|
76. Доказать, что в прямоугольном треугольнике сумма катетов равна сумме диаметров вписанной и описанной окружностей. Решение
77. Доказать, что в прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит пополам угол между медианой и высотой, опущенными иа гипотенузу. Решение
78. Два треугольника ABC и А1В1С1 расположены симметрично друг другу относительно центра их общего вписанного круга радиуса r. Доказать, что произведение площадей ABC, А1В1С1 и шести треугольников, получившихся при пересечении сторон /\ ABC и /\ А1В1С1 , равно r16. Решение
79. Доказать, что разность между суммой квадратов расстояний произвольной точки М плоскости до двух противоположных вершин параллелограмма ABCD и суммой квадратов расстояний от той же точки до двух других вершин есть величина постоянная. Решение
80. На сторонах треугольника ABC построены равносторонние треугольники АВС1, ВСА1, САВ1, не перекрывающиеся с /\ ABC. Доказать, что прямые АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке. Решение
81. На сторонах АВ, АС, ВС треугольника ABC, как на основаниях, построены три равнобедренных подобных треугольника АВР, ACQ, ВСR, два первых вне данного треугольника, третий—по ту же сторону, что и данный треугольник. Доказать, что APRQ — параллелограмм (или что точки А, Р, R, Q лежат на одной прямой). Решение
82. Некоторая точка О плоскости соединена с вершинами параллелограмма ABCD. Доказать, что площадь треугольника АОС равна сумме или разности площадей двух смежных треугольников, образованных двумя из прямых ОА, ОВ, ОС, OD и соответствующей стороной параллелограмма. Разобрать случаи, когда точка О находится внутри и вне параллелограмма. Решение
83. В трапеции ABCD сумма углов при основании AD равна π/2. Доказать, что отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований. Решение
84. Доказать, что сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов боковых сторон с удвоенным произведением оснований. Решение
85. Доказать, что прямая, соединяющая середины параллельных сторон трапеции, пройдет через точку пересечения диагоналей. Решение
86. Доказать, что если отрезок, соединяющий середины противоположных сторон четырехугольника, равен полусумме двух других сторон, то этот четырехугольник есть трапеция. Решение
87. Доказать, что если диагонали двух четырехугольников соответственно равны и пересекаются под равными углами, то четырехугольники равновелики. Решение
88. Доказать, что по крайней мере одно из оснований перпендикуляров, опущенных из произвольно взятой внутренней точки выпуклого многоугольника на его стороны, лежит на самой стороне, а не на ее продолжении, Решение
89. Доказать, что биссектрисы внутренних углов параллелограмма в пересечении образуют прямоугольник, диагонали которого равны разности соседних сторон параллелограмма. Решение
|