Часть третья

ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ.

ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ ПРИ ПОМОЩИ ПРОПОРЦИЙ  и
СПОСОБОМ ПРИВЕДЕНИЯ К ЕДИНИЦЕ.

ОТДЕЛ VIII..

§ 57. Смешанные задачи  для пoвторительного курса.

3311. На одном обеде прнсутствовало 19 мужчин и 21 женщина; все женатые мужчины были тут со своими женами. Число неженатых мужчнн относилось к числу незанужних женщин, как 0,2(27): 0,(27). Сколько замужних женщин и сколько женатых мужчин присутствовало на обеде?

3312. Два брата сложилн свои капиталы и номестили их в банк по 5¹/₄%; таким образом, через 1,(3) года общий их капитал обратился вместе с процентными деньгами в 3343 руб. 75 коп. Если б первый брат поместил свой капитал в банк по 4%, и если б второй брат доместил свой капдтал в банк по 4¹/₂%, то процентные деньги, лолученные первым за 8 мес, были бы равны процентным деньгам, полученным вторым за 10 мес.20 дней. Определить первоначальный капитал каждого брата.

3313.  Ученику была предложена задача, для решения которой следовало первое из данных чисел разделить на второе и полученное частное потом умножить на число,²/₃которого равны 4-м. Ученик, не поняв условия задачи, поступил так: из первого данного числа он вычел второе и к полученной разности прибавил ²/₃ от 6-ти;   несмотря на это, ответ 10, полученный им на вопрос задачи, был тот же самый,  как и при правильном ее решении. Какие два чнсла были помещены в условиях задачи? Указание. Решение сводится к вопросу: найти два числа, которые относятся между собою, как 5:3, и разность которых равна 6.

3314.  Процентные деньги, полученные с некоторого капитала, который находился в обращении 9 мес.  по  5,(3)%,—были  разделены между тремя работниками   обратнопропорционально  числам: 2,5; 3,5; и 4²/₃. Зная, что упомянутый капитал на  столько же рублей более 3276 руб., на сколько 3276 руб. более процентных денег с капитала,—определить, по скольку рублей было выдано каждому работнику.

3315. Если принять меридиан Парижа за первый, то западная долгота о-ва Св. Елены будет 8°3' и западная долгота о-ва Вознесения будет 16^о48'. С о-ва Св. Елены отправился пароход в 9 час. утра 27 февраля 1884 года (мест. времени) и прибыл на о-в Вознесения в 4 часа 25 мин. утра 3 марта (местн. временм) того же года. С о-ва Вознесения в 1 час 5 мин. пополудни (местн. времени) 29 февраля отправился другой пароход на встречу первому и по тому же морскому пути и прибыл на о-в Св. Елены в 10 час. 4 мин. пополудни (местн. времени) 4-го марта. Оказалось, что до места встречи первый пароход успел сделать на 296 морскдх миль (узлов) более второго. Зная, что пароходы шли равномерно, определить момент их встречи по времени меридиада о-ва Св. Елены и длину морского пути между о-вом Св. Елены и о-вом Вознесения.

3316. В Императорском Спб. Обществе Благородных Девиц учебные занятия 1883/84 года начались 22-м августа; учебные занятия следующего учебного года начались 20-м августа (1884). Таким образом, продолжительность каникул, предшествовавших началу этого учебного года, составила 28¹²/₇₁ % остальной части 1883/84 учебного года. Когда начались каникулы в 1883/84 учебн. году?

3317. Торговец смешал два сорта рису: фунт первого сорта ему самому стоил 16¹/₂коп. и фунт второго 11,(6) коп. Если торговец будет продавать фунт смеси на 21⁷/₃₃% дороже стоимости фунта первого сорта, то он получит от продажи всей  смеси 4  р. 56³/₄ коп. прибыли, если же он будет продавать фунт смеси на 5⁵/₇ % дороже стоимости фунта второго сорта, то он получит от продажи всей смеси 2 р. 10¹/₄ к. убытку. Сколько   рису каждого сорта им было взято для составления упомянутой смеси?

3318.  Один из углов треугольника составляет 11¹/₄% другого; внешний угол  этого   треугольника,   несмежный   с   этими двумя, только на 1°0'58" более третьего угла. Вычислить все три угла треугольника.

3319.  Каждый из  углов   при  основании  равнобедренного треугольника составляет 62¹/₂% угла при вершине.  Вычислить все углы этого треугольника.

3320. Параллельные стороны трапеции относятся между собою, как 0,5 : 1,1(6); длина прямой, соединяющей средины непараллельных сторон этой трапеции, равна выпрямленной окружности такого круга, которого радиус равен 8 фут. 9 дюйм.   Приняв, что окружность более диаметра в 3¹/₇ раза, вычислить длину каждой из параллельных сторон трапеции.

3321. Два купца внесли капиталы для  общей  торговли,  в которой первый участвовал своим каниталом 4²/₃ мес. и второй 5  мес. Если б первый купец положил свой капитал в банк, то по прошествии 9 мес. у него составилась бы сумма в 19374 руб. .30 коп., а через 1 год 8  мес.—сумма  в   20394  рубля. Если б второй купец положил свой капитал в тот же самый банк (по столько же %-в), то по прошествии 10 мес.   у  него составилась бы сумма в 17804 руб. По окончании торговли кущы получили прибыль, на которую они купили  лесную  дачу  в  20 десятин 1200 кв. саж. Сколько десятин   из   этой  дачи  придется получить каждому купцу?

3322. 1) Вексель продан за⁵⁰/₅₇ его валюты с математическим учетом по 8%. За сколько времени до срока этот вексель продан? 2) Вексель продан за 0,9(5) его валюты с коммерческим учетом по 5¹/₃%. За сколько времени до срока этот вексель продан?

3323. Между Петербургом и Тверью  по Николаевской железной дороге в числе прочих лежат станции Чудово и Окуловка. Если б расстояние между этими двумя станциями было 30-ю верстами более, нежели действительно, то оно относилось бы к расстоянию между Петербургом и Чудовом, как 4:3; на самом же деле, оно только 7-ю верстами более расстояния между Петербургом и Чудовом. 12-го августа в 8 часа 51 мин. пополудни (петербургского времени) выехал с Окуловской станции по направлению к Твери товарный поезд, который шел средним числом по 15 верст в час. Спустя 3 часа 22 мин. после выхода товарного поезда с Окуловской станции выехал по тому же направлению с Чудовской станции пассажирский поезд, который шел средним числом по 30 верст в час. В 7 час. 15 мин. пополудни 12-го же августа выехал по той же дороге из Петербурга курьерский поезд. Оказалось, что все три поезда прибыли к Тверской станции одновременно. 1) Сколько верст между Петербургом и Тверью по Николаевской железной дороге? 2) Когда поезда прибыли в Тверь? 3) С какою скоростью шел курьерский поезд?

3324.  Некто завещал в наследство жене, двум дочерям и трем сыновьям все свое имущество, состоявшее: 1) из капитала в 19950 руб. процентными бумагами, 2) из векселя в 8652 руб. на имя купца А и 3) из векселя в 9850 руб. на имя купца В. Согласно воле завещателя, все это имущество упомянутые наеледники должны были разделить между собою след. образом: жена и дочери должны получить 99²/₃% того, что достанется всем трем сыновьям;   при   этом  доля  каждой дочери  должна составлять 75% доли жены; доля старшего сына должна относиться к доле среднего, как 1,8(3) : 1,5, и доля младшего должна  составлят 33¹/₃% суммы денег, которую получат все три   брата вместе. Перед самым приведением в исполяение этого духовного завещания средний из сыновей умер. В день раздела имущества между  наследниками,  оставшимнся  в живых, первый вексель (на имя А), которому оставалось до срока 10 мес, был продан с математическим учетом по 6%, и второй вексель (на имя В), которому   оотавалось  до срока 5 мес. 10 дней, был продан с коммерч. учетом по 4¹/₂%. Сколько тогда получил каждый из наследников, оставшихся в живых?

3325.  По исследованиям ученых, основная мера сыпучих тел у древних Греков, хэник  был равен   1,093(6) литра. Хэник составлял 0,0208(3) часть медимна . Выразить величину медимна в четвериках, пользуясь следующими данными: вода в обеме литра весит 2 фунт. 42,24 зол.; вес куб. дюйма воды =3,84 зол.; и в четверике с небольшим 1600 куб. дюйм.

3326. Основною единицею меры поверхности у древних Греков был плетр. Чтобы получить величину плетра, вообразим прямоугольную полосу, ширина которой составляет 23⁴/₂₁% ее длины и вся граница которой (периметр прямоугольника) равна 73 саж. 6,4 фут. Площадь этой прямоугольной полосы и будет равна площади плетра. Выразить площадь плетра в кв. саж. и кв. футах.

3327. Древне-римская миля, подразделявшаяся на 8 стадиев, в 125 двойных римских шагов (passus) каждый, была равна 1478,4 метра. Географическая (немецкая) мили есть ничто иное, как длина дуги земного экватора в 4', и равна 6 верст. 478,125 саж. Морская миля (узел у моряков) равна 0,01(6) градуса земного экватора и содержит в себе 1855 метров. Выразить величину древне-римской мили в верстах и саженях и величину двойного римского шага в футах и дюймах.

3328. Между Гмунденом и Ишлем (в Зальцкаммергуте, в Австрии) проведена железная дорога, на которой среди живописнейшей местности расположены две главных станции: Траункирхен и Эбензее. Расстояние между Гмунденом и первою из этих станций относится к расстоянию между первою и второю станциями, как 3,1(3) : 1,8(6). Эбензее лежит на средине дороги между Гмунденом и Ишлем. Если принять, что окружност ведущего колеса локомотива (курьерскаго поезда) равна 23¹/₃фут. и окружность несущего колеса 12¹/₂фут., то, во время движения локомотива на протяжении всей железной дороги между Ишлем и Гмунденом, первое из этих колес должно сделать 3900 оборотами менее второго. Определит длину части упомянутой дороги между Ишлем и Траункирхеном и длину части между Траункирхеном и Гмунденом.

3329. В городе 448 газовых фонарей. В каждом фонаре на главных улицах города сгорает в час 5²/₃и в каждом фонаре на всех прочих улицах 3⁴/₅ куб. фут. газа. За 1000 куб. фут. сгоревшего газа город уплачивает газовому обществу 2 руб. 50 коп. Таким образом, освещение города всеми 448 фонарями в течение ноября месяца обойдется в 1518 руб. 72 коп., если при том фонари будут ежедневно зажигаться  в   7  час. пополудни и  гаситься в 4 часа 36 мин. пополуночи. Сколько фонарей на главных улицах города и сколько на всех остальных?

3330. В одном семействе купили чаю двух сортов: по 4 р. 20 к. и по 2 р. 40 к. за фунт. В самый день покупки смешали 0,541(6) всего купленного чаю лучшего сорта с 0,48(3) всего купленного чаю худшего, вследствие чего получилась смесь, ценою по 3,(5) рубля фунт. Начиная со дня покупки, стали расходовать из составленной смеси по 4¹/₂ зол. в день; таким образом, всей смеси достало до 9 июня (включит.) 1884 года. Если б расходовали по 2 зол. 64 доли в день, то всей смеси достало бы до 16 сентября (включительно) того же года. Какого месяца и числа была составлена смесь, и в каком количестве было куплено чаю каждого сорта?

3331.  Виноторговец купил боченок чистого вина, из которого сделал две смеси. Для образования первой он  смешал половину всего чистого вина с 5¹/₂ ведрами воды, и для   образования второй он смешал остальную половину чистого вина с 11¹/₈ ведрами воды. Если виноторговец будет продавать ведро первой смеси по 2 руб. 55 коп., то получит 25% убытку; если же он продаст вторую смесь по 3 р. 40 коп. за ведро, то получит 25% прибыли. Сколько всего чистого вина первоначально было куплено торговцем и почем за ведро?

3332.  Вес денария, римской серебряной монеты,  был  равен до первой Пунической войжы 0,013(8) древне-римскаго фунта (libra). В денарии было 10 ассов или 4  сестерция;  другая  серебряная моиета квинарий содержал 5 ассов или  2  сестерция. Химический анализ, произведенный для английского ученого Гесси (Нussеу), показал, что монета квинарий состояла из сплава серебра, золота и меди *): серебра в ней оказалссь на 2⁶/₄₇ грамма более, нежели  меди;  вес  меди  при  этом   составлял толко 3⁷/₃₁% веса серебра; и вес золота относился к весу меди, как 0,2(3): 2. Выразить в золотниках и долях величину   древне-римскаго фунта, приняв грамм равным 22¹/₂долям.

___________________

*) Hussey, Essay on the ancient weights and money,  and   the   Romac and Greek liquid measures. Oxford. 1836.

3333. Основною единицею веса в древней Греции служил аттитический талант; в таланте было 60 мин и в мине 100 драхм. Нормальный вес золотого статера , золотой монеты древних Греков,  был   равен   двум драхмам, что, по  исследованиям   ученых,   составляет   8,732 грамма. Можно думать, что статер чеканился из чистого золота. В настоящее время в Пруссии из килограмма, т. е. из 2 фун. 42 золотн. 36 дол., чистого золота чеканится с  примесью меди (¹/₂ части чист. золота) 279 золотых полукрон, в 10 имперских марок каждая. Полуимпериал, российская золотая монета в   5 руб., весить 1 золотн. 51,(27) дол.д и чеканился до 1886 года из сплава 88-ой пробы. Выразить в   металлическях рублях   стоимость золотого статера и в имперских марках стоимость аттического таланта чистого серебра, приняв при этом последнем требовании, что золото по новейшему курсу в 15¹/₂ раз  дороже серебра (стоимостью же лигатуры и чеканения можно пренебречь).

3334. Аристофан *) купил у Лизия (известного в древних Афинах своими диалогами и жившаго от 437 до 378 г. до Р. X.) дом и 300 плетров эемли и за все это заплатил 5 аттических серебряных талантов и 20 мин. Цена дома составляла 18,(518) % цены земли.—Плетр, единица поверхности у древних Греков, состоял из 10000 квадр. аттических футов; аттический фут был равея 0,1(4) сажени. По  новейшему  курсу на серебро можно принять,   что  серебряный аттический талант равен 1407,77 металлическ. руб. Выразить в  металлическ.   рублях стоимость десятины земли, купленной Арястофаном у   Лизия.—В таланте было 60 мин.

*) Böckh. Die Staatshaushaltung der Athener. Berlin. 1851.

3335. В древней Греции мерою   сыпучих   тел   служил медимн =2  четверик.;  мерою  жидких  тел  служил метрет =3,2 ведра. По сказанию афинского  историка  Полибия (210-128 г. до Р. X.) оказывается, что в его время в Лузитании (древняя Римская провинция в Испании) цена медимна ржи относилась к цене медимна сицилийской пшеницы, как 0,(3) к 0,4(9); цена метрета вина, будучи 3-мя серебряными оболами менее цены медимна пшеницы, составляла 40% цены медимна ржи и  медимна  пшеницы   вместе.  Серебряная драхма, равнявшаяся 6-ти   оболам,   весила   1   зол. 3 доли и чеканилась из чистого серебра. Серебряный рубль (чеканенный до 1886 г.) был  83,(3) пробы и весил 4. зол. 82,56 доли. Выразить в  рублях  и копейках цены четверти ржи, четверти пшеницы и ведра вина, в которых стояли эти предметы в Лузитании во времена Полибия.

3336. Греки древней Эллады выдавали в ссуду деньги под большое вознаграждение, доходившее иногда до 36 %. Это вознаграждеаие обыкновенно у них определялось числом оболов или драхм, которые должник обязывался уплачивать своему кредитору ежемесячно с каждой мины занятой суммы. Определить сумму, занятую в долг с вознаграждением 9 оболов, если должник уплатил своему кредитору всего 9 талантов 16 мин 25 драхм вместе с вознаграждением за 7¹/₂месяцев. Талант = 60 минам; мина =100 драхмам; обол = 0,1(6) драхмы.

3337. У золотых дел мастера было два куска золота 84-ой и 70-ой пробы, из которых первый был в 1¹/₂ раза тяжелее второго. Мастер сплавил оба куска вместе с некоторым количеством меди и получил сплав, в котором вес всей меди составил 71³/₇% веса чистого золота. Из всего полученного сплава мастер сделал целочку, браслет и кольцо. Вес цепочки относился к весу браслета, как 1:0,91(6); вес кольца, которое было на 17¹/₂ золотн. легче браслета, составлял 4¹/₆% веса, всего сплава. Сколько было весу в куске золота 84-ой и в куске золота 70-ой пробы?

3338. Греческие войска, сражавшиеся в 479 г. до Р. X. против Персов при Платее(в 11 верст. к юго-западу от Фив) состояли из Афинян, Спартанцев, Лаконийцев и союзников прочих греческих государств (Феспийцев, Беотийцев и др.). Если б число легковооруженных солдат этих войск было на 2500 менее, нежели в действительности, то оно относилось бы к числу всех гоплитов (тяжеловооруженных солдат), участвовавших в сражении, как 0,(8): 0,5. Число афинских гоплитов относилось к числу спартанских, как 1,(3): 0,8(3); число лаконийских гоплитов было равно 38 ⁶/₁₃ % числа спартанских и афинских гоплитов вместе; и число гоплитов остальных греческих государств составляло ²³/₄₃ числа гоплитов всего войска. В спартанском войске на каждого гоплита приходилось по 7-ми легковооруженных солдат; в афинском и лаконийском войсках число тех и других ратников было одинаково. Зная, что в спартанском войске было на 24000 солдат более, нежели в афинском, определить число солдат всех греческих войск, участвовавших в битве при Платее *).

*) Herodot, IX.

3339. Высота Эльборуса отяосится к высоте Казбека, как 5,6 :5; высота Казбека относится к высоте Демавенда, как 1¹/₂ к 1,66(9). Высота большого Арарата будучи 637 ¹/₁₇ метрами менее высоты Эльборуса, составляет ¹⁴⁹/₆₃₄ суммы высот Эльборуса, Казбека, Демавенда и самого Арарата. Зная, что 57 метров = 187 фут., выразить в футах высоту каждой из четырех названных вершин.

3340. Длина, ширина и высота комнаты, имеющей форму прямоутольного параллелепипеда, обратнопропорциональны следующим числам: 0,4(9), 1,2 и 1,5. Для оклейки верхнего края всех четырех стен комнаты понадобилось 34 аршина бордюр. Найти длину, ширину и высоту этой комнаты.

ОТВЕТЫ.