ГЛАВА 9

РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ

Разные задачи

942.  Угол между двумя соседними лучами равен  ^2π/_n. Обозначим через d₁, d₂, ... расстояния от А до оснований перпендикуляров, последовательно опускаемых на лучи, исходящие из точки А (рис. 7).

Очевидно, имеем:

d_k  = d (cos ^2π/_n)^k   ( k = 1,2, ...)

Длина k-го перпендикуляра равна

Полная длина ломаной из т звеньев будет

Длина L бесконечно завивающейся ломаной получится при неограниченном увеличении т и выразится суммой членов бесконечной убывающей    геометрической   прогрессии  со знаменателем q = cos^2π/_n и первым членом d sin^2π/_n:

При увеличении n длина L, растет и при неограниченном увеличении п растет неограниченно.

__________________________________________________

943.  Первое   решение. Пусть      1abcde — искомое     число (здесь буквы а, b, с, d, e обозначают цифры соответствующих разрядов).

Очевидно, е = 7, так как 1abcde • 3 = abcde1.

После умножения 7 на 3 двойка переходит в следующий разряд, поэтому произведение d • 3 должно оканчиваться цифрой 5. Значит, d = 5. Имеем 1аbс57 • 3 = аbс571. Рассуждая аналогично, находим, что с =8, b = 1 и, наконец, а = 4. Искомое число есть 142 857.

Второе решение. Пусть снова 1abcde—искомое число. Положим abcde = x, тогда искомое число равно 10⁵ + x  . По условию задачи имеем

(10⁵ + x) • 3 =10x +1,

откуда x  = 42 857. Следовательно, искомое число 142 857.

__________________________________________________

944.  Так как р делится на 37, то можно написать

р =100a +10b  + c =37k, где k—целое.

Очевидно, далее, что

q = 100b + 10с + а = 10р — 999а = 370k — 37•27а.

Следовательно, и q делится на 37.

Аналогичные рассуждения  пригодны и для числа r.

__________________________________________________

945.  Имеем:   А = п³ + (п + 1)³ + (п + 2)³ = 3п³+9п² +15п + 9.

Очевидно,    достаточно   показать,    что   В = 3п³ + 15п = 3п(п²+ 5) делится на 9.

Если п =3k,  k — целое, то В   делится на 9.

При п = 3k + l ,    п² + 5 = 9k² + 6k + 6;    

при   п = 3k + 2,    п² + 5 = 9k² +  12k + 9. В обоих случаях   п² + 5 делится на 3. Следовательно, во всех случаях В делится на 9.

__________________________________________________

946.  Первое решение. Сумму S_n можно представить в следующем виде

S_n = п³ + 3(п² + 2п + l) — п = (п—1) • п • (п + 1) + 3(п+1)² .

Первое слагаемое делится на 3, так как оно является произведением трех последовательных целых чисел (одно из них обязательно кратно трем). Следовательно, и S_n  делится на 3.

Второе решение. Доказательство проведем по индукции. При п = 1 S₁ =12 делится на 3. Допустим, что при каком-либо п сумма S_n  делится на 3. Имеем:

S_n+1  = (п + l )³ + 3(п + l )²  + 5 (п + l ) +3 = S_n + 3(п² + 3п + 3). Следовательно, S_n+1 также делится на 3.

__________________________________________________

947.  В основании пирамиды шары уложены в виде равностороннего треугольника. Пусть сторона этого треугольника содержит п шаров. Тогда в основании пирамиды лежит

  шaров.   

Следующий,   второй   слой   пирамиды содержит  

  шаров.

Третий слой пирамиды содержит    шаров   и   т.   д.

Последний,   самый   верхний,   слой  состоит из одного   шара.   Всего в пирамиде 120 шаров. Следовательно,

Правая часть равенства равна       (см.     задачу    923),   следовательно,   для   определения   п   получаем   уравнение

п(п+ 1) (п+ 2) = 720.                                   (1)

Это уравнение имеет очевидное решение п = 8. Для отыскания других решений этого уравнения переносим 720 в левую часть и получающийся там многочлен делим на п — 8. Частное от деления будет равно п²+11п + 90. Так как корни этого последнего многочлена невещественны, то уравнение (1) не имеет других целых решений,   кроме  п = 8.   Итак,   в  основании   пирамидальной  фигуры  лежит шаров

__________________________________________________

948.  Так как число наполненных ящиков равно т, то число вложенных ящиков будет равно mk. Отсюда вытекает, что количество всех ящиков (вместе с первым) равно mk+1. Следовательно, число пустых ящиков равно mk +1— m = m(k —1) + 1.

__________________________________________________