Г л а в а П. Решение косоугольных треугольников

§12(46). Применение тригонометрии к измерениям на местности и
решению практических  задач

С помощью тригонометрии решаются многие измерительные задачи на местности, как например вычисление расстояния между различными пунктами земной поверхности (если это расстояние нельзя измерить непосредственно), вычисление высоты данного предмета (горы, здания и т. п.), составление планов и карт и т. п. Будем предполагать, что измерения производятся на  м а л о м  участке, так что можно считать его плоским и не учитывать кривизны земной поверхности.

Измерение небольших расстояний производится непосредственно, при помощи, например, стальных измерительных лент.

Измерение углов на местности производится при помощи угломерных инструментов. Наиболее распространённым современным угломерным инструментом является теодолит (черт. 18).

Зрительная труба теодолита может вращаться как в горизонтальной, так ив вертикальной плоскости. Если ось зрительной трубы, находящейся в горизонтальном положении в пункте С земной поверхности, направить сначала в пункт А, а затем в пункт В, то угол её поворота есть угол С треугольника ABC; под этим углом  из пункта С видно расстояние А В (черт. 19). При помощи поворота зрительной трубы можно измерять углы и в вертикальной плоскости (черт. 20).

Углы поворота зрительной трубы можно измерять с большой точностью при помощи делений на горизонтальном и вертикальном кругах и микрометрических винтов.

При отсутствии теодолита пользуются (например, в учебных целях) более простыми приборами. Один из таких приборов — астролябия — изображён на чертеже 21.

Основные части астролябии следующие: круг, разделённый на градусы (лимб), и линейка (алидада), которая может вращаться вокруг центра круга. Для наведения линейки на данный пункт служат прикреплённые к её концам вертикальные пластинки с узкими продольными прорезями.

Рассмотрим несколько простейших задач на исчисление расстояний и высот.

Задача. Вычислить расстояние доступной точки А до недоступной точки В, видимой из точки А (точки А и В лежат в одной и той же горизонтальной плоскости, черт. 22).

Разъяснение. Точка А считается доступной, если в ней может находиться наблюдатель с измерительными инструментами. Точка В считается недоступной, если расстояние А В не может быть измерено непосредственно (например, имеется препятствие: река, овраг и т. п.).

Решение. Выберем вблизи точки А доступную точку С, из которой видна точка В. Измерим непосредственно отрезок-базис АС = b и углы А и С. Сторону х = с треугольника ABC найдём по теореме синусов:

^c/_{sin C}  = ^b/_{sin B} , откуда х = ^{b sin C}/_{sin B} = ^{b sin C}/_{sin (C+A)} .

sin С     sin В sin В     sin(C-M)

Задача. Вычислить расстояние между двумя недоступными точками А и В, видимыми из доступной местности. Расположение точек дано на чертеже 23.

Решение. Выберем в доступной местности отрезок-базис, измерим базис и углы
α = /  AMN, β = /   BMN, γ = /   АNМ, δ = /  ВNМ между базисом и направлениями из его концов на точки A и В. Вычислим расстояния МА и МВ (см. предыдущую задачу):

МА=  ^{b sin γ}/_{sin (α+ γ)}   ;     МВ = ^{b sin δ}/_{sin (β+ δ)} 

Зная две стороны треугольника АМВ и угол α —  β между ними, можно вычислить третью сторону, например, по теореме косинусов:

х = АВ = √МA² + MВ² — 2МА•МВ cos (α —  β).

Задача. Вычислить высоту вертикального предмета, основание которого недоступно (черт. 24).

Решение. Допустим, что можно выбрать горизонтальный базис AВ = b, из концов которого видна вершина S измеряемой высоты. Пусть h — высота угломерного инструмента. Измерив углы α и β треугольника SA₁B₁ найдём (по теореме синусов):

УПРАЖНЕНИЯ

86 (352). 1) Вычислить площадь земельного участка, имеющего форму треугольника, если при съёмке плана этого участка с масштабом 1 : 100 000 две его стороны изображены отрезками 5,6 см, 7,5 см и угол между ними равен 48°.

2) При съёмке плана участка полярным способом (за полюс взята вершина А многоугольника — участка) измерением были получены следующие данные:
сторона АВ ≈ 250 м; диагонали АС ≈ 360 м; AD ≈ 430 м; АЕ ≈ 390 м и
сторона AF ≈ 450 м; азимуты этих направлений соответственно равны /  NAB ≈ 25°;
/  NAC ≈ 53°; /  NAD ≈ 81°; /  NAE ≈ 125° и /  NAF ≈ 140°.

Вычислить площадь участка ABCDEF.

3) При съёмке плана участка ABCD полярным способом (за полюс взята точка О, одна из внутренних точек участка) измерением были получены следующие данные:

ОА ≈ 28 м; ОB ≈  31 м; ОС ≈ 24 м; OD ≈  37 м, /  AОВ ≈  36°; /  ВОС ≈  78°;
/  COD ≈  110° и /  DОA ≈  136°.

Вычертить план участка АВСD и вычислить , его площадь; угол NОА (азимут направления ОА) ≈  280°.

4) Вычислить площадь участка, имеющего форму пятиугольника, изображённого на прилагаемом плане в масштебе 1:10000 (черт. 25).

87 (353). Сила Р ≈ 5,2 кГ должна быть разложена на две составляющие, действующие под прямым углом друг к другу, одна из которых составляет с направлением силы Р угол α  ≈ 46°. Вычислить составляющие силы.

88 (354). Стропила ВА и ВС (черт. 26) составляют углы α с горизонтальной балкой АС. К концу В подвешен груз Р. Определить: 1) силу S, прижимающую стропильную ногу к балке АС, в 2) силу  F  растягивающую балку АС.

89 (355). Лодочник, переправляясь через реку, направлял лодку поперёк реки и грёб с такой силой, что в стоячей воде она подвигалась бы со скоростью ≈  0,3 м/с. На какой угол от этого направления лодка будет отнесена течением реки, если оно  составляет  
≈ 1,0 м/с ?

90(356). Поезд идёт со скоростью ≈ 12 м/с, и пассажиру из вагона кажется, что капли дождя падают под углом α ≈ 30° к отвесному направлению. Определить среднюю скорость падения дождя.

91 (357). Тело при свободном падении в первую секунду проходит  ≈ 4,9 м, при скольжении с данной наклонной плоскости  ≈ 1,8 м. Вычислить угол наклона плоскости к горизонту (трение во внимание не принимать).

92 (358). На плечо, имеющее длину а, прямолинейного рычага под углом α  к нему действует сила Р кГ. На другое плечо в противовес первой действует сила Q кГ под углом  β к рычагу. Какова длина второго плеча рычага, если рычаг находится в равновесии (черт. 27)?

93 (359). Две силы Р кГ и Q кГ действуют на концы А и В прямолинейного рычага АВ длиной а  см. Сила Р, действующая на конец А, образует с рычагом угол α , сила Q, действующая на конец В, — угол  β . На каком расстоянии от А нужно подпереть рычаг, чтобы он находился в равновесии (весом рычага пренебречь)?

94 (360). К кронштейну (черт. 28) подвешен груз весом Р кГ. Вычислить силу, растягивающую стержень b, и силу, сжимающую стержень с, если угол между b и c равен α.

95 (361). Вычислить работу на пути ≈  20 м, если сила, равная ≈ 10 кГ, действует на данный предмет под углом ≈  40° к направлению движения.

96 (362). Труба диаметра СА ≈  100 мм при помощи конусообразного раструба переходит в трубу ВО вдвое большего поперечного сечения (черт. 29). Определить длину раструба АВ, если противоположные образующие конической поверхности пересекаются под углом 40°.

Решите задачи, связанные с винтовой линией.
Обозначения: h — шаг винта; D — наружный диаметр; d — внутренний   диаметр;
α — угол подъема винтовой линии; ^(D+d)/₂  —  средний диаметр.

97 (363). Составить формулу, выражающую угол винтовой линии через шаг её и диаметр цилиндра, на котором эта линия нанесена (черт. 30 и 31).

98 (364). Определить угол подъёма винтовой линии, если внешний диаметр винтовой нарезки 50 мм, внутренний диаметр 42 мм и шаг винта 6 мм.

99 (365). 1) Винтовая нарезка имеет 4,5 хода на дюйм (1 дюйм ≈ 25,4 мм), внешний диаметр 2,0 дюйма, внутренний 1,7 дюйма. Определить угол подъёма винтовой линии.

2) Внешний диаметр винта 25,4 мм, внутренний 21,3 мм, угол подъёма 2°20'. Найти шаг винта и число ходов на дюйм.

100 (366). Спиральное сверло диаметром 12,5 мм имеет спиральную канавку с шагом 192 мм. Определить угол, который спиральная канавка сверла образует с его осью.

101 (591). Два вала, расположенные под прямым углом друг к другу, соединены при помощи конических шестерёнок. Одна шестерня имеет диаметр 48 см, а другая 32 см. Определить углы х и у наклона  зубцов к осям валов (черт. 32).

Указание. Для проверки правильности полученных значений воспользуйтесь соотношением х + у = 90°

102 (592). 1) На чертеже 33 дана фронтальная проекция паза и указаны соответствующие размеры. Определить угол α наклона сторон паза к его основанию.

2) На чертеже 34 показана винтовая нарезка и указаны соответствующие размеры. Вычислить угол α для заточки резца при нарезывании этой резьбы.

103 (593). 1) Две силы Р и Q  приложены к материальной точке. Найти угол между их направлениями, зная, что если увеличить этот угол вдвое, то величина равнодействующей не изменится.

2) При равновесии ломаного рычага ВАС (черт. 35) на концы его плечей АВ = р и
АС = l действуют силы   R  и   Q   Определить углы, образуемые плечами рычага с горизонтальной плоскостью, если плечо АС составляет угол, в два раза больший, чем плечо АВ. (Вес рычага не учитывается.)

104 (581). На конце рычага АВ первого рода перпендикулярно к нему прикреплён стержень АС (черт. 36) длиной а см. Рычаг повернули на /   α, и он занял положение A₁B₁, причём A₁D = AD = b. На какой высоте от АВ, считая по вертикали, находится теперь конец С стержня AС?

ОТВЕТЫ