Г л а в а П. Решение косоугольных треугольников

При решении прямоугольных треугольников мы использовали только определения основных тригонометрических функций. Для решения же косоугольных треугольников нам потребуется знание зависимостей между сторонами и тригонометрическими функциями углов косоугольных треугольников, известные как теоремы синусов, косинусов и тангенсов. К выводу этих теорем мы и переходим.

В дальнейшем мы будем пользоваться следующими обозначениями: a, b и с — стороны треугольника; А, В и С — противолежащие им углы; S — площадь; 2р — периметр; R — радиус описанного круга; r — радиус вписанного круга; h_а, l_а и m_а — высота, биссектриса и медиана, соответствующие стороне а.

§4 (38). Теорема синусов

Теорема. Во  всяком  треугольнике  стороны  пропорциональны синусам противолежащих углов:

Доказательство. Опишем круг около данного треугольника ABC . Пусть R — радиус этого круга. Возьмём одну из вершин треугольника, например А; через одну из других вершин, например через В, проведём диаметр ВА' описанного круга. Вспомогательный треугольник А'ВС прямоугольный, так как вписанный угол А'СВ опирается на диаметр. Из вспомогательного треугольника найдём:

а = 2Rsin A'.

Если   угол   А  острый, то А = А', так как вписанные углы A и A' опираются на одну и ту же дугу.
Если угол А тупой, то угол А' острый, измеряющийся половиной дуги ВАС:

Итак, или A = А', или A' =   — A, в обоих случаях    sin A' = sin A,    а потому

а  = 2R sin A. (1)

Если угол A  прямой, то а = 2R, sin A = 1 и равенство (1) также справедливо.

Аналогичные равенства найдём и для прочих углов В и С. Итак,

а = 2R sin A;  b = 2R sin В;  с = 2R sin С,   откуда

^{= 2R}

Следствие. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру круга, описанного около треугольника.

Упражнения

76 (314).

ОТВЕТЫ