Часть третья

ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ.

ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ ПРИ ПОМОЩИ ПРОПОРЦИЙ  и
СПОСОБОМ ПРИВЕДЕНИЯ К ЕДИНИЦЕ.

ОТДЕЛ VIII..

§ 57. Смешанные задачи  для пoвторительного курса.

3220 Некто разделил весь свой капитал на три части, пропорционально следующим числам:: 4²/₃, 6 и 6²/₃, и поместил наибольшую из нах в банк по 7¹/₂ % на 1 год 4 месяца, среднюю по 5% на 8 месяцев и наименьшую до 6% на 10 месяцев. Процентные деньги, полученные со всех трех частей, он разделил потом между тремя сыновьями обратнопропордионально их возрасту. Возраст старшего относился к возрасту среднего, как 0,4(6) : 0,(3), а возраст младшего к возрасту среднего, как 0,125 : 0,1875. Зная, что младший из сыновей получил на 242 рубля более старшего, определить первоначальный капитал их отца.

3221. Чайный торговец имел два ящика чаю: в первом было 68 фунтов, по 2 руб. 40 коп. фунт, и во втором 44 фунта по 1 рублю 70 коп. фунт. Смешав часть чаю первого ящика с некоторою частью второго, торговец получил 1,4 пуда смеси и рассчитал, что он получит 11¹/₉% прибыли, еоли будет продавать фунт этой смеси по 2¹/₂ рубля. Оставшийся чай в том и другом ящдке он также смешал и рассчитывает продавать фунт этой второй смеси по 2 рубля 40 коп. Сколько процентов прибыли желает получить торговец при продаже второй смеси?

3222.  Купец имел два сорта кофе: по 68 коп. и до 42 коп. за фунт. Из этих двух сортов он составил смесь, которую потом и распродал трем покупателям, взяв с них по 65 коп. за фунт; при этой продаже он получил 25% прибыли. Число фунтов, купленных первым покупателем, относится к числу фунтов, купленных вторым как 2,(3) :  3,5  и число фунтов, купленных вторым относится к числу фунтов, купленных третьим, как 4,5 : 2,25;  кроме  того  известно,  что второй попупатель заплатил   13  рублями  65  копейками  более третьего. Сколько фунтов кофе каждого сорта купец взял для образования упомянутой смеси?

3223.  Новый серебряный рубль весит 4 золотника 66,12 доли и чеканится из сплава, в котором лигатура составляет 11¹/₉% веса чистого серебра. Новый полуимпериал весит 1 золотн. 49,2 доли и чекаилтся из сплава, в котором на 1 часть чистого золота идет 0,(1) части лигатуры. Во сколько раз золото  дороже  серебра? При решении  этой задачи  не принимается в расчет ни стоимость ллгатуры, ни расходы на чеканение монет.

3224.  20 апреля 1832 года некто поместил свой капитал в банк до 6%; 23 июня того же года он поместил еще другой капитал, который был на 1600 рублей более первого, в другой банк по 4¹/₂%. 7 марта 1883 года с обоих капиталов он получил всего 420 рублей процентных денег. Определить оба капитала.

3225.  Древнее название самой высокой горы на острове Крите пишется тремя буквами (по-русски). Если эти буквы заменить числами,  показывающими   соответственно  места  их в русском алфавите *), то получатся три числа, сумма которых равна  15, и из которых первое относится ко второму,  как   12¹/₂ %  от 0,5 относится к 0,08(3) от 0,41666..., а третье 4-мя единицами менее второго. Если теперь эти числа написать в том же  порядке одно возле друтого и прибавить к написанному (по десятичной системе) числу 127, то полученная сумма будет выражать высоту  той  же  горы в  саженях.   Определить название горы и  выразить  высоту   ее   в  метрах, зная, что 292 фута равны 89 метрам.

*) Вот порядок букв русского алфавита: а, б, в, г, д, е, ж, з, и, i, й, к, л, м, н, о, п, р, с, т, у, ф, х, ц, ч, ш, щ, ъ, ы, ь, , э, ю, я, .

3226.  В Риме по закону, предложенному Лицинием  Солоном   (в  376 г. до Р. Хр.), никто из римских граждан не мог пользоватся   общественною   землею  в количестве   более 500 югеров. Выразить это число в десятинах, пользуясь следующими данными: югер равен 0,252 гектара;   гектар земли можно представить в виде прямоугольной полосы,  вся граница которой равна 864 саженям, и которой длина относится к ширине, как 0,12(9) : 0,01.

3227. Длина железной дороги между Тамбовом и Саратовом равна 358 верстам. Предположим, что провоз пуда товара на одну версту по этой дороге стоит 0,041(6) копейки, и что за четверть пшеницы в Саратове просят 12 руб. 51 коп., а в Тамбове 12 руб. 96 коп. Определить на упомянутой железной дороге такой пункт, для которого будет одинаково стоить, вместе с платою за провоз, пшеница, доставленная из Саратова, а равно и пшеница, доставленная из Тамбова. Четверть пшеницы весит 9 пудов.

3228. Длина прямоугольното поля равна 225 саженям; если бы ширина поля была на 45 сажен более его действительной ширины, то площадь всего поля была бы равна 15¹⁵/₃₂ десятины. Это поле было разделено на три участка, площади которых были пропорционалны числам: 1,125, 1¹/₃, 1,291(6), и которые  потом все были проданы по различной цене за десятину: цена 1⁷/₈ десятины первого участка равна цене 2 десятин второго, а цена десятииы третьего 60-ью процентами превышала цену десятины второго участка. Деньги, вырученные от продажи всего поля, были отданы  рост по 6%, так что через 1 год 4 месяца они образовали вместе с прибылью сумму 2235 руб. 60 коп. По скольку рублей была продана десятина каждого из упомянутых трех участков земли?

3229. Вексель продан за 7980 рублей 8-ью месяцами раньше срока с коммерческим учетом по 7¹/₂процентов. Часть этих денег, равная ¹³/₂₁ валюты векселя, была отдана в банк  на   7¹/₂ месяцев, и вся остальная часть тех же денег в другой банк на 10 месяцев по 4¹/₂%; и тогда с обеих   частей  долучилось всего 299 р. 25 коп. процентных денег. По скольку процентов была отдана в банк первая часть, и какова была валюта векселя?

3230. Чайный торговец продал за 9 месяцев  до   срока вексель в 963 рубля с математическим учетом по 9¹/₃% .  ⁸/₁₅ денег,  вырученных   от   продажи векселя, торговец издержал на  покупку   3   пудов 30 фунтов чаю первого сорта, а остальную  часть   тех  же денег  на покупку  7 пудов чаю второго сорта. Из этих двух сортов он составил 2 пуда 22 фунта смеси и рассчитал тогда, что он получит 8% прибыли,   если продаст эту смесь по 2 руб. 97 коп.  за фунт.   Сколько  фунтов того и другого сорта чаю было взято для смеси?

3231. Французская золотая монета в 5 франков весит 1¹⁹/₃₁грамма, а серебряная монета того же достоинства в 15¹/₂ раз более. У банкира было всего 2530 монет: золотых в 20 франков и серебряных в 5 франков; вес всех монет был равен 25,3 килограмма. Если всю эту сумму денег банкир отдаст в рост по 7¹/₂%, то по истечении какого времени он будет яметь с нее 2167 франков прибыли?

3232. Вдоль всего полотна Царскосельской железной дороги идет тропинка. Железнодорожный поезд, которого длина равна 18¹/₃ саженям и который шел из Петербурга в Царское Село со скоростью 30-ти верст в час, в 2 часа 10 мин. пополудни догнал крестьянина, шедшего по упомянутой тропинке в ту же самую сторону, и ехал мимо него в течение 5 секунд. В 2 часа 16 мин. 1 секунду пополудни поезд встретил другого крестьянина, шедшего по той же тропинке, но по направлению к Петербургу, и ехал мимо него в течение 4-х секунд. Определить момент, когда первый крестьянин встретился со вторым, и по скольку верст в час проходил каждый.

3233. При печении ржаного хлеба припек по весу равен 45% веса взятой муки. Хлебник испек три хлеба: вес первого относился к весу второго, как 3¹/₂:4; вес третьего = 22¹²/₃₉ % веса всех трех хлебов; кроме того известно, что первый хлеб был на 0,1(9) пуда тяжелее третьего. Сколько ржаной муки пошло на приготовление этих трех  хлебов?

3234. При печении пшеничного хлеба припек по весу равен 35% веса взятой муки. Булочник испек 4 хлеба различного веса: вес первого относился к весу второго, как 0,5 :0,(6), вес второго к весу третьего. как 0,8(3): 1,1 (6) и вес четвертого составлял ²/₉ веса всех четырех хлебов; кроме того, известно, что третий хлеб был тяжелее четвертого на 3 фунта. Сколько всего муки было употреблено на приготовление этих четырех хлебов?

3235.  Три купца внесли капиталы для общего торга: первый внес деньги, вырученные от продажи векселя в 15000 рублей, который был учтен по 10% коммерческим способом за 1 год 7 мес. 6 дней до срока; второй купец внес деньги, вырученные от продажи векселя в 19530 рублей, который был учтен по 7¹/₂% математпческим способом за 5 месяцев 10 дней до срока; третий купец внес такой капитал, что если б его отдать в рост по 4¹/₃%, то через 9 месяцев оп превратался бы вместе с процентными деньгами в 18585 рублей. Первый купец участвовал своим капиталом в общем торговом предприятии 8 месяцев, второй 4 месяца и третий 7 месяцев. Предприятие им доставило прибыль, на которую они потом купили прямоугольный участок земли; вся граница этого участка в общей сложности равна 2 верстам 488 саж., ширина же его относится к длине, как 1¹/₂: 6,25. Сколько десятин земли придется получить каждому из участников?

3236. Отцу 45, а сыну его 10 лет от роду. Через сколько лет возраст отца будет относиться к возрасту сына, как 9 к 4 (т. е. когда отед будет в 2¹/₄ раза старше своего сына)?

Решение. Решение этой задачи основано на том, что разность между летами двух лиц всегда остается постоянною; в нашем случае эта разность равна постоянно 35 летам. Положим, что возраст сына будет равен 1 условн. един. времени в то время, когда отец будет в 2¹/₄ раза старше его. В это же самое время возраст отца будет равен, следовательно, 2¹/₄ условн. един. времени. Разность между их возрастами выразится 1¹/₄ условн. един. времени, а так как  эта разность постоянно равна 35 летам, то и будем иметь:

1¹/₄ условн. един. врем. = 35 лет.,

откуда 1 условн. един. врем. = 28 лет.

Итак сыну будет 28 лет в то время, когда он будет в 2¹/₄ раза моложе отца; след., это случится через (28—10) лет = 18 лет.

3237. Одному брату теперь 24 года, а другому 6 лет. Сколько времени тому назад возраст первого относился к возрасту второго, как 0,275:0,05? (См. решение предыдущей задачи).

3238. Отношение лет двух сестер равно 1³/₇. Пятнадцать лех тому назад возраст младшей сестры составлял 60% возраста старшей. Сколько теперь лет от роду каждой сестре?

3239. Некоторая сумма денег была разделена между двумя братьями такь,   что если деньги  одного   брата  увеличить  в 6 раз, а деньги другого в 14 раз, то сумма этих произведений  будет   в 11 раз более  первоначальной.   Какую часть денег второго брата составляют деньги первого?

3240. Двое имеют вместе такой капитал, что если б его отдать в рост по 5¹/₃%, то через 9 месяцев он превратился бы вместе с процентными деньгами в 2392 руб. Если к ³/₄капитала первого прабавить 0,3(18) капитала второго, то получится сумма в 1250 руб. Определить капиталы каждого.

3241. Задача Ньютона. На лугу в 20 акров *) паслись 120 коров; они в 16  дней поели всю бывшую   первоначально на нем траву, а равно и ту, которая вновь  выростала  в течение этих 16 дней. На другом лугу в 3¹/₂ акра паслись 20 коров; они в 18 дней поели первоначально  выросшую на этом луге траву, а равно и ту, которая вновь выростала на нем в течение этих 18 дней. Предполагая, что каждая корова седала ежедневно   одинаковое количество травы,   что трава  выростала  на лугах пропорционально времени и одинаково на всех лугах, и что первоначальное   количество травы на единице  поверхности каждого луга было одно и то же,—вычислить, сколько можно было бы пустить коров на пастбище в 14 акровь,  чтобы  они при тех же самых условиях могли прокормиться в течение 12 дней.

*) Акр есть английекая поземельная мера и содержит 43560 квад. фут.. т. е. без малого 889 квадр. сажен

Решение. Если 120 коров поели траву с луга в 20 акров в 16 дн., то  коровы съедят траву с луга в 14 акров тоже в 16 дней. Если 20 ковров поели траву с луга в 3¹/₂ акра в 18 дней, то  коров съедят траву с луга в 14 акров тоже в 18 дней. След. имеем:

1) 84 коровы в 16 дн. поели: первонач. колич. травы 14 акр. + приращение 16 дней;

и 2) 80 коров в 18 дн. поели: первонач. кол. травы на 14 акр. + приращение 18-ти дней.

С другой стороны, если б 80 коров поели то же самое количество травы, что и 84 коровы, то времени потребовалось бы во столько раз более 16 дней, во сколько 84 более 80, т. е. 16⁴/₅ дн. Поэтому пишем:

80 коров в 18 дней поели: первонач. кол. травы на 14 акр. + приращение 18-ти дней.

и 3) 80 коров в 16⁴/₅дж. поели: первонач. кол. травы на 14 акр. + приращение 16-ти дн., откуда заключаем, что в (18—16⁴/₅) дн. 80 коров съедят траву, вновь выросшую на 14 акрах в течение (18—16=) 2 дней. Еслн же в 1¹/₅ дня они съедают приращение 2-х дней, то в 18 дней они съедят приращение  дней. Но мы раньше (2) нашли, что

80 коров в 18 дней поели: первоначальн. кол. травы на 14 акр. + приращение 18-ти дн., и теперь: 80 коров в 18 дней съедают приращение 80-ти дней, след. первоначальное количество травы на 14 акр. равно приращению травы 12-ти дней,и первоначально кол. травы на 14 акр. + приращ. 12-ти дней == приращению 24 дней. Поставив теперь окончательный вопрос: „если 80 коров в 18 дней поели приращение травы 80 дней на 14 акр., то сколько коров в 12 дней съедят приращение травы 24-х дней тоже на 14 акр.?",—мы найдем, что искомое число коров  равно

Приемом, указанным в решении предыдущей задачи, решить следующие три (№ 3242—№ 3244):

3242. В бассейн постоянно прибывает вода с одною и тою же скоростью. Когда этот бассейн наполнился водою до некоторой высоты, поставили 5 насосов, которые в 24 часа 17 мин. вылили  всю воду,   первоначально бывшую в бассейне, а равно и ту, которая постоянно вновь прибывала в течение этих 24 ч. 17 м. Если б было поставлено не 5, а 8 таких же насосов, то вся вода была бы вылита из бассейна в течение 14 час. 53 мин. Во сколько времени могла бы быть вылита вода посредством 12 насосов, одинаковой силы с первыми?

3243. На 1 десятине луга паслись 32 быка: они в 180дней поели всю бывшую первоначально на лугу траву, а равно и ту, которая вновь выростала на нем в течение этих 180 дней. На другом лугу в ¹/₂  десятины паслись 20 быков, которые в 108 дней поели всю траву, первопачально бывшую на нем, а равно и ту, которая вновь выростала в течение 108 дпей. Сколько быков в 270 дней съедят с луга в 600 кв. саж. траву, первоначально на нем бывшую, а равно и ту, которая вновь выростала в течение тех же 270 дней?

3244.  Табун в 16 лошадей в течение 180 дней поел с луга в ¹/₂ десятины всю траву,   первоначально  бывшую  и вновь выроставшую. Табун в 21 лошадь в 270 дней поел с луга в 0,75 десятины всю траву,  первоначально на нем бывшую и вновь выроставшую в течение этих 270 дней. С какого количества десятин   луга могла бы быть   съедена вся   трава,  как первоначально бывшая, так и вновь выроставшая, 60-ю лошадьми в течение 216 дней?

3245.  Купец купил два куска сукна за 1836 руб., причем платил за аршин первого по 6,2 руб., а за аршин второго по 4¹/₂ руб. Все это сукно  он потом   продал   и брал за каждый аршин того и другого сукна по 6 р. 30 к., вследствие чего получил 16²/₃% прибыли. Сколько аршин сукна было в каждом куске?

3246.  За 32 фунта чаю и 18 фунт. сахару заплачено 61 руб. 20 коп. В другой раз, когда цена чаю поднялась на 11¹/₉%, а цена сахару понизилась на 10%,   за те же 32 фунта  чаю и 18 фунт. сахару пришлось заплатить 67 р. 24 к. Определить первоначальную цену фунта чаю и фунта сахару.

3247.  30 работников, занимаясь ежедневно по 6¹/₂ час., в 5 дней выкопали ров в 62400 куб. фут. Для того, чтобы вырыть ров в 135000 куб. фут., была нанята партия рабочих в 40 человек, которая  должна  была  окончить  всю работу  в 8 дней; при этом   10 работников   заявили,   что они   могут   работать только  в течение первых  трех  дней.   По скольку часов в день должна работать вторая партия,   чтобы окончить   работу к сроку, если при том   известно,   что 5 рабочих первой   партии могут вырыть в 2¹/₂часа столько же куб. фут., сколько  6 работников второй партии выроют в 2 часа?

3248.  40 человек одинаковой силы,  занимаясь  ежедневно по одному и тому же числу часов и с одинаковым прилежанием, окончили некоторую работу в 6 дней. Если б сила двух из них была соответственно на 0,1 и на 0,08(3) менее, а сила двух других соответственно на 0,0(6)  и  на 0,(3) более  силы каждаго  из остальных 3б-ти,—то вся работа продолжалась бы на ³⁹/₉₅ часа менее прежнего.  По скольку часов ежедневно занимались 40 работников?

3249.  Торговец продал весь кофе по различным ценам: 0,41(6)  всего кофе  с прибылью  4,2%. ⁴/₇ остатка с прибылью 4,25%  и  все остальное  с прибылью 7¹/₃%.   Если б  торговец продал весь кофе средним числом  по  63 коп.  за фунт,  то он выручил бы ту же самую сумму денег.   Сколько копеек стоил фунт кофе самому купцу, и сколько процентов прибыли получил он при продаже?

3250.  Купец продал 0,4(3) куска сукна с прибылью 5¹/₁₃% 0,2(6) куска с прибылью 6¹/₂ % и остальную часть сукна с прибылью 6⁸/₉%.  Если б купец продал весь кусок   по  одной в той же цене за аршин и с прибылью 7¹/₂%, то он выручил бы из этой продажи 9-ю рублями более того, что он выручил действительно. Сколько рублей самому купцу стоил кусок сукна?

3251.  Два брата разделили между собою некоторый капитал так, что старший получил 84% того, что досталось младшему. Старший брат поместил свою долю в банк по 5% на 10 мес. и младший на 4¹/₂% на 7 мес,   вследствие  чего   первый  имел процентных денег на 49 руб. более второго. Определить первоначальный капитал каждого брата.

3252.  В бассейн вливается вода из фонтана со скоростью 75 ведер в час. Посредством одного насоса вся вода из наполненного бассейна во все время действия фонтана может быть вылита в 12 час, а посредством другого в 10,5 часа. Если будут открыты оба насоса разом, то бассейн, первоначально полный, при непрерывном действии того же фонтана, может быть опорожнен в 5 часов. Выразать в гектолитрах вместимость бассейна, зная, что   17 ведер = 46 галлонам,   и   50 галловов = 227,8  литрам

3253. Два купца имели различные капиталы. Если б первый поместил свой капитал в банк по 5%, то по прошествии некоторого времени он получил бы 756 руб. процентных денег; если б второй  купец поместил   свой капитал по 6%,   то по   прошествии того же времени он получил бы 810 руб. процентных денег. Купцы, сложив свои капиталы, откррыли торговлю,  в которой первый участвовал  5 и второй  7 мес,  и которая принесла им 1125 руб. прибыли. Сколько рублей из этой прибыли достанется на долю каждого купца.   Указание. Для решения вопроса прежде всего надо найти отношение капиталов  обоих  купцов. Абсолютные величины их найти нельзя (да в них нет и надобности), потому что не дано время, на которое они были помещены по  5% и по 6%.

3254. Первояачальные капиталы двух братьев относились  между собою, как 0,25 : ¹/₂, при чем капитал старшего был на 12400 руб.  более капитала младшего. Старший  брат положил свой капитал в банк по 5% и стал расхадовать ежемесячно по 90 руб.; в то же самое время младший отдал  свои деньги в другой банк по 6 % и стал ежемесячно расходовдать по 79 рублей.   Таким образом  по прошествии некоторого времени у братьев составилась вместе с первоначальными капиталами и сбережениями от процентных денег сумма, которую они н поместили в один и тот же банк по 7¹/₂%, и которая по истечения 8 мес. превратилась вместе   с процентными деньгами  в  66370 руб. 50 коп.   Сколько времени первоначальные  капиталы того и другого брата  находились  в обращении,  один  по 5%, другой по 6 %?

3255. Часы уходят вперед в течение часа на 8,(18) сек.  В 9 час. утра их стрелки были поставлены верно. Определить,  какое будет время на верных часах, когда в тот же самый день между 10 и 11 часами пополудни минутная и часовая стрелки неверных часов будут служить продолжением одна другой, т.е. составляя собою одну прямую линию, они будут направлены в диаметрально-противоположные стороны.

3256. Торговец составил смесь из двух сортов кофе: в 84 коп. и в 60 коп. за фунт. Если он станет продавать фунт смеси по цене первого сорта, то получить 20% прибыли; если же он продаст 0,4(6) всей смеси по цене перваго сорта, 0,25 всей смеси по цене второго, а все осталное по цене самой смеси,  то от продажи всего получит 3 руб.  63 коп. прибыли.  Сколько фунтов кофе каждого сорга было взято для составления  упомянутой смеси?

3257. Три брата получили  в наследствоо дом и15,12 квадр.верст. земли. Вскоре они продали дом. Покупатель согласился заплатить 0,6 стоимости дома через 8 мес, а остальную часть через 10 мес, на что и выдал два векселя. Земля, которую братья получили в наследство, тоже была продана ими по 120 руб. за десятину помещику, так что стоимость земли составила 0,75 стоимости дома. Помещик, не имея наличных денег, выдал два векселя: один на ⁵/₈ стоимости земли сроком на 2 года 2 мес, и другой на остальные ³/₈ сроком на 10 мес. Получив эти четыре векселя, братья немедленно продали первые два (от про-дажи дома) с коммерческим учетом по 4¹/₂%, а остальные два (от продажи земли) с математическим учетом — первый по 12%, а второй по 6%. Деньги, вырученные от продажи 4-х векселей, братья разделили между собою обратнопропорционально их возрасту. Сколько рублей получил каждый брат, если тогда старшему было 38¹/₂ лет, среднему 33 года и младшему 21 год?

3258. По финляндской железной дороге, проведенной между Петербургом и Гельсингфорсом через Выборг, движутся два поезда: один из Петербурга по направлению к Выборгу, другой из Выборга по направлению к Гельсингфорсу. В Выборге были произведены два пушечных выстрела, из которых второй был сделан спустя 8 мин. 9 сек. после первого. Пассажир, ехавший в первом поезде, услышал второй выстрел спустя 7 м. 54 с. после того, как он слышал первый; пассажир, ехавший на другом поезде (из Выборга в Гельсингфорс), мог бы услышать второй выстрел спустя 8 мин. 18⁷²/₁₅₅ сек. после того, как он слышал первый выстрел. Предполагая, что каждый поезд двигался равномерно, и зная, что звук распространяется со скоростью 1106 фут. в секунду,—определить, по-скольку верст в час делал тот и другой поезд.

3259.  0,58(3) расстояния между Тихвином и Чудовом (станция Николаевской железн. дороги) равны 75 верст. 125 саж. В 5 час. 36 мин. утра один богомолец выехал из Тихвина по направлению к Чудову; в 7 час. 15 мин. утра выехал по той же дороге из Чудова по направлению к Тихвину другой богомолец, который проезжал в час на ³/₄ версты более первого. Зная, что богомольцы встретились ровно в полдень того же дня, вычислить, по скольку верст проезжал каждый из них  в час.

3260.  Торговец продал 0,3(8)   всего количества бывшего у него чаю по 1 руб. 90 к. фунт, 0,(72) остатка по 1 руб. 75 коп, фунт и весь остальной чай по 2 руб. фунт. От этой продажи торговец потерпел 7¹/₂% убытку. Сколько рублей самому торговцу стоил пуд этого чаю?

ОТВЕТЫ.