Глава III.  Применение тригонометрии к решению геометрических задач

§13(47). Образцы решения задач

Планиметрические задачи. Тригонометрия применяется к решению задач на вычисление элементов различных геометрических фигур. Обычно при вычислении элементов многоугольника его разбивают на треугольники с тем расчётом, чтобы искомые элементы можно было вычислить путем последовательного решения ряда треугольников.

Задача. Вычислить площадь кругового сегмента, дуга которого (в радианной мере) измеряется числом ; радиус круга равен R

Решение. Площадь S сегмента равна площади соответствующего сектора ОАВ минус площадь треугольника АОВ. Из геометрии известно, что площадь   кругового сектора вычисляется по формуле: , где     l — длина ограничивающей его дуги. Так как  l = R , то s₁= ¹/₂R²

Площадь треугольника равна

Искомая площадь сегмента равна

Задача. Основания трапеции равны а и b, боковые стороны равны c u d. Вычислить углы трапеции.

Решение. Пусть а -большее основание, А — угол, образованный сторонами а и с . Проведём прямую, параллельную d; тогда трапеция разобьётся на треугольник ABE и параллелограмм BCDE. В треугольнике ABE известны длины трёх сторон: с, d, а — b. По теореме косинусов найдём угол А:

d² = (a — b)² + c²— 2c (a — b) cos А, откуда  

Аналогично вычислим: и, наконец, B = - A ; C = - D

Стереометрические     задачи.       Тригонометрия применяется для вычисления различных элементов пространственных фигур:  объёмов,  поверхностей,  площадей сечений,  плоских и двугранных углов и т. п. Обычно производят вспомогательные построения (проведение сечений, линий и т. п.) с тем расчетом, чтобы искомые элементы можно было найти путем последовательного решения  ряда  треугольников.При решении задач   на   вычисление с    числовыми   данными обычно сначала решают задачу  в  общем  виде,   а затем подставляют данные  в условии числа. Общую формулу решения представляют в виде, наиболее удобном для последующих вычислений.

Задача. Основанием пирамиды служит квадрат. Одна из боковых граней — равнобедренный треугольник и образует с основанием тупой угол . Противоположная грань образует с основанием угол ß Высота пирамиды равна Н; найти объём пирамиды.

Решение. Пусть ABCD — основание пирамиды; S — вершина; OS — высота: ASB — грань, образующая с основанием угол ; DSC — грань, образующая с основанием угол ß .
Наклонные SA и SB равны; поэтому их проекции О А и ОВ на плоскость основания равны. Пусть L — середина стороны АВ. В равнобедренных треугольниках АОВ и ASB медианы OL и SL - также и высоты; поэтому OL  А В и SL  А В. Следовательно, /  OLS есть линейный угол двугранного угла OABS (с ребром АВ), а потому / OLS = 180° — . Пусть K — точка пересечения прямой OL со стороной CD; имеем: DK = KС и ОK  CD. Наклонная SK  CD no теореме о трёх перпендикулярах. Так как OK  CD и SK  CD, то /  OKS = ß.
Полуплоскости ABS и DCS пересекутся в том и только в том случае, если

180° - > ß , т.е. +ß < 180°

(угол 180° — есть внешний угол треугольника SLK, а ß — внутренний угол); это условие будем считать выполненным. Отрезок LK равен стороне основания a. Так как OL = H ctg (180° — )  = — H ctg  (из треугольника SOL) и ОK= H ctg  ß (из треугольника SOK), то  a = ОK — OL = H (ctg ß + ctg ). Вычисляем объем.

Эта форма ответа удобна для вычислений с помощью натуральных таблиц. Если вычисления проводятся при помощи логарифмических таблиц или линейки, то следует сумму котангенсов преобразовать в произведение:

Вычислим объём при следующих данных: Н ≈ 12,53; α ≈ 110°48': β = 32°30'.

1) Н³ ≈ (12,53)³ ≈ 1967 (таблица V Брадиса).

2) ctg β + ctg α  ≈ ctg 32630' + ctg 110°48' = ctg 32°30' — ctg 69°12' ≈ 1,5697 — 0,3799 ≈ ≈ 1,1898 ≈ 1,190 (таблица IX Брадиса).

3) (ctg β + ctg α )² ≈ (1,190)² ≈ 1,416 (таблица III Брадиса) и, наконец,