|
Г л а в а П. Решение косоугольных треугольников
§6(40). Формулы для вычисления площади треугольника
1. Из геометрии известна формула Г е р о н а:
S = \/р (р - а)(р - b) (р - с) ,
(где р = (а+ b+c)/2 -полупериметр ), позволяющая вычислять площадь треугольника по его сторонам.
2. Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними:
S = 1/2 bc sin A.
Доказательство. Из геометрии известно, что площадь треугольника равна половине произведения стороны треугольника на высоту, опущенную на эту сторону из противоположной вершины.
S = 1/2 b · hb (1)
|
Если угол А острый, то из треугольника АВН найдём ВН = hb = с sin A.
Если угол A тупой, то
ВН = hb = с sin ( -A) = с sin A.
Если угол A прямой, то sin A = 1 и
hb = АВ = с = с sin A.
Следовательно, во всех случаях hb = с sin A. Подставив в равенство (1), получим доказываемую формулу.
|
|
Точно так же получим формулы: S = 1/2 ab sin C = 1/2 ac sin B
3. На основании теоремы синусов:
Подставив эти выражения в формулу (1), получим следующую формулу:
|
Упражнения
1.Вычислить площадь треугольника:
|
|
а) а = 40, b = 50 и / С = 50°;
b) b = 64, c = 82 и / A = 65°;
|
c) а = 32, b = 53 и / С = 61°;
d) а = 95, / B = 35°; и / С = 42°;
|
|
2.Доказать, что площадь вписанного в круг четырёхугольника равна
1/2 (ab + cb) · sin α , где а, b, с и d — стороны четырёхугольника и α — угол между сторонами а и b.
|
|
3.Доказать, что площадь вписанного четырёхугольника равна
\/(р — а)(р — b) (р — с) (р — d),
где р — полупериметр и а, b, с и d — стороны четырёхугольника.
Указание. Использовать предыдущую задачу. Найти по теореме косинусов cos α и выразить sin α через \/1 - cos2α.
|
ОТВЕТЫ
|