ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА

В связи с тем что в программу по геометрии для 9—10 классов включена тема «Решение треугольников», издательство «Просвещение» по предложению Министерства просвещения РСФСР выпускает дополнительное пособие по тригонометрии.

Представляемое пособие содержит соответствующий программе учебный материал, взятый из учебника С. И. Новосёлова «Тригонометрия», а упражнения — из «Сборника задач по тригонометрии для 9 и 10 классов средней школы» П. В. Стратилатова.

В целях возможного использования полных изданий учебника С. И. Новосёлова и задачника П. В. Стратилатова в настоящем пособии введена двойная нумерация параграфов учебника и номеров задач. В скобках указана старая нумерация.

Данное пособие подготовлено к изданию П. В. Стратилатовым.

Введение

§1 (35.) Элементы треугольника

В геометрии рассматриваются элементы треугольника: стороны, углы, периметр, площадь, биссектрисы, медианы, высоты и т. д.

Стороны треугольника и его углы называются основными элементами.

Если А, В, С — вершины углов треугольника, то принято этими же буквами обозначать и сами углы (и их величины); строчными буквами a, b и с принято обозначать стороны (и их величины), противолежащие углам, которые обозначены теми же прописными буквами (черт. 1).

Допустимые значения основных элементов треугольника должны удовлетворять следующим условиям:

1. Углы треугольника положительны и в сумме составляют 180°:

A > 0,    В >0,    С >0    и    A + B + С = 180º.

2°. Длины сторон треугольника положительны, и всякая сторона меньше суммы двух других сторонх

0 < а < b + с;    0 < b < с + а;    0 < с < а + b.

§ 2 (33). Натуральные таблицы и таблицы логарифмов
тригонометрических функций

Для практических вычислений пользуются таблицами приближённых значений тригонометрических функций и их логарифмов.

В школьных вычислениях применяются четырёхзначные таблицы В. М. Брадиса. В более точных вычислениях применяются таблицы значений функций с большим числом значащих цифр (например, пятизначные, семи значные таблицы).

Натуральные таблицы. Таблицы, в которых даются значения тригонометрических функций, называются натуральными тригонометрическими таблицами.

В таблицах VIII (см. таблицы Брадиса) даны приближённые значения с четырьмя десятичными знаками синусов и косинусов углов от 0 до 90° через каждые 6'. Формулы дополнительных аргументов:

sin (90° — α ) = cos;      cos (90° — α ) = sin α 

показывают, что для вычисления значений синуса и косинуса могут служить одни и те же таблицы. Так, например, sin 26° и cos 64° имеют одно и то же значение. В таблицах В. М. Брадиса значения аргумента синуса расположены в порядке возрастания сверху вниз, а значения аргумента косинусов —снизу вверх. Приближённое значение синуса или косинуса угла, содержащего целое число градусов, дано в таблице. Так, например, значение sin 33° ≈ 0,5446 помещено рядом с пометкой 33° в крайнем левом столбце «А». Значение cos 33° ≈ 0,8387 помещено рядом с пометкой 33° в крайнем правом столбце «А».

Чтобы найти sin 33°12', отыскиваем в левом столбце «А» пометку 33°, а в самой верхней строке — пометку 12'. Значение sin 33°12' ≈ 0,5476 находится на пересечении соответствующих строки и столбца. Значение cos 33°12' ≈ 0,8368 находится так же, с той лишь разницей, что пометку 33° следует искать в крайнем правом столбце «А», а пометку 12' — в самой нижней строке.

Пусть требуется найти sin 33°14'. Из таблиц находим sin 33°12' ≈ 0,5476. Так как функция sin α  в промежутке от 0 до 90° возрастает, то sin 33°14' > sin33°12'. Следовательно, к значению sin 33 12' надо прибавить поправку на 2', которая помещена в таблице поправок справа от основной таблицы. В строке 33° и в столбце поправок с пометкой.2' находится число 5, которое следует прибавить к четвёртому десятичному знаку sin 33°12'. Таким образом, sin 33°14' ≈ 0,5481. Если требуется найти sin 33°17', то из таблиц находим sin 33°18' ≈ 0,5490 и из четвёртого десятичного знака вычитаем поправку на 1', равную 2. Итак, sin 33°17' ≈ 0,5488.

Значения, косинуса находятся при помощи таблиц тем же способом, но со следующим отличием: функция cos α    убывающ а я (в промежутке от 0 до 90°); поэтому, если косинус найден для меньшего значения аргумента, надо поправку вычитать (а не прибавлять); если же косинус найден для большего значения аргумента, то надо поправку прибавлять (а не вычитать). Так, например, чтобы вычислить cos 33°14', находим по таблицамcos 33°12' ≈ 0,8368 и от последнего десятичного знака отнимаем поправку на 2', равную 3; итак, cos 33°14' ≈ 0,8365. Чтобы вычислить cos 33°17', следует к последнему знаку cos 33°18' ≈ 0,8358 прибавить поправку на 1', равную 2. Итак, cos 33°17' ≈ 0,8360.

В таблице IX В. М. Брадиса даны значения тангенса от 0 до 76° через каждые 6'. В таблице X даны значения тангенса от 76 до 89° через 1'.

Наличие более подробной таблицы X для тангенсов углов, близких к 90°, объясняется тем, что для этих углов разность между двумя соседними табличными значениями тангенса — так называемая табличная разность — изменяется очень быстро. По тем же таблицам IX и X находят значения котангенса. Правила прибавления и вычитания поправок те же, что и для таблиц значений синуса и косинуса: следует помнить, что в интервале (0°, 90°) тангенс возрастает, а котангенс убывает.

Для нахождения угла по данному значению его тригонометрической функции применяются те же самые таблицы значений тригонометрических функций. Покажем это на примерах.

1. Найти острый угол α , зная sin α  = 0,1016.

Решение.   В таблице VIII находим число, ближайшее к 0,1016; это есть число 0,1011, помещённое в строке с пометкой 5º и в столбце с пометкой 48'. Заданное значение синуса 0,1016 больше, чем 0,1011; поэтому истинное значение угла больше, чем 5°48', так как sin α  есть возрастающая функция в интервале (0°, 90°). В таблице поправок число 6 является ближайшим к числу 5, на которое отличаются последние десятичные знаки чисел 0,1016 и 0,1011. Прибавив соответствующую поправку, равную 2', получим:

α  = arc sin 0,1016 ≈ 5°50'.

2. Найти β = arccos ( —0,5375).

Решение. Искомый угол оканчивается во второй четверти, так как cos β ≈  —0,5375 отрицателен. Вычислим острый угол α, дополняющий искомый до 180°; имеем:

cos α = cos (180° — β ) = — cos β  = — ( —0,5375) = 0,5375.

Значению 0,5375, ближайшему к 0,5375, соответствует угол 57°30'. Разности 2 единицам четвёртого десятичного знака соответствует поправка на 1'. Эту поправку следует вычесть. Итак,

α  = 57°29'   и  β ≈ 180° — 57°29' = 122° 31'.

При вычислениях по натуральным таблицам целесообразно представлять произведение тригонометрических функций в виде суммы.

При вычислениях следует соблюдать правила приближённых вычислений.

Так, например, если приближённые числа даны с тремя значащими цифрами, то при выполнении умножения и деления значения функций, взятые из таблиц, следует округлить, сохранив четыре значащие цифры (четвёртая цифра сохраняется в качестве «запасной»), все промежуточные результаты вычислений следует округлять, сохраняя четыре значащие цифры, окончательный результат следует округлить  до т р ё х  значащих цифр. При сложении приближённого числа, данного, например, с пятью десятичными знаками со значением тригонометрической функции, взятым из четырёхзначных таблиц, следует округлить приближённое число, сохранить в нём четыре десятичных знака. Если при вычислениях, требующих большой точности, такое округление недопустимо, следует воспользоваться более точными таблицами.

Примеры.

1. Вычислить по четырехзначным таблицам sin 70° cos 55°.

Решение. Преобразуем произведение в сумму:

По формулам приведения sin 125° — sin (180°—125°) = sin 55°.
Значения sin 55° ≈ 0,8192 и sin 15° ≈ 0,2588 находим по таблицам. Итак:

sin70° cos55° ≈  ¹/₂ (0,8192 + 0,2588) = 0,5390.

2. Вычислить произведение S = 0,721 sin² 31°12'.

Решение. Преобразуем квадрат синуса в разность, воспользовавшись формулой
,  получим:

S = 0,721 sin² 31°12' =  ¹/₂ • 0,721 (1 — cos 62° 24').

По таблицам найдём cos 62°24' ≈  0,4633 и далее 1 — cos 62°24' ≈  0,5367. Следовательно,

S = ¹/₂ • 0,721 • 0,5367 ≈  0,1935 ≈  0,194.

Логарифмические таблицы. Для вычислений при помощи логарифмов составлены таблицы логарифмов значений тригонометрических функций. В таблицах Брадиса XV—XIX эти логарифмы даны с четырьмя десятичными знаками для значений аргумента в интервале (0°, 90°).

Логарифмическая функция при основании 10 является возрастающей; поэтому большему значению выражения, находящегося под знаком логарифма, соответствует большее значение логарифма. Так как в первой четверти функции sin х и tg х возрастают, а функции cos х и ctg х убывают, то и функции lg sin х и lg tg х также возрастают,
а функции lg cos х и lg ctg х убывают.

Логарифмические тригонометрические таблицы устроены так же, как и натуральные; правила пользования ими те же.

1. Таблицы служат для вычисления значений логарифмов тригонометрических функций и для вычисления углов по значениям логарифмов их тригонометрических функций.

2. Для вычисления логарифмов синусов и косинусов (тангенсов и котангенсов) служит одна и та же таблица.

3. Значения логарифмов даны для углов через каждые 6'. Поправки на 1', 2' и 3' даны в специальных таблицах справа от основной таблицы. Прибавление и вычитание поправок производится с учётом того, что в интервале (0°', 90°) функции lg sin х и lg tg х возрастают, a lg cos х и lg ctg х убывают.

4. Для промежутков, в которых табличная разность изменяется быстро, значения функций даны через 1'. Такова, например, таблица XV значений логарифма синуса (косинуса) для углов от 0 до 14° (от 76 до 90°).

5. При вычислениях по четырёхзначным таблицам логарифмов приближённые числа следует округлить, сохранив четыре значащие цифры.

6. При вычислении произведений, содержащих отрицательные сомножители, следует вычислить произведение абсолютных величин и взять его с надлежащим знаком (по числу отрицательных сомножителей).

На чертеже 2 представлен график функции у = lg sin х. Этот график построен так: в 1 четверти 0 < х < ^π/₂, промежуточный аргумент и = sin х возрастает от 0 до 1,
а функция у = lg sin х  = lg и возрастает от — ∞ до 0. Для построения точек графика можно составить, например, следующую таблицу:

взяв (с округлением) значения lg sin х из таблицы XV Брадиса.

В промежутке ^π/₂ < х < π  функция lg sin х убывает от 0 до — ∞ , так как во II четверти sin х убывает от 1 до 0.

Сегмент  — π < х < 0 не принадлежит области определения функции, так как в нижней полуокружности   sin х < 0   и   lg sin х не имеет смысла.

Функция lg sin х периодическая с периодом 2π, так как

lg sin (х + 2π) ≈  lg sin х.

График состоит из отдельных периодически повторяющихся линий.

Упражнения

1 (336). 1) Найти:

a) sin 17°23';   б) cos28°32';   в) cos^π/₈ ;   г) cos(— 1,2538);

д) sin (— ^2π/₁₇);   е) sin 2,1730,   ж) tg(—70°41');   з) tg ^3π/₁₁

и) tg 3,017;    к) ctg ^2π/₉;    л) ctg 42°55';   м) ctg 0,2613.

2) Найти:

a) arc sin (—0,1217);   б) arc sin 0,5670;   в) arc cos ^π/₁₂;

г) arc cos ( —0,7328);    д) arc tg 10,35;   е) arc tg ( —12,31);

ж) arc ctg 2,175;    з) arc ctg 0,6830.

3) Найти наименьшее положительное значение α , если:
a) sin α  = —0,7236; б) cos α  ≈ 0,3892; в) tg α  ≈ 0,7524; г) ctg α  = —1,340.

4) Найти наиболее рациональным способом значения следующих выражений:

а) sin 42° • cos 12°;   б) cos 38° • cos 52°;   в) sin 82° • sin 66°;

г) sin 27°40' • cos 70°48';   д) cos 48° 14' • cos 82° 16';

е) sin 72°26' • sin 17°34';   ж) sin 0,2347 • cos 1,2459;

з) sin 1,3841 • sin 2,1176.

5) То же:

2 (337). Найти по таблицам:

1)   а) lg cos 21°37';   б) lg cos 63°42';   в) lg cos 21°11';

       г) lg cos 47°12';    д) lg cos 53°15';   e) lg cos 1° 23'.

2) a) lg sin 12°8';     б) lg sin 50°22';    в) lg sin 44°53';

     г) lgsin 62°47';    д) lg sin 30°46';    e) lg sin 88°34'.

3)   a) lg tg 27°41';    б) lg tg 16°7';      в) lg tg 70°43';

      г) lg tg 12°15';    д) lg tg 84°19';    e) lg tg 89°10'.

4)   a) lg ctg 80°53';   б) lg ctg 20°26';   в) lg ctg 77°21';

       г) lg ctg 15°38';    д) lg ctg 87°59';    e) lg ctg 15°40'.

Найти (положительный) острый угол х, если:

5) lg cos х равен: 1,4001; 1,4634; 1,6747; 1,9341; 1,2711.

6) lg sin х равен: 1,8615; 2,9301; 1,9497; 1,3494; 1,5080.

7) lg tg х равен: 2,7865; 0,0066; 1,4608; 0,0771; 0,0002.

8) lg ctg х равен: 1,0368; 1,5018; 0,3738; 1,3387; 1,2435.

3 (338). Решить каждое из данных простейших тригонометрических уравнений: а) найти главное значение угла х и б) выписать формулу множества всех решений:

1) sin х = 0,681;    2) sin х = ⁵/₁₁;    3) sin х = — 0,3721;

4) tg х = ¹⁸/₃₅;        5) tg х = l,45;   6) tg х = — 2,48;

7) cos х = 0,7621;    8) cos x = — 0,5688;

9) ctg x = 3;    10) ctg x = —0,731.

4 (339). Определить главное значение x из условий (использовать таблицы натуральных значений и логарифмов тригонометрических функций):

1) tg x = tg 40° + tg 70°;      2) cos x = 1 — ctg 66°12';

3) cos x = 1 + tg 117°;         4) tg x = sin 44° + cos 166°.

5 (340). Вычислить наиболее рациональным способом значения выражений:

6 (346). Вычислить при помощи логарифмической линейки:

1) а) 3,5 sin 25°;      б) 8,3 sin 72°;   в) 1,2 sin 3°.

2) а) 2,8 tg 68°30';    б) 6,3 tg 29°;    в) 7,4 tg 2°30'.

3) а)  ^5,4/_{sin 14°}     б) ^7,3/_{sin 43°}       в) ^9,1/_{sin 63°} 

4) а)  ^12,3/_{tg 53°30'}   б) ^8,5/_{tg 67°};    в) ^5,7/_{tg 16°};    г) ^12,8/_{tg 28°30'}

5) a) 4,7 cos 37°; б) 7,2 ctg 57°; в) ^2,8/_{cos 71°}  r) ^6,7/_{ctg 62°}.

cos 71 ctg 62°

6) a) sin 22° • sin 73°;      6) sin 41° • tg 15°30';

в) cos 29° • sin 41°;         г) tg 32° • tg 53°;

д) tg 62° • cos 25°;          e) cos 53° • cos 64°;

ж) sin 4° • sin 57°;           з) tg 12° • tg 4°30'.

7) а) ^{sin 73°}/_{sin 31°} ;    6) ^{sin 8°}/_{sin 4°30'} ;   в)  ^{sin 16°}/_{sin 8°}

7 (343). Доказать, что тригонометрические функции углов косоугольного треугольника удовлетворяют следующим соотношениям:

1) sin А + sin В + sin С = 4 cos ^A/₂ • cos ^B/₂ • cos ^C/₂.

Указание. Воспользоваться формулами для преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.

2) 4 sin ^A/₂  •  sin ^B/₂ • cos ^C/₂ = sin А + sin В + sin С.

Указание. Воспользоваться формулами для преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

3) cos А + cos В + cos С = 1 +  4 sin ^A/₂  •  sin ^B/₂ • sin ^C/₂ .

2 2 2

4) 4 cos ^A/₂ • cos ^B/₂ • sin ^C/₂ — 1 = cos А + cos В — cos С.

5) tg А + tg В + tg С = tg А • tg В • tg С.

6) ctg ^A/₂ + ctg ^B/₂ + ctg ^C/₂ = ctg ^A/₂  • ctg ^B/₂  • ctg ^C/₂.

7) sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin А  •  sin В  •  sin C.

8) cos 2A + cos 2B + cos 2C = — 1 — 4 cos А  •  cos В  •  cos C.

9) cos² А + cos² В + cos² С = 1 — 2 cos А • cos В • cos C.

10) sin² A + sin² В + sin² С = 2 + 2 cos А • cos ß • cos C.

11) Доказать, что если имеет место равенство

tg ^α/₂ • tg ^β/₂+ tg ^α/₂• tg  ^γ/₂ + tg ^β/₂ • tg  ^γ/₂ =  l,

где ^α/₂ , ^β/₂ и  ^γ/₂   — острые углы, то

α + β + γ = 180°.

12) Доказать, что если имеет место равенство

ctg α • ctg β + ctg α • ctg γ + ctg β • ctg γ = 1,

где α , β , γ  — острые углы, то

α + β + γ = 180°.

ОТВЕТЫ