|
ГЛАВА 8
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ И АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
Ответы и решения
763. Скорость первого поезда х км\час, скорость второго (х—12) км/час. Имеем уравнение
Отв. Скорость первого поезда 48 км/час, второго — 36 км/час.
__________________________________________________
764. Пусть скорость первого равна v км/час, тогда скорость второго равна (v—2) км/час. Первый затрачивает 24/v час, второй 24/v—2 час. Получаем уравнение
Отв. 8 км/час, 6 км/час.
__________________________________________________
765. Пусть скорость поезда х км/час; тогда скорость парохода (х—30) км/час. Поезд затрачивает 66/x час., а пароход 80,5/x—30 час.
Получаем уравнение
Отв. Скорость поезда 44 км/час, скорость парохода 14 км/чаc.
__________________________________________________
766. Пусть первая мастерская шила в день по х костюмов; тогда вторая шила по х+4 костюма. Первая мастерская выполнила заказ в 810/x дней; значит, срок заказа был ( 810/x+ 3) дней.
Срок заказа второй мастерской был тот же. Следовательно,
Отв Первая мастерская шила в день по 20 костюмов, вторая — по 24 костюма.
__________________________________________________
767. Пусть скорость парохода, идущего на юг, х км/час,, а парохода, идущего на запад, (х + 6) км/час. Так как направления движения перпендикулярны, то по теореме Пифагора
(2х) 2+ [2(x+6)]2=602.
Отв. Скорость первого парохода 18 км/час, второго — 24 км/час.
__________________________________________________
768. Два скачка собаки составляют 4 м; 3 скачка лисицы составляют 3 м. Следовательно, когда собака пробегает 4 м, расстояние между собакой и лисицей сокращается на 4 м—3 м=1 м. Первоначальное же расстояние между ними в 30 раз больше. Значит, собака догонит лисицу, когда пробежит 4м • 30=120 м.
Отв. На расстоянии 120 м.
__________________________________________________
769. За 1 мин. минутная стрелка поворачивается на 6°, а часовая — на 1/2 °. Когда часы показывают 4 часа, угол между часовой и минутной стрелками равен 120°. За х минут стрелки поворачиваются соответственно на 6х и 1/2 х градуса.
По условию 6х — 1/2 х = 120.
Отв. Через 219/11 минуты.
__________________________________________________
770. Обозначим через t время следования поезда от А до С (в часах) и через v — установленную скорость в (км/час). По условию путь АВ пройден за t/2. час. при скорости v км/час., а путь ВС — за t/2 час. при скорости 0,75v км/час.
Значит, АВ = v • t/2 км и ВС =0,75v • t/2 — км.
По условию на обратном пути участок СВ был пройден со скоростью v, а участок ВА — со скоростью 0,75v .
Значит, участок СВ был пройден за время 0,75vt/2 : v, т. е. за 0,75t/2 час, а участок ВА—за vt/2 : 0,75v, т. е. за t/2 • 0,75 час.
По условию
Отв. 10 час.
__________________________________________________
771. Положим, что велосипедист ехал со скоростью v км/час; тогда скорость, которая предусматривалась, равнялась (v—1) км/час. Фактически велосипедист был в пути 30/v час, а полагался срок 30/v—1 час. По условию
Отрицательное решение v =—24 не годится.
Отв. 25 км/час.
__________________________________________________
772. Пусть скорость поезда но расписанию составляет х км/час. Тогда фактическая скорость была (х+10) км/час. Продолжительность пути по расписанию 80/х час, а фактическая 80/х+10 час. По условию
Отв. 50 км/час.
__________________________________________________
773. Первую половину пути поезд шел х час. Тогда, чтобы прийти без опоздания, он должен был пройти вторую половину за х — 1/2 часа. В первую половину пути скорость поезда 420/х км/час, а во вторую  . По условию
Уравнение имеет один положительный корень.
Отв. 21 час.
__________________________________________________
774. Пусть скорость первого поезда х км/час, скорость второго у км/час. В первом случае первый поезд пройдет до встречи 10х км, второй 10у км. Следовательно,
10x+10у =650.
Во втором случае первый поезд пройдет до встречи 8х км, а второй (который шел 8 час + 4 часа 20 мин. = 121/3 часа) пройдет 121/3 у. Следовательно,
8х + 121/3 у = 650.
Отв. Средняя скорость первого поезда 35 км/час, второго — 30 км/час.
__________________________________________________
775. Пусть скорость первого поезда х км/час, а второго у км/час. Расстояние в 600 км первый поезд проходит за 600/х час, а второй — за 600/у час. По условию
600/х + 3 = 600/у , 250/х = 200/у
Отв. Скорость первого поезда 50 км/час, второго — 40 км/час.
__________________________________________________
776. Если длина пути х км, то при скорости 3,5 км/час. дачник пройдет это расстояние за x/3,5 часа. А так как он опоздает к поезду на час, то в момент его выхода до отхода поезда оставалось (x/3,5 —1) час. Через час после выхода дачника оставалось до отхода поезда (x/3,5 — 2) часа, а пройти нужно было еще (х—3,5) км. При скорости 5 км/час дачник пройдет это расстояние за х—3,5/5 час. Так как он придет за 1/2 часа до отхода поезда, то
x/3,5 — 2 — х—3,5/5 = 1/2
Отв 21 км.
__________________________________________________
777. Пусть скорость велосипеда х км/мин, а автомобиля у км/мин. Автомобиль пробыл в пути 10 мин., а велосипедист 10+15=25 мин., когда его догнал автомобиль. В этот момент расстояния, пройденные ими, были одинаковы. Следовательно, 25x=10у. Когда на обратном пути автомобиль встретил велосипедиста, автомобиль прошел 50у км, а велосипедист 65x км. Эти расстояния в сумме дают двойное расстояние от Москвы до Мытищ. Поэтому 65x + 50y=38 Решая систему уравнений, находим х =0,2; у=0,5.
Отв. Скорость велосипедиста 0,2 км/мин = 12 км/час;
скорость автомобиля 0,5 км/мин. = 30 км/час.
__________________________________________________
778. Пусть поезда встретились через х час. после выхода скорого поезда. Тогда почтовый поезд в момент встречи находился в пути (х+3) часа. До места встречи каждый поезд прошел 1080 : 2 = 540 (км). Значит, скорость первого поезда 540/х км/час, а второго 540/х+3 км/час. По условию 540/х — 540/х+3= 15. Годится только один корень x = 9.
Отв. Через 9 час. после выхода скорого поезда.
__________________________________________________
779. Пусть первый велосипедист ехал х час. Рассуждая, как в предыдущей задаче, составим уравнение 36/x—1— 42/x = 4.
Отв. Скорость первого велосипедиста 14 км/час, а второго 18 км/час; первый ехал до встречи 3 часа, а второй 2 часа.
__________________________________________________
780. Пусть расстояние АВ между пунктами отправления есть х км, и пусть первый пешеход пройдет его за у час. По условию второй проходит путь ВА за (у—5) час. Значит, за час первый проходит x/y км, а второй x/y—5 км. За час расстояние между пеше ходами сокращается на ( x/y+ x/y—5 ) км, за 31/3 часа — на
31/3 ( x/y+ x/y—5 )
Так как через 31/3 часа они встретились, то
31/3 ( x/y+ x/y—5 ) = х
Так как х=/=0, то обе части можно разделить на х. Получаем:
31/3 ( 1/y+ 1/y—5 ) =1
Отсюда находим у. Значение х остается неопределенным.
Отв. Первый пройдет все расстояние за 10 час, второй — за 5 час.
__________________________________________________
781. Обозначим пункт встречи через С. Пусть АС = х км;
тогда по условию СВ= (x + 12) км. Далее, по условию первый турист
прошел путь СВ за 8 час. Значит, его скорость х+12/8 км/час. Так же найдем, что скорость второго туриста х/9 км/час. Следовательно, путь АС первый турист проделал за  час., второй жe турист прошел путь ВС за  час. А так как второй был в пути на 6 час. больше, чем первый, то
При решении этого уравнения можно ввести вспомогательное неизвестное х+12/x= z. Получим 9z —8/z = 6. Из двух корней z1 = 4/3 и z2 = — 2/3 (второй не годится, так как обе величины х = АС и х+12 = СВ должны быть положительными.
Из уравнения х+12/x = 4/3 найдем х = 36. Значит, АС = 36 км, СВ = 48 км.
Отв. AB=84км. Скорость первого туриста 6 км/час; скорость второго туриста 4 км/час.
__________________________________________________
782. Задача сходна с предыдущей. Пусть дирижабль пролетел до встречи х км; тогда самолет до встречи пролетел (x+100) км. '
Скорость дирижабля х+100/3 км/час; скорость самолета 
От своего аэродрома до места встречи дирижабль летел 
самолет же летел от своего аэродрома до места встречи  час. Получаем уравнение
Следовательно,  , откуда x= 200; второй корень не годится.
Отв. Расстояние между аэродромами 500 км; скорость дирижабля 100 км/час; скорость самолета 150 км/час;
__________________________________________________
783. Первый способ. Можно решать, как предыдущую задачу. Получим уравнение
Второй способ. Обозначим через С точку встречи. Так как первый пройдет расстояние СВ за т часов, то CB =v1m км. Аналогично CA = v2n км. По условию СА—СВ = а. Получаем уравнение nv2—mv1 = a. На прохождение участка АС первый пешеход затратил время  час; значит, с момента его выхода до встречи прошло  час. Аналогично с момента выхода второго пешехода до встречи прошло  час. Так как оба вышли одновременно, то 
Из последнего уравнения находим v1: v2 =√n : √m . Это уравнение решаем совместно с первым. Для симметрии полезно ввести вспомогательное неизвестное  .
Подставляя в первое уравнение выражения v1 = √n t; v2 = √m t, получим
(n √m — m √n) t = а, откуда  теперь находим:
Замечание. Задача имеет решение только в том случае, когда n √m > m √n деля обе части этого неравенства на положительное число √m √n, получаем √n>√m, т. е. п > т. Это условие можно получить и непосредственно из условия задачи: так как до встречи первый пешеход прошел большее расстояние, чем второй, то его скорость больше, чем скорость второго. С другой стороны, первому пешеходу до конца пути истается пройти меньше, чем второму. Следовательно, первый придет в В скорее, чем второй придет в А.
__________________________________________________
784. Пусть в 1 сек. первое тело пробежит х градусов, а второе у градусов. Из первого условия находим 360/y —360/х= 5 Каждую секунду расстояние между телами (по дуге) увеличивается на (х—у) градусов. За время, протекающее от одного схождения до следующего (т. е. за 100 сек.), расстояние должно увеличиться на 360°. Поэтому 100(x—у) =360. Полученная система имеет два решения (x1= 18; y1=14,4; x2 = —14,4, y2= —18). Оба они годятся, но физический смысл их один и тот же (меняются только номера тел и направление движения).
Отв. 18°; 14°24.
__________________________________________________
785. Обозначим скорость одного тела (выраженную в м/мин) через х, а скорость другого — через y . Положим, что х > у. Пусть тела движутся в одном направлении и сходятся в некоторой точке А. Пусть ближайшая следующая встреча происходит в точке В (заранее не исключается, что точка В совпадает с точкой А; это будет, например, в случае, если скорость первого тела вдвое больше скорости второго; в этом случае до ближайшей встречи первое сделает два полных оборота, а второе — один).
На пути от A к В (этот путь может для одного тела или для обоих перекрывать сам себя) второе тело отстает от первого, и в момент ближайшего совпадения отставание составит длину полной окружности. Так как между двумя ближайшими соединениями тел протекает 56 мин., за которые первое тело проходит 56x м, а второе 56y м, то длина окружности равна 56х—56y.
Пусть теперь тела движутся в противоположных направлениях. Тогда пути, пройденные ими за время, протекающее между двумя ближайшими встречами, т. е. за 8 мин., в сумме составят длину окружности. Следовательно, длина окружности равна 8х+8y. Имеем уравнение 56х—56y= 8х+8y.
В условии задачи сказано далее, что за 24 сек, расстояние между ними уменьшилось на 40—26 = 14 (м). За эти 24 сек. тела не встречались; поэтому уменьшение расстояния равно сумме путей, пройденных телами за 24 сек.= 2/5 мин. Получаем второе уравнение
2/5 x + 2/5 y = 14.
Отв. 20 м/мин; 15 м/мин; 280 м.
__________________________________________________
786. Пусть х и у — положительные числа, выражающие скорости точек в соответствующих единицах (если с — длина окружности в метрах, то единица скорости 1 м/сек и т. п.; в задаче не указано, в каких единицах измеряется длина).
Положим, что х > у. Тогда имеем систему уравнений:
tх — tу = с; c/y— c/x = п
(вывод первого уравнения см. в предыдущей задаче). Подстановкой находим уравнение
nty2 + ncy — c2 = 0.
Его положительный корень  ; (второй корень
отрицательный).
Отв. Большая скорость численно равна  меньшая скорость 
__________________________________________________
787. Пусть скорость парохода в стоячей воде х км/час. Имеем уравнение
Отв. 20 км/час,
__________________________________________________
788. Отв. 9 км/час.
__________________________________________________
789. Пусть скорость течения х км/час, а скорость лодки в стоячей воде у км/час. Первое условие дает уравнение  , второе условие — уравнение
Для решения этой системы удобно положить
Решая систему
20u +20v = 10; 2v = 3u, находим
u = 1/5 ; v = 3/10 т.е. у + х = 5; у — х = 10/3
откуда х = 5/6.
Отв. 5/6 км/час.
__________________________________________________
790. Пусть плот проплывает расстояние а км от Киева до Днепропетровска за х суток. Тогда его скорость, равная скорости течения Днепра, есть а/x км/сутки. По условию скорость парохода, идущего по течению, равна а/2 км/сутки. Следовательно, скорость парохода в стоячей воде будет ( а/2 — а/x ) км/сутки. А так как скорость движения парохода против течения составляет а/3 км/сутки, то скорость его в стоячей воде равна (а/3+а/x) км/сутки. Имеем уравнение
а/2 — а/x = а/3+а/x
Отв. 12 суток.
__________________________________________________
791. Пусть х м/сек скорость тела М1 а у м/сек — тела М2 . К моменту первой встречи тело М1 находилось в пути 21 сек., а второе 21 сек.— 15 сек.=6 сек. Получаем уравнение
21х + 6у = 60.
К моменту второй встречи тело М1 находилось в пути 45 сек., а тело М2 45 сек.—15 сек=30 сек. Пусть С — точка второй встречи; тогда тело М1 к моменту второй встречи успело пройти расстояние АВ + ВС, а тело М2 — расстояние ВА + АС. Сумма этих расстояний есть 3•АВ, т. е. 180 м. Получаем второе уравнение
45х + 30у =180.
Отв. Скорость тела М1есть 2 м/сек, а тела М2 — 3 м/сек.
__________________________________________________
792. Пусть скорость при движении в гору х км/час, по ровному месту— у км/час и под гору — z км/час. Вернувшись обратно с полпути, посыльный прошел 14 : 2 = 7 км; 3 км он шел в гору, 4 км— по ровному месту, потом (на обратном пути) еще 4 км по ровному месту и, наконец, 3 км под гору. По условию
Два других условия дают:
Находим 1/x, 1/y, 1/z, а затем х, y, z.
Отв. В гору 3 км/час; по ровному месту 4 км/час; под гору 5 км/час.
__________________________________________________
|