последняя двойка (первая справа) обозначает единицы. Следовательно, если после двойки, обозначающей единицы, мы, немного отступя, напишем ещё какую-нибудь цифру, например 3, то она будет обозначать единицы, в десять раз меньшие предыдущих, иными словами, она будет обозначать десятые доли единицы; получится число, содержащее 222 целых единицы и 3 десятые доли единицы. Принято между целой и дробной частью числа ставить запятую, т. е. писать так: 222,3 и читать: двести двадцать две целых, 3 десятых. Если мы после тройки в этом числе припишем ещё цифру, например 4, то она будет обозначать 4 сотых доли единицы; число примет вид: 222,34 и произносится: двести двадцать две целых, тридцать четыре сотых. Новая цифра, например 5, будучи приписана к этому числу, даёт нам тысячные доли: 222,345 (двести двадцать две целых, триста сорок пять тысячных). Для большей ясности расположение в числе целых и дробных разрядов можно представить в виде таблицы:
Таким образом, мы разъяснили, как пишутся десятичные дроби без знаменателя. Напишем несколько таких дробей. Чтобы написать без знаменателя дробь 5/10 , нужно принять во внимание, что у неё нет целых и, значит, место целых должно быть занято нулём, т. е. 5/10 = 0,5. Дробь 2 9/100 без знаменателя напишется так: 2,09, т. е. на месте десятых нужно поставить нуль. Если бы мы пропустили этот 0, то получили бы совсем другую дробь, а именно 2,9, т. е. две целых и девять десятых. Значит, при написании десятичных дробей нужно обозначать нулём недостающие целые и дробные разряды: 0,325 — нет целых, Цифры, стоящие правее запятой, принято называть десятичными знаками. Чтобы не допустить ошибки при написании десятичных дробей, нужно помнить, что после запятой в изображении десятичной дроби должно быть столько цифр, сколько будет нулей в знаменателе, если бы эту дробь мы написали со знаменателем, т. е. 0,1 = 1/10 (в знаменателе один нуль и после запятой одна цифра);
§ 104. Приписывание нулей к десятичной дроби. В предыдущем параграфе было рассказано, как изображаются десятичные дроби без знаменателей. Большое значение при написании десятичных дробей имеет нуль. Всякая правильная десятичная дробь имеет нуль на месте целых для обозначения того, что целые у такой дроби отсутствуют. Мы напишем сейчас несколько различных десятичных дробей с помощью цифр: 0, 3 и 5. 0,35 — 0 целых, 35 сотых, Выясним теперь, какое значение имеют н у л и, поставленные в конце десятичной дроби, т. е. справа. Если мы возьмём целое число, например 5, поставим после него запятую, а затем после запятой напишем нуль, то этот нуль будет обозначать нуль десятых. Следовательно, этот приписанный справа нуль на величину числа не повлияет, т. е. 5 = 5,0. Возьмём теперь число 6,1 и припишем к нему справа нуль, получим 6,10, т. е. у нас после запятой была 1/10 , а стало 10/100 , но 10/100 равны 1/10 . Значит, величина числа не изменилась, а от приписывания справа нуля изменился только вид числа и произношение (6,1 — шесть целых одна десятая; 6,10 — шесть целых десять сотых). Подобными рассуждениями мы можем убедиться в том, что приписывание справа нулей к десятичной дроби не изменяет её величины. Следовательно, можно написать такие равенства: 1 = 1,0, Если же мы припишем нули слева от десятичной дроби, то они не будут иметь никакого значения. В самом деле, если слева от числа 4,6 мы напишем нуль, то число примет вид04,6. На каком месте стоит нуль? Он стоит на месте десятков, т. е. показывает, что в этом числе нет десятков, но это ясно и без нуля. Следует, однако, запомнить, что иногда к десятичным дробям приписываются справа нули. Например, имеется четыре дроби: 0,32; 2,5; 13,1023; 5,238. Приписываем справа нули к тем дробям, у которых меньше десятичных знаков после запятой: 0,3200; 2,5000; 13,1023; 5,2380. Для чего это сделано? Приписывая справа нули, мы получили у каждого числа после запятой четыре цифры, значит, у каждой дроби знаменатель будет 10 000, а до приписывания нулей у первой дроби знаменатель был 100, у второй 10, у третьей 10 000 и у четвёртой 1 000. Таким образом, приписыванием нулей мы уравняли число десятичных знаков наших дробей, т. е. привели их к общему знаменателю. Следовательно, приведение десятичных дробей к общему знаменателю осуществляется посредством приписывания нулей к этим дробям. С другой стороны, если у какой-нибудь десятичной дроби имеются справа нули, то мы можем их отбросить, не изменяя её величины, например: 2,60 = 2,6; 3,150 = 3,15; 4,200 = 4,2. Как нужно понимать такое отбрасывание нулей справа от десятичной дроби? Оно равносильно её сокращению, и это видно, если мы данные десятичные дроби запишем с знаменателем:
§ 105. Сравнение десятичных дробей по величине. При употреблении десятичных дробей очень важно уметь сравнивать между собой дроби и отвечать на вопрос, какие из них равны, какие больше и какие меньше. Сравнение десятичных дробей выполняется иначе, чем сравнение целых чисел. Например, целое двузначное число всегда больше однозначного, сколько бы единиц ни было в однозначном числе; трёхзначное число больше двузначного и тем более однозначного. Но при сравнении десятичных дробей было бы ошибочно подсчитывать все знаки, при помощи которых написаны дроби. Возьмём две дроби: 3,5 и 2,5, и сравним их по величине. Десятичные знаки у них одинаковые, но у первой дроби 3 целых, а у второй 2. Первая дробь больше второй, т. е. 3,5 > 2,5. Возьмём иные дроби: 0,4 и 0,38. Для сравнения этих дробей полезно приписать справа к первой дроби нуль. Тогда мы будем сравнивать дроби 0,40 и 0,38. Каждая из них имеет после запятой две цифры: значит, у этих дробей один и тот же знаменатель 100. Нам нужно только сравнить их числители, но числитель 40 больше 38. Значит, первая дробь больше второй, т. е. 0,4 > 0,38. У первой дроби число десятых долей больше, чем у второй, правда, вторая дробь имеет ещё 8 сотых, но они меньше одной десятои, потому что 1/10 = 10/100 . Сравним теперь такие дроби: 1,347 и 1,35. Припишем справа ко второй дроби нуль и будем сравнивать десятичные дроби: 1,347 и 1,350. Целые части у них одинаковы, значит, нужно сравнить только дробные части: 0,347 и 0,350. Знаменатель у этих дробей общий, но числитель второй дроби больше числителя первой, значит, вторая дробь больше первой, т. е. 1,35 > 1,347. Сравним, наконец, ещё две дроби: 0,625 и 0,62473. Припишем к первой дроби два нуля, чтобы уравнялись разряды, и сравним полученные дроби: 0,62500 и 0,62473. Знаменатели у них одинаковы, но числитель первой дроби 62 500 больше числителя второй дроби 62 473. Следовательно, первая дробь больше второй, т. е. 0,625 > 0,62473. На основании изложенного мы можем сделать такой вывод: из двух десятичных дробей та больше, у которой число целых больше; при равенстве целых та дробь больше, у которой число десятых больше; при равенстве целых и десятых та дробь больше, у которой число сотых больше, и т. д. § 106. Увеличение и уменьшение десятичной дроби в 10, в 100, в 1 000 и т. д. раз. Мы уже знаем, что приписывание нулей к десятичной дроби не влияет на её величину. Когда же мы изучали целые числа, то видели, что всякий приписанный справа нуль увеличивал число в 10 раз. Нетрудно понять, почему это происходило. Если мы возьмём целое число, например 25, и припишем к нему справа нуль, то число увеличится в 10 раз, число 250 в 10 раз больше 25. Когда справа появился нуль, то число 5, которое раньше обозначало единицы, теперь стало обозначать десятки, а число 2, которое раньше обозначало десятки, теперь стало обозначать сотни. Значит, благодаря появлению нуля, прежние разряды заменились новыми, они укрупнились, они передвинулись на одно место влево. Когда нужно увеличить десятичную дробь, например, в 10 раз, то мы тоже должны передвинуть разряды на одно место влево, но такое передвижение не может быть достигнуто при помощи нуля. Десятичная дробь состоит из целой и дробной частей и границей между ними служит запятая. Слева от запятой стоит наинизший целый разряд, справа — наивысший дробный. Рассмотрим дробь: 1234,5678. Как нам передвинуть в ней разряды, хотя бы на одно место, т. е., другими словами, как нам увеличить её в 10 раз? Если мы передвинем запятую на одно место вправо, то прежде всего это отразится на судьбе пятёрки: она из области дробных чисел попадает в область целых. Число тогда примет вид: 12345,678. Изменение произошло и со всеми другими цифрами, а не только с пятёркой. Все входящие в число цифры стали играть новую роль, произошло следующее (см. таблицу):
Все разряды изменили своё наименование, и все разрядные единицы, так сказать, повысились на одно место. От этого всё число увеличилось в 10 раз. Таким образом, перенесение запятой на один знак вправо увеличивает число в 10 раз. Рассмотрим ещё примеры: 1) Возьмём дробь 0,5 и перенесём запятую на одно место вправо; получим число 5, которое в 10 раз больше 0,5, потому что раньше пятёрка обозначала десятые доли единицы, а теперь она обозначает целые единицы. 2) Перенесём в числе 1,234 запятую на два знака вправо; число примет вид 123,4. Это число в 100 раз больше прежнего потому что в нём цифра 3 стала обозначать единицы, цифра 2 — десятки, а цифра 1 — сотни. Таким образом, чтобы увеличить десятичную дробь в 10 раз, нужно перенести запятую в ней на один знак вправо; чтобы увеличить её в 100 раз, нужно перенести запятую на два знака вправо; чтобы увеличить в 1 000 раз — на три знака вправо, и т. д. Если при этом не хватает знаков у числа, то приписывают к нему справа нули. Например, увеличим дробь 1,5 в 100 раз, перенеся запятую на два знака; получим 150. Увеличим дробь 0,6 в 1 000 раз; получим 600. Обратно, если требуется уменьшить десятичную дробь в 10, в 100, в 1 000 и т. д. раз, то нужно перенести в ней запятую влево на один, два, три и т. д. знака. Пусть дана дробь 20,5; уменьшим её в 10 раз; для этого перенесём запятую на один знак влево, дробь примет вид 2,05. Уменьшим дробь 0,015 в 100 раз; получим 0,00015. Уменьшим число 334 в 10 раз; получим 33,4.
|
и т.д.
