Глава I. Решение прямоугольных треугольников
 

§3 (37). Основные соотношения и задачи

В тригонометрии рассматриваются задачи, в которых требуется вычислить те или иные элементы треугольника по достаточному количеству численных значений заданных его элементов. Эти задачи обычно называются задачами на решение треугольника.

Пусть ABC — прямоугольный треугольник, С — прямой угол, а и b — катеты, противолежащие острым углам А и В, с — гипотенуза (черт. 3);

тогда имеем:

Косинус острого угла есть отношение прилежащего катета к гипотенузе:

соs A = ^b/_c,   cos В =  ^a/_c      (1)

Синус острого угла есть отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sin A = ^a/_c,  sin B = ^b/_c      (2)

Тангенс острого угла есть отношение противолежащего катета к прилежащему:

tg A = ^a/_b,     tg B = ^b/_a     (3)

Котангенс острого угла есть отношение прилежащего катета к противолежащему:

ctg A = ^b/_a,     ctg B = ^a/_b     (4)

Сумма острых углов равна 90°.

Основные задачи на прямоугольные треугольники.

Задача I. Даны гипотенуза и один из острых углов, вычислить прочие элементы.

Решение. Пусть даны с и А. Угол   В = 90° — А    также известен; катеты находятся из формул (1) и (2).

а = с sin A,     b = с cos А.

Задача II. Даны катет и один из острых углов, вычислить прочие элементы.

Решение. Пусть даны а и A. Угол    В = 90° — А    известен; из формул (3) и (2) найдём:

b = a tg B    (= a ctg A),      с = ^a/_{sin A}

Задача III. Даны катет и гипотенуза, вычислить остальные элементы.

Решение. Пусть даны а и с (причём а < с). Из равенств (2) найдём угол А:

sin A = ^a/_c и A = arc sin ^a/_c,  

затем    

В = 90° — А   

и, наконец, катет b:

b = с • cos А ( = с sin В).

Задача IV. Даны катеты а и b найти прочие элементы.

Решение. Из равенств (3) найдём острый угол, например А:

tg А = ^a/_b , А = arc tg ^a/_b,

угол В = 90° — А,

гипотенуза:    c = ^a/_{sin A}   ( = ^b/_{sin B}   ; = ^a/_{cos B} )

Ниже приводится пример решения прямоугольного треугольника при помощи логарифмических таблиц*.

* Вычисление элементов прямоугольных треугольников по натуральным таблицам известно из курса геометрии VIII класса.

При вычислениях по логарифмическим таблицам следует выписать соответствующие формулы, прологарифмировать их, подставить числовые данные, по таблицам найти требуемые логарифмы известных элементов (или их тригонометрических функций), вычислить логарифмы искомых элементов (или их тригонометрических функций) и по таблицам найти искомые элементы.

 Пример. Даны катет а = 166,1 и гипотенуза  с = 187,3; вычислить острые углы, другой катет и площадь.

Решение. Имеем:

sin A = ^a/_c;  lg sin A = lg a — lg c;  

A ≈  62°30',   В ≈  90° — 62°30' ≈  27°30'.

Вычисляем катет b:

b = a tg B ;  lg b = lg b + lg tg B ;    

Площадь треугольника можно вычислить по формуле

S = ¹/₂ ab = 0,5 a² tg В;   

Для контроля подсчитаем угол А на логарифмической линейке:

А =  arc sin ^a/_c = arc sin ¹⁶⁶/₁₈₇  ≈  62°.

Примечание. Катет b можно вычислить по теореме Пифагора, пользуясь таблицами квадратов и квадратных корней (табл. III и IV):

b = √187,3² — 166,1² = √35080 — 27590 ≈ 86,54.

Расхождение с ранее полученным значением b= 86,48 объясняется погрешностями таблиц, в которых даются приближённые значения функций. Результат 86,54 является более точным.