ГЛАВА   3

ПЛАНИМЕТРИЯ

ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

62. Доказать,   что   квадрат   биссектрисы,   проведенной через вершину произвольного треугольника, равен произведению боковых сторон без произведения   отрезков   основания. Выяснить смысл указанного равенства в случае равнобедренного треугольника. Решение

63. На сторонах АВ и АС треугольника ABC отложено в противоположных направлениях два равных отрезка BD = СЕ. Доказать, что отрезок DE делится стороной ВС в отношении, обратном отношению сторон АВ и АС. Решение

64. Доказать, что во всяком треугольнике биссектриса лежит между медианой и высотой, проведенными из той же вершины. Решение

65. Доказать,   что   прямая,   симметричная   с   медианой относительно биссектрисы   внутреннего  угла   треугольника, делит противоположную сторону на части, пропорциональные квадратам прилежащих сторон. Решение

66. На сторонах треугольника ABC взяты точки Р, Q, R так, что три прямые АР, BQ и CR пересекаются в одной точке. Доказать, что

AR•BP•CQ = RB•PC•QA. Решение

67. Доказать, что в любом треугольнике радиус описанного круга R и радиус вписанного круга r связаны с расстоянием l между центрами этих кругов соотношением

l² = R² — 2Rr        Решение

68. Доказать,   что   в   любом   треугольнике   отношение радиуса вписанной окружности к радиусу описанной не превосходит  ¹/₂ . Решение

69. Доказать, что для любого прямоугольного треугольника справедливо неравенство

0,4 < ^r/_h <0,5,

где r — радиус вписанного круга, h — высота, опущенная на  гипотенузу.  Решение

70. Доказать, что в любом остроугольном треугольнике k_a +  k_b + k_c = r + R,     где k_a,    k_b,     k_c — перпендикуляры, опущенные из центра   описанной   окружности на соответствующие   стороны; r  и R — радиусы   вписанной   и   описанной окружностей.

Указание.   Можно выразить левую и правую части искомого равенства через стороны и углы треугольника.   Решение

71. Вершины А, В и С треугольника соединены с точками А₁, В₁, С₁,   расположенными  произвольно на противоположных сторонах (но не в вершинах). Доказать, что середины отрезков АА₁, BB₁ CC₁   не лежат  на   одной   прямой.  Решение

72. Через произвольную   точку О,   взятую внутри треугольника ABC, проведены прямые DE, FK, MN, параллельные, соответственно, АВ, АС, ВС,   причем F и М лежат на АВ,    Е и К— на ВС,    N и D —на АС, Доказать, что

   Решение

73. В треугольник вписан квадрат так, что одна из его сторон лежит на наибольшей стороне треугольника. Доказать неравенство √2r < х < 2r, где х —длина стороны квадрата, r — радиус круга, вписанного в данный треугольник.  Решение

74. Доказать, что середины сторон треугольника, основания высот и середины отрезков высот, заключенных между каждой из вершин и точкой   пересечения   высот,   представляют   собой   девять точек,   лежащих на одной   окружности. Показать,   что центр   этой   окружности   лежит   на середине отрезка,   соединяющего   точку   пересечения   высот   данного треугольника с центром   описанного   круга, а радиус   равен половине радиуса описанного круга.  Решение

75. В треугольнике   из   основания   каждой высоты опущены перпендикуляры на две другие стороны. Доказать, что: 1)   основания   этих   перпендикуляров   являются   вершинами шестиугольника, три из сторон   которого  параллельны сторонам треугольника; 2) вокруг этого шестиугольника можно описать окружность.  Решение