|
Часть третья. ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ. Глава восемнадцатая. Проценты. § 120. Нахождение процентов данного числа § 120. Нахождение процентов данного числа. Мы уже занимались решением задач на проценты. Теперь мы рассмотрим несколько усложнённые задачи на проценты и укажем некоторые другие способы их решения. В расположении задач мы будем придерживаться прежнего порядка. Рассмотрим задачи, в которых нужно найти несколько процентов от данного числа. Задача 1. Цена пишущей машинки, стоившей 1200 руб., понизилась на 8,5%. На сколько рублей подешевела машинка? В задаче требуется найти 8,5% от 1 200. Число процентов выражено десятичной дробью. С этой дробью нужно поступать следующим образом: 1% обозначает 0,01, а половина процента (0,5%) обозначает половину от 0,01, т. е. 0,005. Следовательно, 8,5% есть не что иное, как 0,085. Поэтому решение задачи будет иметь следующий вид: 1 200 • 0,085 = 102 (руб.). Задача 2. Для токаря установлена норма выработки — 500 деталей в день, но он перевыполняет норму. В первый день он выполнил 105% нормы, во второй день — 107%, в третий день — 110%, в четвёртый день— 106% и в пятый день — 108%. Сколько деталей он изготовил в каждый из этих дней? Отличие этой задачи от ранее встречавшихся заключается в том, что здесь нужно найти от числа больше, чем 100%. Приступим к решению этой задачи. Вычислим выработку рабочего в первый день. В задаче сказано, что в первый день он выполнил 105% нормы. Заменим 105% десятичной дробью. Это будет 1,05. Для решения нашей задачи нужно 500 умножить на 1,05: 500•1,05 = 525. Подобным же образом найдём выработку рабочего и в последующие дни: во второй день: 500 • 1,07 = 535; в третий » 500•1,1 = 550; » четвёртый » 500 • 1,06 = 530; » пятый » 500 • 1,08 = 540. 3 а д а ч а 3. На ремонт мебели в школе затрачено 1 200 руб. 45% этой суммы пошло на оплату труда столярам, а остальная часть — на материалы. Сколько было израсходовано на оплату труда и сколько на материалы? Найдём сначала, сколько уплатили столярам. Из условия задачи видно, что им уплатили 45% от 1 200 руб. Вычислим 1% от 1 200 руб., разделив 1 200 на 100, а затем вычислим 45%, умножив полученное частное на 45. Результат запишем так:
Из этой записи видно, что для нахождения нескольких процентов от числа нужно это число разделить на 100 и умножить на число процентов. Эту мысль можно записать в виде формулы; обозначим искомое число буквой b, данное в задаче число — буквой а и число процентов буквой р. Таким образом, формула примет вид:
Теперь нам нужно ещё найти стоимость материалов. Это можно сделать по-разному. Поступим так. Найдём сначала, сколько процентов составляет стоимость материалов от общей суммы ремонта. Так как на рабочую силу израсходовано 45%, то на материалы: 100 % —. 45 % = 55 %. Следовательно, нам нужно найти 55% от 1 200 руб. Мы можем воспользоваться теперь формулой. В данном случае вместо а подставим 1 200, а вместо р число 55. Получим следующее:
Таким образом, из 1200 руб. рабочим уплатили 540 руб., а на материалы израсходовали 660 руб. Мы решили несколько задач на вычисление процентов. Покажем, как можно решать задачи с помощью таблицы. Таблица для вычисления процентов.
Допустим, что вкладчик имеет в сберегательной кассе на книжке 8 754 руб. Кассы дают доход 2% в год. Сколько дохода получит вкладчик через год после вложения этой суммы? Нам нужно вычислить 2% с указанной суммы; поэтому в таблице мы должны смотреть на столбец, где указаны суммы, и на столбец, где написано вверху 2%. Рассуждаем так: нужно найти 2% от 8 754. По таблице находим 2% от 8 000, это будет 160, затем 2% от 700, это будет 14, далее 2% от 50, — 1 и, наконец, от 4, — 0,08. Складывая эти числа, получаем 175,08 руб. Рекомендуем сделать вычисления и довести таблицу до 10%. § 121. Нахождение числа по его процентам. Решим несколько задач на нахождение числа, если известна его часть, составляющая данное число процентов. Задача 1. В школе на родительском собрании отсутствовало 12 человек, что составляет 7,5% от общего числа родителей. Сколько всего родителей должно было присутствовать на собрании? Заменим 7,5% десятичной дробью. Это будет 0,075. Значит, 12 человек, отсутствовавших на собрании, составляют 0,075 от общего числа родителей. Таким образом, в этой задаче нужно найти число по данной его дроби. Выполним это: 12 : 0,075 = 160. Следовательно, на родительском собрании должно было присутствовать 160 человек. 3 а д а ч а 2. Завод должен был изготовить по месячному плану некоторое число моторов. За месяц он выполнил план на 116% и дал 1 740 моторов. Каков был месячный план? Можно рассуждать так: план представляет собой 100%, в задаче дано 116%, что выражается числом 1 740. Вычислим сначала 1% (делением), а потом 100% (умножением): 1) 1740 : 116 = 15; 2) 15 • 100 = 1500. Итак, по плану надо было изготовить 1 500 моторов. Замечание. Можно поставить вопрос: почему эта задача появилась среди задач на вычисление числа по его процентам? Мы привыкли среди подобных задач встречать такие, в которых число процентов меньше 100, например: «Завод за определённое время изготовил 900 моторов, что составляет 60% плана. Каков был план?» В этой задаче нужно найти число по его дроби, поэтому достаточно 900 разделить на 0,6, что в результате даёт нам 1 500. Здесь дробь от числа, или «доля» числа, составляла 60%, т. е. 0,6. Во второй же задаче была дана необычная доля (116%, или 1,16), она была больше самого числа. Однако в математике и такая задача не считается исключением и её можно решать обычным способом, т. е. 1740 : 1,16 = 1 500. 3 а д а ч а 3. Вспомним третью задачу предыдущего параграфа. В ней была дана общая сумма ремонта (1 200 руб.) и число процентов, израсходованных из этой суммы на оплату труда (45%), а ставился вопрос, сколько денег было израсходовано на оплату труда и на материалы. Теперь представим себе обратную задачу. Пусть нам известно, что на оплату труда израсходовано 540 руб. и что это составляет 45% от общей суммы ремонта. Поставим вопрос: во что обошёлся ремонт мебели? Задача требует, зная 45% числа, найти 100% его, т. е. всё число. Поступим так: найдём сначала 1% (путём деления данного числа на 45), а потом найдём 100% (умножением):
Из этой записи видно, что для нахождения всего числа по нескольким данным его процентам нужно число, соответствующее нескольким процентам, разделить на число процентов и умножить на 100. Эту мысль можно записать в виде, формулы. Для этого обозначим искомое число буквой а, данное в задаче число, соответствующее нескольким процентам, — буквой b, а число процентов— буквой р. Тогда формула примет вид:
Воспользуемся этой формулой для того, чтобы, зная стоимость материалов (660 руб.) и соответствующее ей число процентов (55%), найти снова всю сумму денег, затраченных на ремонт:
§ 122. Нахождение процентного отношения чисел. Рассмотрим задачи на нахождение процентного отношения чисел. 3 а д а ч а 1. На собрании присутствовали 200 человек. За предложенную резолюцию голосовали 151 человек. Сколько процентов участников собрания голосовало за резолюцию? В задаче требуется найти, сколько процентов составляет число 151 от 200. Мы уже решали подобные задачи и установили, что в этом случае нужно первое число разделить на второе и полученное частное умножить на 100, т. е.
Ответ. За резолюцию голосовало 75,5%. 3 а д а ч а 2. По плану рабочий должен был изготовить 800 деталей, а изготовил 996 деталей. Сколько процентов плана он выполнил? Из условия задачи видно, что рабочий перевыполнил свой план, т. е. он выполнил больше 100% плана. Решить эту задачу можно таким же способом, как и предыдущую, т. е.
Ответ. Рабочий выполнил 124,5% плана. 3 а д а ч а 3. На 10 кг муки получилось 4,5 кг припёка. Сколько процентов составляет припёк от данного количества муки? Попробуем составить формулу для решения этой задачи. Припомним указание, сделанное к первой задаче. Там было сказано, что для решения подобных задач нужно разделить одно из чисел на другое (взять их отношение) и полученное частное умножить на 100. Обозначим одно из чисел буквой а, другое — буквой А, число процентов — буквой р. Тогда формула примет вид:
Применим её к решению нашей задачи, подставив в неё вместо букв числа из задачи:
Ответ. Припёк составляет 45%. § 123. Таблицы процентных отношений. Процентное отношение, как видно из предыдущего параграфа, иногда выражается не целым, а дробным числом. Пример. Найти процентное отношение числа 19 к числу 70:
Здесь при делении получается периодическая дробь с периодом из 6 цифр. Мы не стали выписывать весь этот период, а ограничили вычисление сотыми долями. Задачи на нахождение процентного отношения чисел широко распространены. Когда мы даём проценты выполнения плана, успеваемости учащихся, прироста населения, роста заработной платы, увеличения посевных площадей и т. д., то мы решаем задачи на нахождение процентного отношения двух чисел. Для облегчения вычислений и экономии времени составлены таблицы процентных отношений. Такие таблицы занимают несколько страниц, но, чтобы дать о них представление, мы покажем здесь лишь маленькую частичку их.
В этой части таблицы можно найти процентные отношения чисел от 61 до 70 к числам, равным им или большим их. Здесь можно найти процентные отношения 61 к 65, к 67 и т. д., процентные отношения 64 к 66, к 68 и т. д. Найдём, например, чему равно процентное отношение 62 к 64. В первом столбце в третьей строке найдём число 62; на пересечении этой строки и столбца с числом 64 найдём процентное отношение 62 : 64. Оно равно 96,88. Проверим вычислением это отношение:
Вычисленное нами число почти совпадает с табличным. Воспользуемся теперь нашей таблицей для решения задачи: «Для отопления дома требуется заготовить 70 т угля. На 1 октября подвезли 65 т. Сколько процентов топлива доставлено?» Решение задачи должно состоять в нахождении процентного отношения доставленного топлива к общему количеству, которое нужно заготовить, т. е. числа 65 к числу 70. Это отношение мы можем найти в таблице, оно равно 92,86%. В пятой главе были показаны образцы простейших диаграмм. Рассмотрим ещё некоторые диаграммы. Здесь данные для построения диаграмм будут выражены в процентах. 3 а д а ч а 1. В десятиклассной школе 300 учащихся. В I классе учится 15% всех учащихся, во II классе тоже 15%, в III классе 14%, в IV классе тоже 14%, в V классе 12%, в VI классе 8%, в VII классе 6%, в VIII классе 6%, в IX классе 5% и в X классе тоже 5%. Построить линейную диаграмму состава учащихся по классам и вычислить, сколько учеников в каждом классе. Диаграмма будет иметь вид, указанный на рисунке 33.
Число учеников в каждом классе вычислите сами. Задача 2. Сельскохозяйственное учебное заведение имеет опытный участок. 30% его занято зерновыми культурами, 25%— плодовыми деревьями, 15%—ягодными растениями, 20%—овощами и 10% — прочими культурами. Построить диаграмму распределения различных культур. Начертим две диаграммы. Первая будет столбчатая (рис. 34). Ширина всех столбиков одинаковая, и она не принимается во внимание. Нужно рассматривать только высоту столбиков.
Вторая диаграмма (рис. 35) построена иначе. Она представляет собой квадрат, разделённый на 100 квадратиков. Каждый квадратик соответствует одному проценту. Тогда 30 квадратиков представляют 30 %, 25 квадратиков — 25%, 15 квадратиков — 15%, 20 квадратиков — 20% и 10 квадратиков — 10%.
Задача 3. Клубу выдали 10 000 руб. Эти средства были израсходованы следующим образом: на пополнение библиотеки 25%, на лекционную работу 40%, на радиофикацию 8%, на инвентарь 12% и на оборудование сцены 15%. Изобразим эти данные с помощью секторной диаграммы. Под секторной диаграммой разумеется чертёж, на котором каждому данному числу соответствует сектор, т. е. часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой. Для построения таких диаграмм удобно пользоваться «процентным транспортиром». Он представляет собой круг, разделённый по окружности на 100 равных частей (рис. 36).
Чтобы построить диаграмму с помощью процентного транспортира, ставят на бумаге точку и из неё проводят вправо прямую. Затем накладывают процентный транспортир на бумагу так, чтобы его центр совпадал с отмеченной точкой, а начальный радиус (идущий из центра к нулю) совпадал с прямой. Чтобы отложить 25%, ставим на бумаге точку против того места, где на транспортире стоит число 25, и к этой точке из центра проводим радиус. После этого можно было бы повернуть транспортир против движения часовой стрелки, совместить начальный радиус с отрезком, проведённым к 25%, и потом отложить 40%; но можно такого поворота и не делать, а поступить иначе. Отложив 25%, найти сумму 25% + 40% = 65%, поставить точку на 65-м делении транспортира и соединить центр с этой точкой. Подобным образом проводятся и остальные отрезки. Сколько денег пришлось на каждое мероприятие, вычислите сами. |
