ГЛАВА   7

СТЕРЕОМЕТРИЯ

ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

222.  Доказать, что если точка перемещается в плоскости основания правильной пирамиды, оставаясь внутри этого основания,  то сумма расстояний этой точки от боковых граней постоянна.  Решение

223.  Доказать, что  две  плоскости,   проведенные  через концы   двух   троек   ребер   параллелепипеда,   исходящих   из концов диагонали параллелепипеда, рассекают эту диагональ на три равные части.  Решение

224.  Показать, что если  плоскость,   проведенная  через концы   трех   ребер   параллелепипеда,   исходящих   из   одной вершины, отсекает от параллелепипеда правильный тетраэдр, то параллелепипед   можно   пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился правильный шестиугольник.  Решение

225.  Доказать, что всякая плоскость, проходящая через середины двух противоположных ребер тетраэдра, делит этот тетраэдр на две равновеликие части.  Решение

226.  Доказать, что если все двугранные углы некоторой треугольной  пирамиды   равны, то все ребра этой пирамиды также равны.  Решение

227.  На двух параллельных плоскостях расположены отрезки АВ и CD. Концы этих отрезков являются вершинами некоторой треугольной пирамиды.   Доказать, что объем пирамиды сохраняется, если отрезки перемещать в этих плоскостях параллельно самим себе.  Решение

228.  Доказать, что прямая, пересекающая две грани двугранного угла, образует с ними равные углы тогда и только тогда, когда точки пересечения одинаково удалены от ребра.  Решение

229.  В пространстве рассматриваются два отрезка АВ и CD, не лежащих в одной  плоскости.   Пусть MN—отрезок, соединяющий их середины. Доказать, что

(здесь AD, ВС и MN—длины   соответствующих отрезков). Решение

230.  Доказать, что любой   плоский   угол произвольного четырехгранного угла меньше суммы трех других плоских углов.  Решение

231.  Доказать, что любой выпуклый четырехгранный угол можно пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился параллелограмм.  Решение

232.  Доказать, что если в треугольной пирамиде все грани равновелики, то они равны.  Решение