Г л а в а П. Решение косоугольных треугольников

§7(41). Теорема  тангенсов

Теорема. Разность двух сторон треугольника относится к их сумме, как тангенс полуразности противолежащих углов к тангенсу полусуммы этих углов:

(и две аналогичные формулы для прочих пар сторон а, с и b, с).

Доказательство.  В силу теоремы синусов имеем:

Разделив почленно эти равенства, получим доказываемую формулу.

§8(42). Решение треугольника по двум его углам и стороне

Задача. Даны два угла треугольника и сторона, прилежащая к ним; вычислить другие стороны и угол.
Даны В, С и а; требуется найти b, с и А.

Решение. Условие возможности построения треугольника по этим данным:
А + В < 180°— будем считать выполненным.
Можно считать известными все три угла, так как А = 180° — (В + С).

Для вычисления сторон b и с достаточно применить теорему синусов:

,   откуда  

Площадь вычисляется по формуле:              

Пример. Решить треугольник по следующим данным а ≈  17,4, В ≈  44°30', С ≈  64°.

Решение при помощи натуральных таблиц. Находим угол:

А = 180° — (В + С) ≈ 180° — (44°30' + 64°) ≈  71°30'.

Вычисляем стороны. Имеем|

sin В ≈  0,7009; sin С ≈  0,8988, sin А ≈  0,9483

и далее

Деление на sin А можно заменить умножением на обратное число. По таблицам Брадиса (см.  табл.  II) найдем:  1/0,9483 ≈  1,055.

Вычисления выполнены по правилам приближённых вычислений. Значения синусов взяты из таблиц Брадиса; во всех промежуточных результатах сохраняются четыре значащие цифры (правило запасной цифры), а окончательный результат округлён до трёх значащих цифр.

Решение при помощи логарифмических таблиц. Имеем:

b = a sin B/sin A,   lg b = lg a + lg sin В — lg sin A.

По таблицам найдем:

По таблицам Брадиса найдём b = 12,86. Однако в ответе следует оставить три значащие цифры, так как значение а дано с тремя значащими цифрами; поэтому b  ≈  12,9.

Сторона с вычисляется аналогично:

c = a sin C/sin A,   lg c = lg a + lg sin C — lg sin A.

 

§9(43). Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Задача. Даны две стороны треугольника и угол между ними; вычислить третью сторону и два других угла.

Пусть, например, даны а, b и С, требуется вычислить А, В и с.

Решение при помощи натуральных таблиц.  Формула косинусов даёт выражение стороны с непосредственно через известные элементы:

с = \/ а2 + b2 — 2ab cos С

Для вычисления А можно также воспользоваться формулой косинусов:

а2 =b2 + с2 — 2bc cos А

Так как 0 < А < 180°, то

 ;  

(ясно, что достаточно найти лишь один из углов, третий же угол легко определить исходя из суммы углов треугольника).

Решение   при   помощи   логарифмических   таблиц.

Известна сумма углов A + В = 180° — С, откуда   (A+C)/2 = 90° — C/2.    

Разность углов A — В можно вычислить, воспользовавшись теоремой тангенсов:

Углы А и В определяются из системы уравнений:

Сторону с можно вычислить по теореме синусов:

c = a sin C/sin A

Пример. Дано: а ≈  49,4; b ≈  26,4; С ≈  47°20'; найти А, В и с.

Решение при помощи натуральных таблиц. Имеем:

с2 = а2 + b2 — 2ab cos С ≈  49,42 + 26,42 — 2 • 49,4 • 26,4 • cos 47°20'

По таблицам квадратов найдём:

а2  ≈ (49,4)2 ≈ 2449;   b2  ≈ (26,4)2 ≈ 697,0

и далее

2 • 49,4 • 26,4 • cos 47°20' ≈ 2 • 49,4 • 2,64 • 0,6778 ≈ 1768.

Следовательно, с2 ≈ 2440 + 697 — 1768 ≈ 1369. По таблицам квадратных корней
с ≈ 37,0. Далее

А ≈ arc cos (—0,191); угол А — тупой.

Находим дополнительный угол

180° — А ≈ arc cos (0,091) ≈ 79°; А ≈ 180° — 79° = 101°

(с округлением до 10'). Наконец,

Решение при помощи логарифмических таблиц. Вычислим углы A и В.

Из системы уравнений

найдём: A  ≈ 101°, В  ≈ 31°40'.

§ 10 (44). Решение треугольника по двум сторонам и углу,
противолежащему одной из них

Задача. Даны две стороны треугольника и угол А, лежащей против одной из них; вычислить третью сторону и два остальных угла.

Пусть даны a, b и А; требуется вычислить B, С и с

Решение.

С л у ч а й 1. а > b, т. е, заданный угол А лежит против большей стороны.

Построение показано на чертеже. Из точки С (как из центра), взятой на одной из сторон угла А на расстоянии b от вершины, описана окружность радиуса а; точка В есть точка пересечения этой окружности с другой стороной угла А.
Построение всегда возможно, задача имеет единственное решение.

Острый угол В, противолежащий меньшей стороне, находится по теореме синусов:

откуда                   

и затем С = 180° — (A + В).  Сторона с находится по теореме синусов:

С л у ч а й 2. а < b, т. e. угол A лежит против меньшей стороны; поэтому он не может быть тупым или прямым.
Следовательно, при А > 90° задача не имеет решения.
Пусть угол А острый. Из построения на чертеже a) , видно, что окружность радиуса а с центром в точке С пересечёт другую сторону угла А в двух точках при условии а > CD, где D — основание перпендикуляра, опущенного из точки С на другую сторону угла A. Так как CD = b sin A (из треугольника ACD), то условие запишется так: a >b sinA. Для угла В возможны два значения: В = В1 (острый) и В = В2 (тупой). Задача имеет два решения.

a)

Значения угла В вычисляются по теореме синусов:           

откуда              и   B2 = 180° - B1    Значения угла С и стороны с вычисляются так же, как в предыдущем случае.

Из чертежа b) видно, что при
CD = b sin А > а окружность не пересечёт другой стороны угла А; задача не имеет решений.

В этом   случае    и угол В вычислить нельзя.

При CD = b sin А задача имеет единственное решение: треугольник ABC прямоугольный.

 

b)

Случай 3. а = b. В этом случае треугольник ABC равнобедренный. Такой треугольник можно решить, разбразбив его высотой CD на два прямоугольных треугольника:

В = А; С = 180° — 2А;   с = 2AD = 2а cos A.

 

Пример. Вычислить стороны и углы треугольника, если дано:

а ≈  73,5;    b ≈  86,4;   A ≈  49°0'.

Решение:   

(деление на 73,5 можно заменить умножением на  1/73,5  ≈  0,0136,  табл. 11).

Так как в данном случае а < b и   b sin A/a < 1,   то задача имеет два решения:

1) В1 ≈ arc sin 0,887 = 62°30';       C1 ≈ 180° — (49° + 62°30') = 68°30'

(с округлением до 10');

 

§11(45). Решение треугольника по трем сторонам

Задача.   Даны три стороны треугольника; вычислить его углы.

Пусть даны длины трёх сторон треугольника. Обозначим через а меньшую сторону, через b — среднюю, а через с — большую: а < b < с.

По трём данным сторонам можно построить единственный треугольник, если большая сторона меньше суммы двух других сторон: с < а + b. Если же с > а + b, то треугольник с данными сторонами не существует.  Будем считать,  что с < а + b.

Решение при помощи натуральных таблиц.

Углы треугольника можно вычислить по теореме косинусов: а2 =b2 + с2 — 2bc cos А    
b2 =c2 + a2 — 2ca cos B, откуда

  и     (так как 0°< А <180°).

Аналогично найдём:  и,   наконец,  С =180°— (А + В).

Решение при помощи логарифмических таблиц. Вычислим сначала площадь треугольника (формула Герона):
S = \/р (р — а)(р — b) (р — с) , где р = (а+ b+c)/2

Имеем далее: S = 1/2 bc sin A. откуда

Угол А острый, так как он лежит против меньшей стороны; следовательно,

Точно также             и,  наконец,  С = 180° — (А + В)

Итак, при решении треугольника по трём сторонам при помощи логарифмических таблиц углы, лежащие против меньших сторон, находятся по формулам, а угол, лежащий против наибольшей стороны, вычисляется как разность между 180е и суммой двух найденных углов.

Пример. Решить треугольник, зная длины (приближенные) его сторон: 24,7; 22,4 и 31,3. Обозначим a ≈ 22,4; b ≈ 24,7; с ≈ 31,3.

Решение   при   помощи    натуральных    таблиц. Имеем:

откуда А ≈ 45°20' (с округлением до 10').

откуда В ≈ 51°30' и, наконец, С ≈ 180° — (45°20' + 51°30') ≈ 83°10'.

Решение при помощи логарифмических таблиц. Имеем:

sin А = 2S/bc,    lg sin А = lg 2S — lg b — lg c.

Вычисляем:

lg 2S = lg 2\/р (р — а)(р — b) (р — с) =
= lg2 + 1/2 lg p +1/2 lg ( p—a) + 1/2 lg (p—b) + 1/2 lg(p—c),

где

УПРАЖНЕНИЯ

Решить косоугольные треугольники по заданным основным элементам. (Решение каждого примера следует выполнить при помощи таблиц логарифмов и логарифмической линейки.)

81 (347). Даны сторона и два угла:

1) а ≈ 370,0; В ≈ 86°30'; С ≈ 50°50'

2) а ≈ 450,0; А ≈ 87°50'; В ≈ 10°50'.

3) а ≈ 951; B ≈ 126°40'; С ≈ 13°20'.

4) b ≈ 13,02; A ≈ 11°46'; B ≈ 133°40'.

82 (348). Даны две стороны и угол между ними:

1) а ≈ 510; b ≈  317; С ≈  76°10'.

2) а ≈  225;   b ≈  800; С ≈  36°40'.

3) а ≈  2,296; с ≈  1,687; В ≈  29°52'.

4) b ≈  28; c ≈  42; А ≈  124°.

83 (349). Даны две стороны и угол против одной из них:

1) а  ≈  87; b  ≈  65; А  ≈  75°.

2) b  ≈  360; с  ≈  309; С  ≈  21°30'.

3) а  ≈  13,89; с  ≈  8,42; А  ≈ 126°41'.

4) а  ≈  13,81; с  ≈  8,14; С  ≈  14°37'.

5) b  ≈  263,1; с  ≈  215,4; В  ≈  70°14'.

6) а  ≈  19,06; b  ≈  88,19; А  ≈  31°17'.

84 (350). Даны три стороны:

1) а ≈  19; b ≈  34; c ≈  49.

2) а ≈  0,099; b ≈  0,101; с ≈  0,158.

3) a ≈  172,5; b ≈  113,4; с ≈  120,5.

4) а ≈  1,234; b ≈  2,345; с ≈  3,457.

85 (351). Решить косоугольные треугольники по заданным моментам:

1) R ≈  7,92; А ≈  113°17'; В ≈  48°16'.

2) S ≈  501,9; А ≈  15°28'; B ≈  45°23'.

3)hа ≈  5,37; В ≈  115°10'; С ≈  5°33'.

4) lа ≈  0,758; B ≈  98°30'; С ≈  4°20'.

5) а + b ≈ 488,8; А ≈  70°24'; В ≈  40°16'.

6) a — b ≈  23; А ≈  108°; B ≈ 18°.

7) r ≈  5,0; А ≈  22°; В ≈  39°.

8) S ≈  2420; а ≈  42,5; B ≈  124°50'.

9) а ≈  32; b ≈  25; A ≈  2В.

10) S ≈  15; аb ≈  48; sin А ≈  соs В.

11) а ≈ 120,0; b ≈  29,0; hа ≈  23,7.

12) hа ≈  8; h ≈  12; hа ≈ 18.

ОТВЕТЫ
Используются технологии uCoz