ГЛАВА   3

ПЛАНИМЕТРИЯ

ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

104.  Через середину С произвольной хорды АВ окружности проведены две хорды KL и MN (К и М находятся по одну сторону от АВ), Q — точка пересечения АВ и KN, Р—точка пересечения   АВ  и ML. Доказать,   что   QC = CP.  Решение

105.  Окружность разделена произвольным образом на четыре части, и середины получающихся дуг соединены отрезками прямых. Показать, что среди этих отрезков два будут перпендикулярны между собой.  Решение

106. Доказать, что для любой замкнутой не пересекающей   себя  ломаной   линии   в   плоскости   существует   круг, радиус которого составляет ¹/₄  периметра   ломаной линии   и вне которого нет ни одной точки ломаной.   Решение

107.  Может ли быть правильным треугольник, расстояния вершин которого до двух данных взаимно перпендикулярных прямых выражаются целыми числами?  Решение

108.  В точках А   и   В прямой, по одну   сторону от нее, восставлены два перпендикуляра АА₁ = а и ВВ₁ = b.   Доказать, что при сохранении величин а и b точка пересечения прямых АВ₁ и А₁В будет находиться на одном и том же расстоянии от прямой АВ независимо от положения точек А и В.   Решение

109.  В прямой угол с вершиной А  вписана окружность; В   и   С —точки   касания.    Доказать,   что    если   к   данной окружности   провести   касательную, пересекающую стороны АВ и АС в точках М и N, то она отсечет   на этих  сторонах  отрезки  MB и  NC, сумма   длин которых   больше, чем ¹/₃ (АВ + АС), и меньше, чем ¹/₂ (АВ + АС)  Решение

110.  Окружность  радиуса,   равного   высоте   некоторого равнобедренного треугольника, катится по основанию этого треугольника. Доказать, что величина дуги, отсекаемой   на окружности боковыми сторонами треугольника, остается при этом постоянной. Будет ли это предложение   верно для неравнобедренного треугольника?  Решение

111.  Доказать, что   диагонали вписанного в  круг четырехугольника относятся между собой как суммы произведений сторон, сходящихся в концах диагоналей.  Решение

112.  Доказать, что   сумма   квадратов расстояний какой-нибудь точки окружности до вершин правильного вписанного треугольника есть   величина   постоянная,  не   зависящая   от положения точки на окружности.  Решение

113. Доказать,   что   если   окружность касается   изнутри трех    сторон    четырехугольника    и    пересекает    четвертую сторону, то сумма этой последней и противоположной стороны больше суммы двух других сторон четырехугольника.   Решение

114.  Доказать, что если окружность касается изнутри трех сторон четырехугольника, четвертая сторона которого не пересекает окружности, то сумма четвертой и противоположной сторон меньше суммы двух других сторон четырехугольника.  Решение

115.  Даны два равных полукруга, касающихся друг друга так,   что  диаметры   их   лежат   на   одной прямой.   Проводим к ним общую касательную и вписываем первый круг, касающийся этой прямой и двух данных кругов; затем вписываем второй   круг,   касающийся   первого   и   двух   данных,   затем третий круг, касающийся второго и двух данных, и т. д. до бесконечности. Пользуясь этим   построением, доказать,   что сумма дробей

при безграничном возрастании п стремится к 1,  т. е.

 Решение

116.  В точке А, находящейся на расстоянии а от центра круглого биллиарда радиуса R, лежит упругий шарик, размерами которого   можно пренебречь.   В   какую точку В борта нужно его направить, чтобы, дважды отразившись от борта, он снова вернулся в точку А?  Решение

117.  Из точки А, расположенной внутри угла с зеркальными сторонами,   исходит  луч   света.   Доказать, что число отражений,   которое  испытывает   этот луч от сторон   угла, всегда конечно. Найти это число, если данный угол равен α, а луч направлен под углом β к одной из его сторон. Выяснить условия, при которых луч снова пройдет через точку А.   Решение